二、拉氏变换基本定理,1.线性定理：,2.延迟定理：,3.微分定理：,1,第一页，共39页。,零初始条件：函数 f(t) 及其各阶导数的初始值都等于零,在零初始条件下，,5.初值定理：若函数 f(t) 及其一阶导数都是可拉氏变换的，则函数 f(t) 的初值为,4.积分定理：,2,第二页，共39页。,注意：在运用终值定理前必须先判定终值定理中的条件是否都满足，比如,在虚轴上有极点,在右半平面上有极点,6.终值定理：若函数 f(t) 及其一阶导数都是可拉氏变换的，sF(s)在包含虚轴的右半平面内解析（无极点），则函数 f(t) 的终值为,以上函数不能使用终值定理,3,第三页，共39页。,3、指数函数：,4、幂函数：,或者,三、常用拉氏变换对举例,1、脉冲函数：,2、阶跃函数：,4,第四页，共39页。,F(s)化成下列因式分解形式：,四、拉氏反变换,F(s)中具有不同的极点时，可（留数法）展开为,5,第五页，共39页。,例1 求 的原函数,将F(s)的分母因式分解为,6,第六页，共39页。,F(s)含有多重极点时，可展开为,其余各极点的留数确定方法与上同。,7,第七页，共39页。,例2 求 的原函数,8,第八页，共39页。,第二章 控制系统的数学模型,2-2 控制系统的时域数学模型 2-3 控制系统的复数域数学模型 2-4 控制系统的结构图及信号流图 组成、等效变换、简化、Mason公式 2-5数学模型的实验测定法,9,第九页，共39页。,控制系统数学模型是对实际物理系统的一种数学抽象。 要对自动控制系统进行定量（精确）地分析和设计，首先要建立系统的数学模型。 数学模型：描述系统内部各物理量之间关系的数学表达式。 物理量：高度、速度、温度、压力、流量、电压、电流 。 数学表达式：代数方程、微分方程。 动态数学模型：系统变量对时间的变化率，反映系统的动态特性。 用微分方程描述,10,第十页，共39页。,建模方法 ：分析法、实验法,分析法是对系统各部分的运动机理进行分析，根据系统运动规律（定律、经验公式）和结构参数，写出系统输入输出之间数学关系式（运动方程式）。,利用物理定律如牛顿定律、基尔霍夫电流、电压定律、能量守恒定律和热力学定律等。,11,第十一页，共39页。,实验法（黑箱法、辨识法）：人为施加某种测试信号，记录基本输出响应，根据输入输出响应辨识出数学模型或用适当的数学模型去逼近。,系统辨识（数学建模）是一门独立学科 方法：频率特性法 最小二乘法 (曲线拟合) 神经元网络法 模糊模型法,模型验证：将实际输出与模型的计算输出进行比较，系统模型需保证两个输出之间在选定意义上的接近。,12,第十二页，共39页。,1.线性系统的基本特征,性质或特征：满足叠加原理（叠加性、齐次性）,叠加原理表明：两个外作用同时加于系统所产生的总输出等于各个外单独作用时分别产生的输出之和。且外作用的数值增大若干倍时，其输出亦相应增大同样的倍数。,2-2 控制系统的时域数学模型,13,第十三页，共39页。,微分方程的建立步骤,第二步：联立各环节的数学表达式，消去中间变量，得到描 述系统输出、输入关系的微分方程。,第一步：将系统分成若干个环节，列写各环节的输出输入的数学表达式。,利用适当的物理定律如牛顿定律、基尔霍夫电流和电压定律、能量守恒定律等。,重点研究描述线性、定常、集中参（数）量控制系统的微分方程的建立和求解方法。,2、建立线性系统的微分方程,14,第十四页，共39页。,例2-1 如图所示，写出RLC电路的微分方程。,二阶线性微分方程,解：明确输入量 ， 输出量,第一步：环节数学表达式,第二步：消去中间变量,15,第十五页，共39页。,列写如图所示电枢控制直流电动机的微分方程，要求取电枢电压Ua(t)为输入量，电动机转速m(t)为输出量，列写微分方程。图中Ra、La分别是电枢电路的电阻和电感，Mm为电磁转矩。,例2-2电枢控制直流伺服电动机,电,枢,控,制,直,流,电,动,机,原,理,图,教材P34例2-9,16,第十六页，共39页。,解：,电枢控制直流电动机的工作实质是将输入的电能转换为机械能，也就是由输入的电枢电压Ua(t)在电枢回路中产生电枢电流ia(t)，再由电流ia(t)与激磁磁通相互作用产生电磁转距Mm(t)，从而拖动负载运动。因此，直流电动机的运动方程可由以下两个部分组成。 电枢回路电压平衡方程 电动机轴上的转距平衡方程,17,第十七页，共39页。,ea 是电枢反电势，它是当电枢旋转时产生的反电势，其大小与激磁磁通及转速成正比，方向与电枢电压ua(t)相反，即 ea=Cem(t) Ce反电势系数(v/rad/s),电枢回路电压平衡方程：,18,第十八页，共39页。,-电枢电流产生的电磁转距,-电动机转距系数,电动机轴上的转距平衡方程：,fm-电动机和负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系数,Jm转动惯量（电动机和负载折合到电动机轴上的）,19,第十九页，共39页。