第 2 讲概率与统计 (大题 )热点一以二项分布为背景的期望与方差利用二项分布解题的一般步骤：(1)根据题意设出随机变量. (2)分析随机变量服从二项分布. (3)找到参数n，p. (4)写出二项分布的概率表达式. (5)求解相关概率. 例 1(2019 怀化模拟 )在全国第五个“扶贫日”到来之际，某省开展“精准脱贫，携手同行”的主题活动， 某贫困县调查基层干部走访贫困户数量.A 镇有基层干部60 人，B 镇有基层干部60 人， C 镇有基层干部80 人，每人走访了不少贫困户.按照分层抽样，从A，B，C 三镇共选40 名基层干部， 统计他们走访贫困户的数量，并将走访数量分成5 组， 5,15)， 15,25)， 25,35)，35,45)， 45,55 ，绘制成如下频率分布直方图. (1)求这 40 人中有多少人来自C 镇， 并估计三镇基层干部平均每人走访多少贫困户.(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)如果把走访贫困户达到或超过25 户视为工作出色，以频率估计概率，从三镇的所有基层干部中随机选取3 人，记这3 人中工作出色的人数为X，求 X 的分布列及期望. 解(1)因为 A，B，C 三镇分别有基层干部60 人， 60 人， 80 人，共 200 人，利用分层抽样的方法选40 人，则 C 镇应选取 8040200 16(人)，所以这 40 人中有 16 人来自 C 镇，因为 x 100.1520 0.25300.3 400.2 500.128.5，所以三镇基层干部平均每人走访贫困户28.5 户. (2)由直方图得，从三镇的所有基层干部中随机选出1 人，其工作出色的概率为35，显然 X 可取 0,1,2,3，且 XB3，35，则P(X0)2538125，P(X1)C1335125236125，P(X2)C2335225154125，P(X3)35327125. 所以 X 的分布列为X 0123 P 8125361255412527125所以期望E(X)0812513612525412532712595. 跟踪演练 1(2019 河北省五个一名校联盟联考)山东省高考改革试点方案规定：从2017 年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020 年开始，高考总成绩由语数外3 门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成.将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A， B，B，C， C，D， D ， E 共 8 个等级 .参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%,7%,16%,24%,24%,16%,7%,3%. 选考科目成绩计入考生总成绩时，将A 至 E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到91,100，81,90 ，71,80 ，61,70，51,60 ，41,50，31,40 ，21,30八个分数区间，得到考生的等级成绩. 某校高一年级共2 000 人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布N(60,169). (1)求物理原始成绩在区间(47,86的人数；(2)按高考改革方案， 若从全省考生中随机抽取3 人， 记 X 表示这 3 人中等级成绩在区间61,80的人数，求X 的分布列和期望. (附：若随机变量 N( ，2)，则 P( ) 0.682 7，P( 2 2 )0.954 5，P( 3 3 )0.997 3) 解(1)因为物理原始成绩 N(60,132)，所以 P(47 86) P(47 60)P(60 86) 12P(6013 6013)12P(60 213 60213) 0.682 720.954 520.818 6. 所以物理原始成绩在(47,86 的人数为2 0000.818 61 637. (2)由题意得，随机抽取1 人，其成绩在区间61,80内的概率为25. 所以随机抽取三人，则X 的所有可能取值为0,1,2,3，且 XB 3，25，所以 P(X 0)35327125，P(X1)C132535254125，P(X2)C232523536125，P(X3)2538125. 所以 X 的分布列为X 0123 P 2712554125361258125所以期望E(X)32565. 热点二以超几何分布为背景的期望与方差求超几何分布的分布列的一般步骤：(1)确定参数N，M，n 的值 . (2)明确随机变量的所有可能取值，并求出随机变量取每一个值时对应的概率. (3)列出分布列 . 例 2(2019 茂名质检 )2018 年茂名市举办“好心杯”少年美术书法作品比赛，某赛区收到200 件参赛作品，为了解作品质量，现从这些作品中随机抽取12 件作品进行试评.成绩如下：67,82,78,86,96,81,73,84,76,59,85,93. (1)求该样本的中位数和方差；(2)若把成绩不低于85 分(含 85 分)的作品认为是优秀作品， 现在从这 12 件作品中任意抽取3 件，求抽到优秀作品的件数的分布列和期望. 解(1)样本数据按从小到大的顺序排列为59,67,73,76,78,81,82,84,85,86,93,96. 数据的中位数为8182281.5，平均数为x 5967 737678 8182848586939612 80，方差为s2112(2121327242221222 425262132162)1 1861298.83. (2)设抽到优秀作品的个数为X，则 X 的可能值为0,1,2,3，P(X0)C38C312562201455，P(X1)C28C14C3122842202855，P(X2)C18C24C312862201255，P(X3)C34C3124220155，所以 X 的分布列为X 0123 P 145528551255155期望为 E(X)01455128552125531551. 跟踪演练2(2019 天津市十二重点中学联考)某大学在一次公益活动中聘用了10 名志愿者，他们分别来自于A，B，C 三个不同的专业，其中A 专业 2 人， B 专业 3 人， C 专业 5 人，现从这 10 人中任意选取3 人参加一个访谈节目. (1)求 3 个人来自两个不同专业的概率；(2)设 X 表示取到B 专业的人数，求X 的分布列与期望. 