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第 2 讲不等式1.(2019武汉联考 )下列命题中正确的是() A.若 ab,则 ac2bc2B.若 ab,cbdC.若 ab,cd,则 acbdD.若 ab0,ab,则1a1b答案D 解析对于 A 选项,当c0 时,不成立,故A 选项错误 .当 a1,b0,c 2,d 1时,acb0,有下列命题:若ab1,则 ab1;若 a2b21,则 ab1;若 a3b31,则 ab1;若 a4b41,则 ab1,故 错;因为 a2b21()ab()ab,ab0,所以 0a bab,因此 a b1ab(ab) (a b)2,所以 abb0,得 0ab(ab)(a2b2),所以 ab1()ab()a2b21,则函数y8x12x1的最大值为 () A.4 B.8 C.4 D.0 答案D 解析由12log x1,求得 0 x12,从而得到012x1,y8x12x14(2x1)12x14 4 12x 112x 4440,当且仅当x14时,上式取等号. 5.(2019黄山模拟 )已知实数x,y 满足y0,2xy20,xy20,则y1x1的取值范围是() A.13,57B.13,12C.12,57D.12,2答案A 解析画出 x,y 满足的可行域如图阴影部分(含边界 ),如下图:由xy20,y0,解得 B(2,0),由2xy20,xy2 0,解得C43,23,y1x1可看作定点A(1, 1)与可行域内的动点P(x,y)间的斜率,当动点P 在 B处时,y1x1取最小值为13,当动点P 在 C 处时,y1x1取最大值为23 143 157,故13y1x157. 6.(2019福建四校联考 )若 x,y 满足约束条件2x2y1,xy,2xy 1,且向量 a (3,2),b(x,y),则a b 的取值范围是() A.54,5B.54,4C.72,5D.72,4答案A 解析因为 a(3,2),b(x,y),所以 a b3x2y,设 z3x2y,作出约束条件所表示的可行域,如图阴影部分所示(含边界 ). 由 z3x2y,则 y32xz2,平移直线y32xz2,由图象可知,当直线y32xz2经过点 B 时,直线 y32xz2在 y 轴上的截距最大,此时z最大,由xy,2xy1,解得 xy1,即 B(1,1),此时 zmax31215,经过点 A 时,直线y32xz2在 y 轴上的截距最小,此时z 最小,由xy,2x2y1,解得 xy14,即 A14,14,此时 zmin31421454,则54z5. 7.(2019柳州模拟 )某公司每月都要把货物从甲地运往乙地,货运车有大型货车和小型货车两种.已知 4 辆大型货车与5 辆小型货车的运费之和少于22 万元,而6 辆大型货车与3 辆小型货车的运费之和多于24 万元 .则 2 辆大型货车的运费与3 辆小型货车的运费比较() A.2 辆大型货车运费贵B.3 辆小型货车运费贵C.二者运费相同D.无法确定答案A 解析设大型货车每辆运费x 万元,小型货车每辆运费y 万元,依题意得4x5y24,x0,y0,作出约束条件表示的可行域如图阴影部分所示. 可知 z2x3y 过 C()3,2时, z最小 . z23320,即 2x3y. 8.(2019德阳模拟 )已知实数x, y 满足2xy20,x2y40,3xy30,若 yk(x1)1 恒成立,那么k 的取值范围是 () A.12,3B. ,43C.3, ) D.,12答案D 解析作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分(含边界 ),其中 M(0,2), N(1,0). 则由图象知x0,由不等式yk(x 1) 1 恒成立,得 k(x1)1y,即 ky1x1恒成立,设 zy1x1,所以 kzmin,则 z 的几何意义是平面区域内的点与定点A(1, 1)连线的斜率,由图象知AN 的斜率最小,此时 z的最小值为z011112,即 k12,即实数 k 的取值范围是,12. 9.