一、向量的基本概念 1向量的坐标: 2向量的模: 方向余弦为: 设起点 和终点 ,则 3方向角：向量 与三个坐标轴正向的夹角 向量代数第一页4单位向量： 5向量的投影： 二、向量的运算 1线性运算 （1） （2） 2数量积 （1）定义： （2）坐标表示： 第二页 分配律： 结合律： （4）向量的夹角： （5）性质： 2向量积 （1）定义： （3）运算律： 交换律： 方向： 垂直 与 确定的平面，且符合右手规则。 第三页 结合律： （4）性质： 分配律： 反交换律： （3）运算律： （2）坐标表示： 第四页一、平面与直线的方程 1平面方程 : （1）点法式方程： 其中 为平面的法向量， 为平面的 一定点。 （2）一般方程： （3）截距式方程： ，其中 分别为平面在三坐标轴 上的截距。 2点到平面的距离： 平面与直线、空间曲面与曲线第五页3直线方程：（1）一般方程： （2）对称式方程： 其中 为直线的方向向量， 为直线的一定点。 （3）参数方程： 第六页则它们的夹角为： （2）两平面相交（夹角） 设 与 平面的法向量分别为 与 4线、面之间的位置关系：（1）两直线相交（夹角） 设 与 的方向向量分别为 与 第七页（3）直线与平面相交（夹角）设直线 的方向向量为 , 平面 的法向量为 则它们的交角： 则 第八页（4）线、面之间的平行与垂直 设直线 与 的方向向量分别为 ， 平面 与 的法向量分别为 第九页二、空间曲面1一般方程： 2旋转面：曲线 同理可得 面上的曲线绕 轴旋转所得旋转面的方程及 绕 轴旋转所得旋转面的方程。绕 轴旋转所得旋转曲面方程为 绕 轴旋转所成的旋转曲面 方程为 第十页三、空间曲线 1一般方程 2参数方程 3空间曲线在坐标面上的投影曲线： （1） 在 面上的投影曲线： （2） 在 面上的投影曲线： （3） 在 面上的投影曲线： 第十一页向量代数典型例题 【例1】已知两点 和 ,求向量 余弦和方向角。的模、方向 解： 方向余弦为 , , 方向角为 , , 第十二页【例2】确定 的值，使向量 与向量 相等。并求此时向量的模与方向余弦。 分析： 向量相等的定义是向量坐标对应相等。 解： 由已知条件得易得 即当 时两向量相等。 方向余弦为 。 模为 此时向量为 第十三页【例3】已知 都是单位向量，且满足 ， 求 . 分析：向量 的坐标没给出，也没给出之间的夹角， 无法利用数量积定义，只能考虑数量积运算规律。 解： 于是 第十四页求 。【例4】已知向量 两两互相垂直，且 分析：由于向量 没给出坐标，只给出了模，注意 ，并利用条件 ， 便可求出 ；或可不妨置 计算向量的模。于坐标系中 解法1：所以 第十五页解法2：因三向量两两垂直，故可在直角坐标系中设 则 于是 【例5】已知向量 与三向量 的数量积分别为3,5,4， 试求向量 及与其同向的单位向量。 第十六页解：依题意有 即 解得 ， 与 同向的单位向量为 则分析：利用 与每个 的数量积，可得出关于 的联立方程组，解之便得结果。第十七页【例6】已知 和 。求与 同时垂直的单位向量，并且求以 为两邻边的平行四边形面积。 分析：应用向量积构造与两个向量都垂直的向量； 利用向量积模的几何意义得平行四边形的面积。 解： 与 同时垂直的单位向量为： 平行四边形面积 第十八页【例7】 在 坐标平面上求向量 ，它垂直于向量 并与向量 有相等的模。 分析： 先设出向量 ，再用两个条件确定其系数。 解：由已知条件,可设 , 由已知条件有 ， 则于是则第十九页【例8】已知向量 ， 轴与三坐标轴正向构成相等锐角， 求 在 轴上的投影。 分析：先求出 轴上的单位向量，再利用向量投影公式。 解：设 轴的方向余弦分别为 ， 由已知条件及即 轴上的正向单位向量为 ，于是 得所以 第二十页【例9】设向量 ， ，其中 ， ， 且 。