2020-2021学年北京怀柔区第三中学高三数学理联考试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设偶函数f（x）在0，+）单调递增，则使得f（x）f（2x1）成立的x的取值范围是( )A（，1）B（，）（1，+）C（，）D（，）（，+）参考答案：A【考点】奇偶性与单调性的综合 【专题】计算题；函数的性质及应用【分析】利用偶函数的性质、单调性去掉不等式中的符号“f”，转化为具体不等式即可求解【解答】解：因为f（x）为偶函数，所以f（x）f（2x1）可化为f（|x|）f（|2x1|）又f（x）在区间0，+）上单调递增，所以|x|2x1|，即（2x1）2x2，解得x1，所以x的取值范围是（，1），故选：A【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用，考查抽象不等式的求解，考查学生灵活运用知识解决问题的能力2. （5分）（2011?惠州模拟）已知向量=（1，2），=（x，2），若，则=（） A B C 5 D 20参考答案：考点： 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角专题： 计算题分析： 由题意可得 =0，求得x的值，可得的坐标，根据向量的模的定义求出解答： 由题意可得 =（1，2）?（x，2）=x4=0，解得x=4故=2，故选B点评： 本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式的应用，两个向量坐标形式的运算，属于基础题3. 在中，内角所对的边分别为，其中，且面积为, 则（ ） A B C D. 参考答案：D略4. 已知等差数列中，是方程的两根，则A B C1007 D2014参考答案：D略5. 已知函数的部分图象如图所示，则 () A B C D参考答案：B略6. 已知定义域为的奇函数，当时，满足，则（ ）ABC2D0参考答案：B定义域为的奇函数，可得，当时，满足，可得时，则，故选B7. 设为两个非零向量，的夹角，已知对任意实数t，|+t|的最小值为1（）A若确定，则|唯一确定B若确定，则|唯一确定C若|确定，则唯一确定D若|确定，则唯一确定参考答案：B【考点】平面向量数量积的运算；零向量；数量积表示两个向量的夹角【专题】平面向量及应用【分析】由题意可得（+t）2=+2t+，令g（t）=+2t+，由二次函数可知当t=cos时，g（t）取最小值1变形可得sin2=1，综合选项可得结论【解答】解：由题意可得（+t）2=+2t+令g（t）=+2t+可得=44=4cos240由二次函数的性质可知g（t）0恒成立当t=cos时，g（t）取最小值1即g（cos）=+=sin2=1故当唯一确定时，|唯一确定，故选：B【点评】本题考查平面向量数量积的运算，涉及二次函数的最值，属中档题8. 幂函数的图象经过点，则的值为（ ）A1 B2 C3 D4参考答案：B9. 已知复数，则“”是“z为纯虚数”的A. 充分非必蕞条件 B必要非充分条件C充要条件 D.既非充分又非必要条件参考答案：A10. 已知a为实数，为虚数单位,，则a=（ ）A1BCD-2参考答案：B略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知定义在R上的增函数满足，若实数a，b满足不等式，则的最小值是_参考答案：8【分析】由知，可将不等式变为，利用函数单调性可得，根据线性规划的知识，知的几何意义为原点与可行域中的点的距离的平方，从而可知所求最小值为到直线的距离的平方，利用点到直线距离公式求得结果.【详解】由得：等价于为上的增函数 ，即则可知可行域如下图所示：则的几何意义为原点与可行域中的点的距离的平方可知到直线的距离的平方为所求的最小值本题正确结果:8【点睛】本题考查函数单调性的应用、线性规划中的平方和型的最值的求解，关键是能够利用平方和的几何意义，将问题转化为两点间距离的最值的求解问题.12. 某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破 坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：（1）频率分布直方图中间的矩形的高为 （2）若要从分数在之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，至少有一份分数在之间的概率为 参考答案：13. 桌面上有形状大小相同的白球、红球、黄球各3个，相同颜色的球不加以区分，将此9个球排成一排共有 种不同的排法（用数字作答）参考答案：1680【考点】计数原理的应用【专题】应用题；排列组合【分析】可以考虑将此9个球同色加以区分的排成一排，然后再加以区分，除以相同颜色的球的排列数即可【解答】解：可以考虑将此9个球同色加以区分的排成一排，然后再加以区分，除以相同颜色的球的排列数即可所以满足题意的排列种数共有=1680种故答案为：1680【点评】本题考查计数原理的应用，考查学生的计算能力，比较基础14. 