(2019株洲模拟 )已知 M,N 是不等式组x1,y1,xy 10,xy 6所表示的平面区域内的两个不同的点,则 |MN|的最大值是 () A.17 B.342C.32 D.172答案A 解析作出可行域,为图中四边形ABCD 及其内部,由图象得A(1,1),B(5,1),C(2.5,3.5),D(1,2)四点共圆, BD 为直径,所以 |MN|的最大值为 |BD|14217,选 A. 10.(2019九江模拟)设变量x, y 满足约束条件2xy3 0,x2y4 0,y1,若目标函数z axby()a0, b0的最小值为1,则1a1b的最小值为 () A.72 6 B.722 C.32 6 D.322 答案D 解析画出不等式组2xy3 0,x2y4 0,y1表示的可行域如图阴影部分(含边界 ),当直线 zax by(a0,b0)过直线 y 1 和 2xy30 的交点 (2,1)时, z 有最小值为1,2a b1,1a1b(2ab)1a1b 32abba322abba32 2,当且仅当a122, b21 时等号成立 . 11.(2019湖南五市十校联考)已知正实数a,b,c 满足 a22ab9b2 c0,则当abc取得最大值时,3a1b12c的最大值为 () A.3 B.94C.1 D.0 答案C 解析由正实数a,b,c 满足 a22ab9b2c0,得a2c2abc9b2c14abc,当且仅当a2c9b2c,即 a 3b 时,abc取最大值14,又因为 a22ab9b2c0,所以此时c 12b2,所以3a1b12c1b21b1b21b241,当且仅当b 1时等号成立 .故最大值为1. 12.已知不等式组x2y0,x2y4,y0,xy m表示的平面区域为M,若 m 是整数,且平面区域M 内的整点(x,y)恰有 3 个(其中整点是指横、纵坐标都是整数的点),则 m 的值是 () A.1 B.2 C.3 D.4 答案B 解析根据题意可知m0,又 m 是整数,所以当 m1 时,平面区域M 为x2y0,x2y4,y0,xy1,此时平面区域M 内只有整点 (0,0),(1,0),共 2 个,不符合题意;当 m2 时,平面区域M 为x2y0,x2y4,y0,xy2,此时平面区域M 内只有整点 (0,0),(1,0),(2,0),共 3 个,符合题意;当 m3 时,平面区域M 为x2y0,x2y4,y0,xy3,此时平面区域M 内只有整点 (0,0),(1,0),(2,0),(2,1), (3,0),共 5 个,不符合题意;依次类推,当m3 时,平面区域M 内的整点一定大于3 个,不符合题意. 综上,整数m 的值为 2. 13.(2019安徽模拟 )已知实数 x,y 满足x10,x3y,ym x4其中 m0,若 z2x y 的最小值为1,则实数 m 的值为 _. 答案13解析作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界 ),联立直线方程可得A(1, 3m),B34mm1,mm 1,C(1,2),平移直线z 2xy,由图可知,当直线 z2x y 过点 A 时, z 有最小值,即23m1,解得 m13. 14.已知实数x,y 满足不等式组y 1,4xy40,2xy10,则目标函数z4x2 y2的最大值与最小值之和为 _. 答案314解析令 t2x,则 xt2,原可行域等价于y 1,2ty40,ty1 0,作出可行域如图(阴影部分含边界)所示,z 4x2y2t2y2的几何意义是可行域内的点P(t,y)到原点 O 的距离 d 的平方,由图可知,当点 P 与点 C 重合时, d 取最大值; d 的最小值为点O 到直线 AB:ty 10 的距离,又C52, 1 ,故 zmax2541294,zmin11212212,所以 z4x2 y2的最大值与最小值之和为314. 15.(2019榆林模拟 )已知正数 x,y 满足 x2y21,则1x1y的最小值为 _. 答案22 解析 正数 x,y 满足 x2y21,令 z1x1y0,可得 z21x21y22xyx2y2x2x2y2y22xy2y2x2x2y22xy22x2y2y2x22xy 42xy,当且仅当y2x2x2y2即 xy 时取等号,而由题意可得1x2y22xy,可得1xy2,当且仅当x y 时取等号, z2448,z2 2,当且仅当xy 时取等号,1x1y的最小值为2 2.
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