解(1)令事件 A 表示 “3 个人来自于两个不同专业”，A1表示 “3 个人来自于同一个专业”，A2表示 “3 个人来自于三个不同专业”，P(A1)C33C35C31011120，P(A2)C12C13C15C3103012014，3 个人来自两个不同专业的概率P(A)1P(A1)P(A2)1111203012079120. (2)随机变量X 的取值为0,1,2,3，P(X0)C03C37C31035120724，P(X1)C13C27C310631202140，P(X2)C23C17C31021120740，P(X3)C33C07C3101120，X 的分布列为X 0123 P 72421407401120E(X)072412140274031120910. 热点三统计与统计案例的交汇问题1.解决回归分析问题要注意：(1)回归直线恒过样本点的中心( x ， y ). (2)利用回归直线方程只能进行预测与估计，而得不到准确数值. 2.解决统计案例问题关键是过好三关：(1)假设关，即假设两个分类变量无关. (2)应用公式关，把相关数据代入独立性检测公式求出K2的观测值k. (3)对比关，将k 与临界值进行对比，进而作出判断. 例 3(2018 全国 )某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40 名工人，将他们随机分成两组，每组 20 人.第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位： min)绘制了如下茎叶图：(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；(2)求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过 m 的工人数填入下面的列联表；超过 m 不超过 m 总计第一种生产方式第二种生产方式总计(3)根据 (2)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附： K2n adbc2ab cd ac bd，P(K2 k0)0.0500.0100.001 k03.8416.63510.828 解(1)第二种生产方式的效率更高. 理由如下：( )由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80 min；用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79 min.因此第二种生产方式的效率更高. ( )由茎叶图可知， 用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5 min；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5 min.因此第二种生产方式的效率更高 . ( )由茎叶图可知，用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80 min；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80 min.因此第二种生产方式的效率更高. ( )由茎叶图可知，用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8 上的最多，关于茎 8 大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7 上的最多，关于茎 7 大致呈对称分布.又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少.因此第二种生产方式的效率更高. (2)由茎叶图知m7981280. 列联表如下：超过 m 不超过 m 总计第一种生产方式15520 第二种生产方式51520 总计202040 (3)因为 K240 15155522020 2020106.635，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异 . 跟踪演练3(2019 德州模拟 )某数学小组从医院和气象局获得今年1 月至 6月份每月20 日的昼夜温差 (x， x 3)和患感冒人数 (y/人)的数据，画出折线图. (1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与 x 的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立 y 关于 x 的线性回归方程(精确到 0.01)，预测昼夜温差为4时患感冒的人数(精确到整数 ). 参考数据：i16xi54.9，i16 (xi x )(yi y )94，i16xi x26，7 2.646. 参考公式：相关系数ri1nxi xyi yi1nxi x2i1nyi y2，回归直线方程是yabx，bi1nxi xyi yi1nxi x2，a y b x ，解(1) y 16(81114202326)17，i16 (yi y )2(817)2(1117)2(1417)2(2017)2(2317)2(2617)2252，ri16xi xyi yi16xi x2i16yi y2946 6 794362.6460.987. 可用线性回归模型拟合y 与 x 的关系 . (2) x 16i16xi54.969.15，bi16xi xyi yi16xi x29436 2.611，a172.6119.156.89，y 关于 x 的回归方程为y2.61x 6.89，当 x4 时， y2.6146.894. 预测昼夜温差为4时患感冒的人数约为4 人. 真题体验(2018 全国，理，20)某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验， 如检验出不合格品， 则更换为合格品 .检验时，先从这箱产品中任取20 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0p1)，且各件产品是否为不合格品相互独立. (1)记 20 件产品中恰有2 件不合格品的概率为f(p)，求 f(p)的最大值点p0；(2)现对一箱产品检验了20 件，结果恰有2