已知直线与抛物线及其准线分别交于M，N两点，F为抛物线的焦点，若，则k等于_.参考答案：因为，设直线的倾斜角为，由拋物线的定义知：点到准线的距离为，则，故，所以，则.试题立意：本小题主要考查拋物线的定义、直线与拋物线的位置关系等基础知识；意在考查逻辑思维与推证能力、运算求解能力.15. 在面积为1的正方形内部随机取一点，则的面积大于等于的概率是_参考答案：16. 已知数列是无穷等比数列，其前n项和是，若, ，则 参考答案：17. 某宾馆安排A、 B、 C、 D、 E 五人入住3个房间, 每个房间至少住1人, 且A、 B 不能住同一房间, 则共有 种不同的安排方法（ 用数字作答） 。参考答案：114【知识点】排列、组合J2【思路点拨】根据房间住人数分类求出安排方法。【题文】15若在区间 0, 1 上存在实数x使2x（3 x+a）1成立, 则a的取值范围是 。【答案】（-，1）【知识点】函数的单调性与最值B3【解析】2x（3x+a）1可化为a2-x-3x，则在区间0，1上存在实数x使2x（3x+a）1成立，等价于a（2-x-3x）max，而2-x-3x在0，1上单调递减，2-x-3x的最大值为20-0=1，a1，故a的取值范围是（-，1）.【思路点拨】2x（3x+a）1可化为a2-x-3x，则在区间0，1上存在实数x使2x（3x+a）1成立，等价于a（2-x-3x）max，利用函数的单调性可求最值三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 不等式选讲已知a,b都是正实数，且(I)求证：; (II)求的最小值.参考答案：(I)略(II) 解析：解：(I)证明：(II) ，即又得即当且仅当上式等号成立.略19. 在三棱柱ABCA1B1C1中，ABC是正三角形，且A1A=AB，顶点A1在底面ABC上的射影是ABC的中心（1）求证：AA1BC；（2）求直线A1B与平面BCC1B1所成角的大小参考答案：【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的性质【分析】（1）由A1O底面ABC，得A1OBC，再由O是ABC的中心，连接AO交BC于D，则ADBC，由线面垂直的判定可得BC平面A1AD，进一步得到AA1BC；（2）取B1C1的中点D1，连接A1D1，DD1，由（1）知，BC平面ADD1A1，由线面垂直的判定和性质可得直线A1B与平面BCC1B1所成角求解直角三角形得答案【解答】（1）证明：如图，A1O底面ABC，A1OBC，ABC为正三角形，O为底面三角形的中心，连接AO交BC于D，则ADBC，又ADA1D=O，BC平面A1AD，则AA1BC；（2）解：取B1C1的中点D1，连接A1D1，DD1，由（1）知，BC平面ADD1A1，平面ADD1A1平面BB1C1C，且平面ADD1A1平面BB1C1C=DD1，过A1作A1HDD1，垂足为H，连接BH，则A1BH为直线A1B与平面BCC1B1所成角设A1A=AB=2a，可得，由AD?A1O=AA1?A1H，得=在RtA1HB中，sin直线A1B与平面BCC1B1所成角为4520. 已知|=，|=1，与的夹角为45，求使向量与的夹角是锐角的实数的取值范围参考答案：【考点】数量积表示两个向量的夹角【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用【分析】根据题意便知，从而根据条件进行数量积的运算便可得出27+60，这样解该不等式便可得出的取值范围【解答】解：与夹角为锐角时，=4（6+2）+30；解得16；实数的取值范围为（1，6）【点评】考查数量积的运算及其计算公式，以及向量夹角的概念，解一元二次不等式21. 如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A、B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面，DCEB，DC=EB，AB=4，tanEAB=（1）证明：平面ADE平面ACD；（2）当三棱锥CADE体积最大时，求二面角DAEB的余弦值参考答案：【考点】MJ：与二面角有关的立体几何综合题；LY：平面与平面垂直的判定【分析】（）由已知条件推导出BC平面ACD，BCDE，由此证明DE平面ACD，从而得到平面ADE平面ACD（）依题意推导出当且仅当时三棱锥CADE体积最大，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角DAEB的余弦值【解答】（）证明：AB是直径，BCAC，CD平面ABC，CDBC，CDAC=C，BC平面ACDCDBE，CD=BE，BCDE是平行四边形，BCDE，DE平面ACD，DE?平面ADE，平面ADE平面ACD（）依题意，由（）知=，当且仅当时等号成立 如图所示，建立空间直角坐标系，则D（0，0，1）， ，设面DAE的法向量为，即，设面ABE的法向量为，即，与二面角DAEB的平