78 78 广义胡克定律广义胡克定律PP第一页=+1221一、平面应力状态的广义胡克定律第二页 正应变只跟正应力有关，与剪应力无关；剪应变只跟剪应力有关，与正应力无关；第三页二、三向应力状态的广义胡克定律xyzxyxzxyzyxyzzxzy第四页三、主应力状态的广义胡克定律123第五页四、应力-应变关系第六页例1 已知一受力构件自由表面上某点处的两主应变值为1=24010-6，3=16010-6。材料的弹性模量E =210GPa，泊松比 =0.3。求该点处的主应力值数，并求另一应变2的数值和方向。解：因主应力和主应变相对应，则由题意可得：即为平面应力状态，有第七页联立两式可解得：主应变2为：其方向必与1和3垂直，沿构件表面的法线方向。第八页例2边长为a 的一立方钢块正好置于刚性槽中，钢块的弹性模量为E 、泊桑比为 ，顶面受铅直压力P 作用，求钢块的应力x 、y 、z 和应变x 、y 、z 。Pxyzxyz解：由已知可直接求得：第九页Pxyzxyz第十页例3薄壁筒内压容器(t/D1/20)，筒的平均直径为D ，壁厚为t ，材料的E、 已知。已测得筒壁上 k 点沿45方向的线应变 45，求筒内压强p。 kptDxxyy解：筒壁一点的轴向应力：筒壁一点的环向应力：第十一页 kptDxxyy45-4545-45第十二页例4受扭圆轴如图所示，已知m 、 d 、 E、 ，求圆轴外表面沿ab 方向的应变 ab 。ABm m dab45解：第十三页ABm m dab4545-45第十四页 例5 壁厚 t =10mm , 外径 D=60mm 的薄壁圆筒, 在表面上 k 点处与其轴线成 45和135 角即 x, y 两方向分别贴上应变片,然后在圆筒两端作用矩为 m 的扭转力偶,如图 所示已知圆筒材料的弹性模量为 E = 200GPa 和 = 0.3 ,若该圆筒的变形在弹性范围内,且 max =80MPa , 试求k点处的线应变 x ,y 以及变形后的筒壁厚度。Dtymkx第十五页Dtxymkxyk可求得:解: 从圆筒表面 k 点处取出单元体, 如图 所示第十六页k点处的线应变 x , y 为第十七页圆筒表面上k点处沿径向 (z轴) 的应变为同理可得,圆筒中任一点 (该点到圆筒横截面中心的距离为) 处的径向应变为因此, 该圆筒变形后的厚度并无变化, 仍然为 t =10mm .第十八页79 复杂应力状态下的体积应变、比能一、体积应变dxdydzdx+dxdy+dydz+dz第十九页略去高阶微量，得单元体的体积应变体积应变代入式第二十页得：纯剪应力状态： 可见剪应力并不引起体积应变，对于非主应力单元体，其体积应变可改写为 体积应变只与三个主应力（正应力）之和有关，而与其比例无关。第二十一页令m称为平均正应力平均正应力，K 称为体积弹性模量体积弹性模量。二、比能 单位体积的变形能称为变形能密度变形能密度，简称比能比能。 单向拉压比能dxdzdyd(l)第二十二页dxdzdy 纯剪切比能dxdydz 复杂应力状态的比能第二十三页 体积改变比能与形状改变比能123mm1-mm2-m3-m=+u=uV+uf 状态1受平均正应力m作用，因各向均匀受力，故只有体积改变，而无形状改变，相应的比能称为体积改变比能体积改变比能u uV V。 状态2的体积应变： 状态2无体积改变，只有形状改变，相应的比能称为形状形状改变比能改变比能u uf f。 第二十四页123mm1-mm2-m3-m=+u=uV+uf第二十五页例1边长为a 的一立方钢块正好置于刚性槽中，钢块的弹性模量为E 、泊桑比为 ，顶面受铅直压力P 作用，求钢块的体积应变V 和形状改变比能uf 。Pxyzxyz解：由已知可直接求得：第二十六页xyz第二十七页例2证明弹性模量E 、泊桑比 、剪切弹性模量G 之间的关系为 。