江西省萍乡市南村中学2021-2022学年高三数学理期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若函数是偶函数，则函数图象的对称轴是直线( ). A. B. C. D.参考答案：A略2. 直线l与圆相交于A,B两点，若弦AB的中点，则直线l的方程为：A.B.C.D. 参考答案：C3. 某公司某件产品的定价与销量之间的统计数据表如下，根据数据，用最小二乘法得出与的线性回归直线方程为，则表格中的值为( )1345710203545A.25B.30C.40D.45参考答案：C，所以，得，故选C4. 某几何体的三视图如图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（）A4BCD20参考答案：B【考点】LR：球内接多面体；LG：球的体积和表面积【分析】由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，根据三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，求出半径即可求出球的表面积【解答】解：由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，r=，球的表面积4r2=4=故选：B5. 由不等式组确定的平面区域记为1，不等式组确定的平面区域记为2，在1中随机取一点，则该点恰好在2内的概率为( )ABCD参考答案：D考点：几何概型；简单线性规划 专题：概率与统计分析：作出不等式组对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何槪型的概率公式即可得到结论解答：解：平面区域1，为三角形AOB，面积为，平面区域2，为AOB内的四边形BDCO，其中C（0，1），由，解得，即D（，），则三角形ACD的面积S=，则四边形BDCO的面积S=，则在1中随机取一点，则该点恰好在2内的概率为，故选：D点评：本题主要考查几何槪型的概率计算，利用线性规划的知识求出对应的区域和面积是解决本题的关键6. 若，则的值为（ ）A.2 B.3 C.4 D.6参考答案：D7. （理科）已知三棱锥的四个顶点均在半径为1的球面上，且满足，,则三棱锥的侧面积的最大值为 A B1 C2 D4参考答案：C8. 若O是ABC的重心，=2，A=120，则|的最小值为( )ABCD参考答案：C【考点】平面向量数量积的运算【专题】平面向量及应用【分析】根据已知条件容易得到，O是ABC的重心，而重心是中线的交点，从而可得到（），从而可得到，由基本不等式即可得到，从而求得的最小值【解答】解：，A=120；O是ABC的重心；的最小值为故选C【点评】考查数量积的计算公式及其运算，重心的定义，重心的性质：重心到顶点距离是它到对边中点距离的2倍，以及基本不等式用于求最值，以及要求的范围先求范围的方法9. 已知m，n是两条不同的直线，是平面，则下列命题中是真命题的是（）A若m，mn，则nB若m，n，则mnC若m，mn，则nD若m，nm，则n参考答案：B【考点】命题的真假判断与应用【分析】根据空间直线与平面，直线与直线判定定理及性质定理，以及几何特征，我们逐一对题目中的四个命题进行判断，即可得到答案【解答】解：对于A，若m，mn，则n或n?，假命题；对于B，若m，n，根据线面垂直的性质，可得mn，真命题；对于C，若m，mn，则n与位置关系不确定，假命题；对于D，若m，nm，则n或n?，假命题，故选：B10. 设不等式组表示的平面区域为在区域内随机取一个点，则此点到直线的距离大于2的概率是A. B. C. D. 参考答案：D不等式对应的区域为三角形DEF,当点D在线段BC上时，点D到直线的距离等于2，所以要使点D到直线的距离大于2，则点D应在三角形BCF中。各点的坐标为,所以,根据几何概型可知所求概率为,选D.二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若集合满足,则称为集合的一种拆分.已知:当时，有种拆分；当时，有种拆分；当时，有种拆分；由以上结论，推测出一般结论：当有_种拆分.参考答案：因为当有两个集合时，；当有三个集合时，；当有四个集合时，；由此可以归纳当有个集合时，有种拆分。12. 已知正项等比数列满足：，若存在两项使得，则的最小值为_.参考答案：略13. 已知等差数列an的公差d不为0，且a1，a3，a7成等比数列，则的值为 参考答案：214. 按下列程序框图来计算： 如果,应该运算次才停止.参考答案：答案: 15. 