问： （1） 为何值时， 以 与 为邻边的平行四边形面积为6。 （2） 为何值时， 分析：（1）用向量垂直的充分必要条件； （2）用向量积的模的几何意义。 解：（1） 当 时 即 ， 亦即 ， 时故当 ，时 。 第二十一页（2） 平行四边形面积 则 ，于是 或 以 与 为邻边的平行四边形面积为6。 当 或 时， 第二十二页直线与平面典型例题【例1】求平行于 轴且经过两点 的平面方程。 分析：（1）已知平面过两点，可采用平面的点法式，用已知知两点确定的向量与向量 的向量积求平面的法向量； （2）由平面平行于 轴的特殊条件，可采用平面的一般式， 设出不含 的平面方程，再由已知两点确定平面方程的 待定系数。解法1: 由已知点 ，确定向量 , 轴上的单位向量 ，可确定所求平面的法向量 第二十三页平面过点 ，则所求平面的点法式方程为 即 解法2：平面平行于 轴，则平面方程中不含变量 ,于是可设平面方程为点 在平面上，满足平面方程，即有 第二十四页，得 则平面方程为 即 【例2】求经过两点 且与平面 垂直的平面方程。分析：已知平面过两点，可采用平面的点法式，用已知两点确定的向量与已知平面法向量的向量积可求出平面的法向量。第二十五页，平面 过向量 ，所以， 。 已知平面 的法向量为 ， 因为 ，所以 ，可取 则所求平面的点法式方程为 即 解：设所求平面 的法向量为 ，已知平面 过点 第二十六页【例3】过点 且在三坐标轴上截距相等的平面方程。 分析：最简单的方法是利用平面的截距式方程，再用已知 的点确定三个相等的截距。解：设所求平面的截距式方程为 ， 将已知点的坐标代入方程确定参数 ，有 所求平面的截距式方程为 。 或写为一般式方程 。 解得第二十七页【例4】求与平面 平行，且与之距离 为 3 的平面。 分析： 所求平面与已知平面平行，法向量相同，可先设出平面方程的一般式，再由条件定系数。解： 所求平面与已知平面平行，两者的法向量相同，故可设所求平面的方程为已知平面上有点 ，该点到所求平面的的距离为3，即 可解得 或 第二十八页代入所设平面方程得所求平面的方程为或 【例5】 求过点 且与平面 和 平行 的直线方程。 分析：直线过已知一点，由直线的对称式，只需求直线的 方向向量，直线的方向向量分别与两已知平面的法向量垂直， 可用向量积求出直线的方向向量。 第二十九页可取 直线过点 ，则所求直线方程为 解：设所求直线的方向向量为 ，两已知平面 的法向量为 ， 的法向量为 ， 则 ， 。 第三十页解： 已知直线上点 在所给平面上，该点坐标满足 平面方程；解之得 。 【例6】已知直线 在平面 ， 求 的值。分析：直线在平面上，则直线上的点都在平面上、直线 的方向向量与平面的法向量垂直。与平面的法向量 应相互垂直，即 。则有 关系式 其次，直线的方向向量 第三十一页求平面的法向量与两者分别垂直，平面的法向量可用向量积求得。【例7】求过点 且通过直线 的平面方程。 分析： 直线上一点及已知点可确定一向量，直线有方向向量；所解：直线上的点 及已知点 在所求平面上， 两点构成向量 ，直线方向向量 ； 所求平面方程为 即 所求平面的法向量 ， ，于是可取 第三十二页【例8】已知两直线 求过 且平行于 的平面。 分析：所求平面过直线 ，则过直线上点，由平面的点法式， 关键是求出平面的法向量，有两种方法： （1）用向量积得出与两直线的方向向量都垂直的向量； （2）先设出平面的法向量，再由条件定系数。 解法1: 直线 上的点 在所求平面上；又所求平面的 法线向量 与已知二直线 的方向向量 、 都垂直，从而可取第三十三页于是所求平面方程为即 解法2：设所求的法向量为 过直线 上的点 的方程为已知二直线 的方向向量为 、 ， 因为平面 过 ，所以 ，又因为 ，所以 ，则有 解得 取 则 。 