31证明：纯剪应力状态比能为用主应力计算比能第二十八页第二十九页构件由于强度不足将引发两种失效形式 (1) 脆性断裂：材料无明显的塑性变形即发生断裂，断面较粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上，如铸铁受拉、扭，低温脆断等。关于屈服的强度理论：最大切应力理论和最大畸变能密度理论 (2) 塑性屈服：材料破坏前发生显著的塑性变形，破坏断面粒子较光滑，且多发生在最大剪应力面上，例如低碳钢拉、扭，铸铁压。关于断裂的强度理论：最大拉应力理论和最大伸长线应变理论7-10 强度理论概述第三十页1. 最大拉应力理论（第一强度理论） 最大拉应力是引起材料断裂的主要因素。即认为无论材料处于什么应力状态,只要最大拉应力达到简单拉伸时破坏的极限值，就会发生脆性断裂。 构件危险点的最大拉应力 极限拉应力，由单拉实验测得7-11 四种常见强度理论及强度条件第三十一页断裂条件强度条件铸铁拉伸铸铁扭转第三十二页 局限性：1、未考虑另外二个主应力影响，2、对没有拉应力的应力状态无法应用，3、对塑性材料的破坏无法解释，4、无法解释三向均压时，既不屈服、也不破坏的现象。实验表明：此理论对于大部分脆性材料受拉应力作用，结果与实验相符合，如铸铁受拉、扭。第三十三页2. 最大伸长线应变理论（第二强度理论） 最大伸长线应变是引起断裂的主要因素。即认为无论材料处于什么应力状态,只要最大伸长线应变达到简单拉伸时破坏的极限值，就会发生脆性断裂。 构件危险点的最大伸长线应变 极限伸长线应变，由单向拉伸实验测得第三十四页实验表明：此理论对于一拉一压的二向应力状态的脆性材料的断裂较符合，如铸铁受拉压比第一强度理论更接近实际情况。强度条件断裂条件即第三十五页 最大切应力是引起材料屈服的主要因素。即认为无论材料处于什么应力状态,只要最大切应力达到了简单拉伸屈服时的极限值，材料就会发生屈服。3. 最大切应力理论（第三强度理论） 构件危险点的最大切应力 极限切应力，由单向拉伸实验测得第三十六页屈服条件强度条件低碳钢拉伸低碳钢扭转第三十七页轴向拉、压（单向应力状态）圆轴扭转（纯剪切应力状态）第三强度理论在工程中实际问题中的应用第三十八页实验表明：此理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到较为满意的解释。并能解释材料在三向均压下不发生塑性变形或断裂的事实。局限性： 2、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象。 1、未考虑 的影响，试验证实最大影响达15%。第三十九页 最大畸变能密度是引起材料屈服的主要因素。即认为无论材料处于什么应力状态,只要最大畸变能密度达到简单拉伸屈服时的极限值,材料就会发生屈服。4. 最大畸变能密度理论（第四强度理论） 构件危险点的形状改变比能 形状改变比能的极限值，由单拉实验测得第四十页屈服条件强度条件实验表明：对塑性材料，此理论比第三强度理论更符合试验结果，在工程中得到了广泛应用。第四十一页强度理论的统一表达式：相当应力第四十二页例例1:1:试用第三强度理论分析图示三种应力状态中哪种最危险？试用第三强度理论分析图示三种应力状态中哪种最危险？第四十三页解：危险点A的应力状态如图例2 直径为d=0.1m的铸铁圆杆受力 T=7kNm, P=50kN =40MPa, 用第一强度理论校核强度安全PPTTAA第四十四页例3 薄壁圆筒受最大内压时, 测得x=1.8810-4 y=7.3710-4, 用第三强度理论校核其强度 ( E = 210GPa, = 170MPa, = 0.3 ) 解：由广义虎克定律得Asxy所以，此容器不满足第三强度理论, 不安全第四十五页作业与练习作业：7.27；7.36练习：7.33；7.34第四十六页