,电动机机电时间常数,在工程应用中，由于电枢电路电感La较小，通常忽略不计，因而可简化为,、求出ia(t)，连同一起代入得：,电动机的放大系数,20,第二十页，共39页。,微分方程的建立步骤,第二步：联立各环节的数学表达式，消去中间变量，得到描 述系统输出、输入关系的微分方程。,第一步：将系统分成若干个环节，列写各环节的输出输入的数学表达式。,利用适当的物理定律如牛顿定律、基尔霍夫电流和电压定律、能量守恒定律等。,21,第二十一页，共39页。,3、线性微分方程的求解,线性微分方程的求解方法：,解析法、拉普拉斯变换法、计算机辅助求解,拉普拉斯变换法求解微分方程基本步骤：,（1）考虑初始条件，对微分方程中的各项进行拉式变换，变成变量s的代数方程。,（2）由变量s的代数方程求出系统输出量的拉式变换式。,（3）对输出量的拉式变换式进行拉式反变换，得到系统微 分方程的解。,22,第二十二页，共39页。,例2-3 设线性微分方程为,式中， 为单位阶跃函数，初始条件为 ， ，试求该微分方程的解。,解：,（1）对微分方程中的各项进行拉式变换得,（2）将初始条件代入上式，得,23,第二十三页，共39页。,（3）对式（1）进行分解：,式中,对Y（S）进行拉式反变换（查表）,24,第二十四页，共39页。,例2.4 设线性微分方程为,式中， 为单位阶跃函数，初始条件为零，试求 。,式中,25,第二十五页，共39页。,4、运动模态,线性微分方程的解特解+齐次微分方程的解（通解）,通解由线性微分方程的特征根决定，代表系统的自由运动。,每一种模态代表一种类型的运动状态。,齐次微分方程的通解为它们的线性组合，即,有重根 时，模态具有形如 的函数。,有共轭复根 时，,共轭复模态为：,写成实函数的形式为：,26,第二十六页，共39页。,（3）对式（1）进行分解：,式中,对Y（S）进行拉式反变换,27,第二十七页，共39页。,例2.4 设线性微分方程为,式中， 为单位阶跃函数，初始条件为零，试求 。,28,第二十八页，共39页。,输入位移,输出位移,C,阻尼器的阻尼力：,f 是阻尼系数,29,第二十九页，共39页。,5.非线性微分方程（描述系统）的线性化,线性微分方程能直接描述的系统是很少的。有也只是近似的。严格地说，实际物理系统都是非线性的。 在一定条件下，为了简化元件数学模型，忽略次要因素，视为线性元件。 考虑在工作点附近运动，采用数学法近似，如切线法或泰勒级数展开法,30,第三十页，共39页。,习题2-4 在液压系统管道中，设通过阀门的流量Q满足如下流量方程：,式中，K为比例常数；P为阀门前后的压差。若流量Q与压差P在其平衡点（Q0，P0）附近作微小变化，试导出线性化流量方程。,31,第三十一页，共39页。,2-3 控制系统的复数域数学模型 传递函数,1 传递函数的定义和主要性质,传递函数是在用拉氏变换求解线性常微分方程的过程中引申出来的概念。,微分方程是在时域中描述系统动态性能的数学模型，在给定 外作用和初始条件下，解微分方程可以得到系统的输出响应。系统结构和参数变化时分析较麻烦。能否不解方程进行系统分析？,定义：线性定常系统的传递函数，定义为零初始条件下，系 统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。,32,第三十二页，共39页。,设r(t)和c(t)及其各阶系数在t=0是的值均为零，即零初始条件，则对上式中各项分别求拉氏变换，并令C(s)Lc(t)，R(s)=Lr(t)，可得s的代数方程为：,33,第三十三页，共39页。,性质1 传递函数是复变量s的有理真分式函数，mn， 且所具有复变量函数的所有性质。（物理可实现）,性质2 G(s)取决于系统或元件的结构和参数，与输入量 的形式（幅度与大小）无关。,性质3 G(s)虽然描述了输出与输入之间的关系，但它不提 供任何该系统的物理结构。因为许多不同的物理 系统具有完全相同的传递函数。,性质4 如果G(s)已知，那么可以研究系统在各种输入信号 作用下的输出响应。,性质5 如果系统的G(s)未知，可以给系统加上已知的输入， 研究其输出，从而得出传递函数，一旦建立G(s)就可 获得该系统动态特性的完整描述，与其它物理系统 描述不同。,34,第三十四页，共39页。,性质6 传递函数与微分方程之间有关系。,性质7 传递函数G(s)的拉氏反变换是脉冲响应g(t) 脉冲响应g(t)是系统在单位脉冲输入时的输出响应。,如果将 置换,35,第三十五页，共39页。,传递函数G(s)的零点 和极点,2 传递函数G(s)的零点和极点,36,第三十六页，共39页。,3 传递函数G(s)的零点和极点对输出的影响,37,第三十七页，共39页。,极点和零点分布图,38,第三十八页，共39页。,传递函数的零点影响到各模态在运动中所占的“比重”,从工程的角度看，决不能认为系统的动态性质唯一地或者主要地由传递函数的极点决定，必须注意到零点的作用。,39,第三十九页，共39页。,