平面方程为： 即 第三十四页【例9】求直线 与直线 的夹角。 分析：关键是求出直线 的方向向量，可用向量积求得。 解：直线 的方向向量是 ，而直线 的方向 向量 分别与两向量 ， 垂直,则可取 从而直线 与直线 的夹角 的余弦为因此 第三十五页【例10】求过点 ，垂直于直线 且平行于 平面 的直线方程。 可用向量积求 。 分析：由本题的条件知，求直线的方向向量 垂直于已知 直线的方向向量 ，也垂直于已知平面 的法向量解：设所求直线 的方向向量为 ，已知直线 的方向 向量 ,已知平面 的法向量为 ， ，所以， ，故可取 已知第三十六页从而所求直线的方程为 即 【例11】* 已知直线 及点 ， 求点 到直线 的距离 。 分析：要想求出点到直线的距离，需求过该点与已知直线垂直 相交的直线和已知直线的交点（即垂线足，或称为投影）， 得出交点即可求出。 第三十七页过点 做垂直于已知直线 的平面 ，其法向量即是 的方向向量 ，则平面方程为 即 再求已知直线 与平面 的交点 ，取已知直线 上点 ，得直线的对称式方程为 解：已知直线 的方向向量为 第三十八页化为参数方程为 ，将已知直线的参数方程代入平面 方程 得 ，则 故有交点 ， 因此所求的距离为 注：求点到直线距离、过一点作与已知直线垂直相交的直线、点在 直线上的投影等几种问题均为同一种类型题，解题过程基本相同。第三十九页【例12】通过二平面 与 的交线及 点 的平面方程。 分析：所求平面过 点，由点法式方程，只需求出平面的 所求平面上，又交线上的一点 与已知点 所 向量。也可现设出所求平面的法向量，再由条件定其坐标。 又可利用过交线的平面束。确定的向量 在所求平面上，两者可确定所求平面的法解法1：设两个平面的交线为 ，方向向量为 ，已知两平面 的法向量为 ， ，因为 法向量。所给两个平面的交线 （方向向量 ）显然应该在 第四十页点 满足两已知平面方程，故该点在两平面交线 上， 该点与点 所确定的向量 平面上。则所求平面的法向量为在所求则所求平面的方程为即 可取 第四十一页解法2：同解法1交线 的方向向量为 ， 设求平面的法向量为 ，则 ， ，于是有 ，得 取 ，则 则所求平面的方程为即 第四十二页解法3：过交线 的平面束的方程是即 点 不在交线上，故平面束中过点 的 平面唯一。将 的坐标代入平面束方程： 可得 于是求平面的方程为 即 第四十三页【例13】求直线 在平面 上的投影的直线方程。分析：应考虑过已知直线的平面束中有一个平面与已知平面垂直，平面束中该平面是直线的投影柱面。解：过已知直线的平面束方程为 即其法向量 平面束中有一个平面与已知平面垂直， 与已知平面法向量 垂直 即其法向量第四十四页则两者的数量积为零，即解得 则法向量为 . 于是平面束中以此为法向量的平面方程为 即是直线的投影柱面。则已知直线在已知平面上的投影为第四十五页【例14】一平面通过两平面 的交线，且与平面 成 角,求其方程.分析：过过交线线的平面束中有两个平面与已知平面成 用数量积表示 . 解：过交线的平面束方程为 即其法向量为 与已知平面法向量 成 时有, 当第四十六页即可得 于是所求平面两个:（1） 时, 有 ,即为已知平面。（2） 时,有 . 第四十七页【例15】已知曲面 上点 处的切平面平行于平面 求点 的 坐标.分析：本题的切平面的法向量已与已知平面的法向量平行；问题是要求出切点。可由曲面方程求切平面的法向量，再利用平行条件。解:令 曲面上任意 处切平面的法向量是 已知平面的法向量为 第四十八页曲面的切平面平行与已知平面，则有两法向量平行： 即 解之得 代入曲面方程得 故点 的坐标为 第四十九页