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浅谈空间向量与立体几何 王龙高考对立体几何平行与垂直的考查是高考的热点和重点,可以考查线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定与性质,也可以考查线面平行的判定与性质、面面平行的判定与性质,解题思路有几何法和向量法两种.对空间角的考查重点考查异面直线所成角、线面角、二面角,思路也有两种,几何法与坐标法,几何法运算量小,但辅助线不易做,坐标法思路明晰,但运算量大,容易出错。利用空间向量解决立体几何问题,考查空间向量能力和运算求解能力和转化与化归思想。一、刻画直线与平面方向的向量1.直線用直线的方向向量刻画直线的方向问题,而方向向量可由直线上的两个点来确定2.平面用平面的法向量来刻画平面的倾斜程度,何为法向量?与平面垂直的直线称为平面的法线,法线的方向向量就是平面的法向量,如何求出指定平面的法向量呢?(1)所需条件:平面上的两条相交的直线。(2)求法:(先设再求)设平面的法向量为,若平面上所选两条直线的方向向量分别为,则可列出方程组,利用数量积为零解出的比值即可。二、空间向量可解决的立体几何问题。1.判定类(1)线面平行:(2)线面垂直:(3)面面平行:(4)面面垂直:2.计算类:(1)两直线所成角:(2)线面角:(3)二面角:或(视平面角与法向量夹角关系而定)(4)点到平面距离:设为平面外一点,为平面上任意一点,则到平面的距离为,即在法向量上投影的绝对值。三、点的存在性问题立体几何在高考解答题中,最后一问往往涉及点的存在性问题,即是否在某条线上存在一点,使之满足某个条件,主要介绍使用空间向量解决该问题时的方法与技巧。解答此类题目,以2016全国卷,以第19题为例:例1、如图,四棱锥P?ABC中,PA底面ABCD,ADBC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.(I)证明MN平面PAB;(II)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值。试题分析:试题解析:(I)由已知得.取的中点,连接,由为中点知,. 又,故,四边形为平行四边形,于是.因为平面,平面,所以平面.(II)取的中点,连结.由得,从而,且。以为坐标原点,的方向为轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.由题意知,.设为平面的一个法向量,则即可取.于是.考点:空间线面间的平行关系,空间向量法求线面角.技巧点拨:(1)证明立体几何中的平行关系,常常是通过线线平行来实现,而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证。(2)求解空间中的角和距离常常可通过建立空间直角坐标系,利用空间向量中的夹角与距离来处理。三、向量法解决二面角问题解答本此类题目,以2017全国卷,理19第二问为例:例2、如图,四面体ABCD中,ABC是正三角形,ACD是直角三角形,ABD=CBD,AB=BD.(1)证明:平面ACD平面ABC;(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角DAEC的余弦值.试题解析:由题设及(1)知,两两垂直,以为坐标原点,的方向为轴正方向,为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系.则.由题设知,四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的,从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的,即E为DB的中点,得.故.设是平面DAE的法向量,则即可取.设是平面AEC的法向量,则同理可取.则.所以二面角D-AE-C的余弦值为.考点:二面角的平面角;二面角的向量求法技巧点拔:(1)求解本题要注意两点:一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角,二是利用方程思想进行向量运算时,要认真细心,准确计算。(2)设m,n分别为平面,的法向量,则二面角与互补或相等,故有,求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角。四、量法解决立体几何探索性问题解答本类题目,以2016北京,理17 第三问为例:例3、如图,在四棱锥中,平面平面,.(I)求证:平面;(II)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值;(III)在棱PA上是否存在点M,使得BM平面PCD?若存在,求的值;若不存在,说明理由.试题解析:(I)、略(II)如图建立空间直角坐标系,由题意得,A(0,1,0),B(1,1,0),C(2,0,0),D(0,-1,0),P(0,0,1)设平面的法向量为,则即令,则.所以.又,所以.所以直线与平面所成角的正弦值为.(III)设是棱上一点,则存在使得.因此点.因为平面,所以平面当且仅当,即,解得.所以在棱上存在点使得平面,此时.考点:空间线面垂直的判定定理与性质定理;线面角的计算;空间想象能力,推理论证能力。技巧点拔:平面与平面垂直的性质定理的应用:当两个平面垂直时,常作的辅助线是在其中一个平面内作交线的垂线,把面面垂直转化为线面垂直,进而可以证明线线垂直(必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关系),构造(寻找)二面角的平面角或得到点到面的距离等。高考对本部分内容的考查以能力为主,重点考查空间想象能力,线面关系、面面关系、数形结合的思想等。高考试题对该部分内容考查的主要角度有两种:一种是利用立体几何的知识证明线面关系、面面关系;一种是考查学生利用空间向量解决立体几何的能力.重点对该部分内容的考查仍将以能力考查为主,要求学生有良好的空间想象能力和立体几何素养。 -全文完-
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