已知在ABC中，sinB是sinA和sinC的等差中项，则内角B的取值范围是 参考答案：（0，考点：等差数列的性质；三角函数的化简求值 专题：计算题；压轴题；等差数列与等比数列分析：利用sinB是sinA和sinC的等差中项，及正弦定理，可得2b=a+c，再利用余弦定理及基本不等式可得结论解答：解：sinB是sinA和sinC的等差中项，2sinB=sinA+sinC，2b=a+ccosB=（当且仅当a=c时取等号）0B故答案为：（0，点评：本题考查等差数列的性质，考查正弦定理，考查余弦定理及基本不等式的运用，属于中档题16. 在中，若，则的值等于 参考答案：由得17. 已知函数f（x）=，若存在x1，x2R，当0x14x212时，f（x1）=f（x2），则x1f（x2）的最大值是 参考答案：【考点】分段函数的应用【分析】由题意作函数f（x）=的图象，从而可得1x13，x1f（x2）=x13+4，记g（x1）=x13+4，则g（x1）=3+8x1=3x1（3x18），从而判断函数的单调性及最值，从而求得【解答】解：由题意作函数f（x）=的图象如下，结合图象可知，3+4x14，解得，1x13，故x1f（x2）=x1f（x1）=x1（+4x1）=x13+4，记g（x1）=x13+4，g（x1）=3+8x1=3x1（3x18），故g（x1）在1，上是增函数，在（，3上是减函数，故x1f（x2）的最大值是g（）=，故答案为：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知直线过定点，且倾斜角为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的坐标系中，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程与直线的参数方程；（2）若直线与曲线相交于不同的两点，求的值.参考答案：(1) ;(2) .（2）设两点对应的参数分别为，将直线与曲线的方程得：，.19. 已知函数.（）求函数的最小正周期和单调递减区间；（）在中，分别是角，的对边，若，的面积为，求边的长.参考答案：（）所以的最小正周期令，解得所以的单调递减区间是（），又，的面积为20. 在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知（）求证：ABC为等腰三角形；（）若ABC是钝角三角形，且面积为，求的值参考答案：（）证明见解析；（）【分析】（）将正切化弦，结合两角和差正弦公式可求得，根据三角形内角和可整理为，则由正弦定理可得到结论；（）利用三角形面积公式可求得；根据三角形为钝角三角形且（）中的，可知为钝角，求得；利用余弦定理可构造方程求得之间关系，从而得到所求结果.【详解】（）由得：则： 由正弦定理可知：为等腰三角形（）由题意得：，解得：为钝角三角形，且 为钝角 由余弦定理得：【点睛】本题考查三角形形状的求解、利用余弦定理、三角形面积公式求解三角形边之间的关系问题，涉及到两角和差正弦公式、三角形内角和、诱导公式、同角三角函数值的求解等知识.21. 如图，在四棱锥AEFCB中，AEF为等边三角形，平面AEF平面EFCB，EFBC，BC=4，EF=2a，EBC=FCB=60，O为EF的中点（）求证：AOBE（）求二面角FAEB的余弦值；（）若BE平面AOC，求a的值参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质 【专题】空间位置关系与距离；空间角【分析】（）根据线面垂直的性质定理即可证明AOBE（）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角FAEB的余弦值；（）利用线面垂直的性质，结合向量法即可求a的值【解答】证明：（）AEF为等边三角形，O为EF的中点，AOEF，平面AEF平面EFCB，AO?平面AEF，AO平面EFCBAOBE（）取BC的中点G，连接OG，EFCB是等腰梯形，OGEF，由（）知AO平面EFCB，OG?平面EFCB，OAOG，建立如图的空间坐标系，则OE=a，BG=2，GH=a，BH=2a，EH=BHtan60=，则E（a，0，0），A（0，0，a），B（2，0），=（a，0，a），=（a2，0），设平面AEB的法向量为=（x，y，z），则，即，令z=1，则x=，y=1，即=（，1，1），平面AEF的法向量为，则cos=即二面角FAEB的余弦值为；（）若BE平面AOC，则BEOC，即=0，=（a2，0），=（2，0），=2（a2）3（a2）2=0，解得a=【点评】本题主要考查空间直线和平面垂直的判定以及二面角的求解，建立坐标系利用向量法是解决空间角的常用方法22. （本题满分12分）设复数，其中，为虚数单位若是方程的一个根，且在复平面内对应的点在第一象限，求与的值参考答案：方程的根为（3分）因为在复平面内对应的点在第一象限，所以，（5分）所以，解得，因为，所以，（8分）所以，所以，故（11分）所以，（12分）17 / 17