学习必备欢迎下载高考不等式经典例题【例 1】已知 a0，a1 ，Ploga(a3a1)，Qloga(a2a1)，试比较 P 与 Q 的大小 . 【解析】 因为 a3a1(a2a1)a2(a1)，当 a1 时， a3 a1a2a1，PQ；当 0a1 时， a3a1a2a1，PQ；综上所述， a0，a1时， PQ. 【变式训练 1】已知 ma1a2(a2)，nx2(x12)，则 m，n 之间的大小关系为() A.mnB.mn C.mnD.mn【解析】 选 C.本题是不等式的综合问题，解决的关键是找中间媒介传递. ma1a2a21a22224，而 nx2(12)24. 【变式训练 2】已知函数 f(x)ax2c，且 4f(1) 1， 1f(2)5，求 f(3)的取值范围 . 【解析】 由已知 4f(1)ac1， 1f(2)4ac5. 令 f(3)9ac (ac) (4ac)，所以1,9438,35故 f(3)53(ac)83(4ac)1,20. 题型三开放性问题【例 3】已知三个不等式：ab0；cadb； bcad.以其中两个作条件，余下的一个作结论，则能组成多少个正确命题？【解析】 能组成 3 个正确命题 .对不等式作等价变形:cadb?bcadab0. (1)由 ab0，bcad?bcadab0，即 ? ；(2)由 ab0，bcadab0? bcad0? bcad，即 ? ；(3)由 bcad0，bcadab0? ab0，即 ? . 故可组成 3 个正确命题 . 【例 2】解关于 x 的不等式 mx2(m2)x20 (mR). 【解析】 当 m0 时，原不等式可化为2x20，即 x 1；当 m0 时，可分为两种情况：(1)m0 时，方程 mx2(m2)x20 有两个根， x1 1，x22m. 所以不等式的解集为 x|x 1 或 x2m ；(2 )m0 时，原不等式可化为mx2(2m)x20，精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载其对应方程两根为x1 1，x22m，x2x12m(1)m2m. m 2 时， m20，m0，所以 x2x10，x2x1， 不等式的解集为 x|1x2m ；m 2 时， x2x1 1，原不等式可化为(x1)20，解集为 ?； 2m0 时， x2x10，即 x2x1，不等式解集为 x|2mx 1. 【变式训练 2】解关于 x 的不等式ax1x10. 【解析】 原不等式等价于 (ax1)(x1)0. 当 a0 时，不等式的解集为x|x 1；当 a0 时，不等式的解集为 x|x1a或 x 1；当 1a0 时，不等式的解集为x|1ax 1；当 a 1 时，不等式的解集为?；当 a 1 时，不等式的解集为x|1x1a. 【例 3】已知 ax2bxc0 的解集为 x|1x3，求不等式cx2bxa0 的解集 . 【解析】 由于 ax2bxc0 的解集为 x|1x3，因此 a0，解得 x13或 x1. (1)zx2y4 的最大值；(2)zx2y210y25 的最小值；(3)z2y1x1的取值范围 . 【解析】 作出可行域如图所示，并求出顶点的坐标A(1,3)，B(3,1)，C(7,9). (1)易知直线x2y4z过点 C 时，z 最大 . 所以 x7，y9 时，z取最大值 21. (2)zx2(y5)2表示可行域内任一点(x，y)到定点 M(0,5)的距离的平方，过点 M 作直线 AC 的垂线，易知垂足N 在线段 AC 上，故 z的最小值是 (|052|2)292. (3)z2y(12)x(1)表示可行域内任一点(x，y)与定点 Q(1，12)连线斜率的2 倍. 因为 kQA74，kQB38，所以 z 的取值范围为 34，72. 【例 1】(1)设 x，yR，且 xy(xy)1，则 () A .xy2(21) B .xy2(21) C. xy2(21)2D. xy(21)2(2)已知 a，bR，则ab，ab2，a2b22，2abab的大小顺序是. 【解析】 (1)选 A.由已知得 xy1(xy)，又 xy(xy2)2，所以 (xy2)21(xy). 解得 xy2(21)或 xy2(12). 因为 xy0，所以 xy2(21). (2)由ab2ab有 ab2ab，即 ab2abab，所以ab2abab. 精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载又ab2a22abb242(a2b2)4，所以a2b22ab2，所以a2b22ab2ab2abab. 【变式训练1】设 abc，不等式1ab1bcac恒成立，则 的取值范围是. 【解析】 ( ，4).因为 abc，所以 ab0， bc0，ac0. 而(ac)(1ab1bc)(ab)(bc)(1ab1bc)4，所以 4. 【例 2】(1)已知 x54，则函数y4x214x5的最大值为；【解析】 (1)因为 x54，所以 54x0. 所以 y4x214x5 (54x154x)3231. 当且仅当 54x154x，即 x1 时，等号成立 . 所以 x1 时， ymax1. 【变式训练2】已知 x，a，b，y 成等差数列， x，c，d，y 成等比数列，求(ab)2cd的取值范围 . 【解析】 由等差数列、等比数列的性质得abxy，cdxy，所以(ab)2cd(xy)2xy2xyyx，当yx0 时，(ab)2cd4；当yx0 时，(ab)2cd0，故(ab)2cd的取值范围是 ( ，04， ).例已知28, ,0,1x yxy，求xy的最小值。解：222846446413223264yxyxxyxyxyxyxyxy。当且仅当2812xy时，即4.16xy，上式取“ =” ，故min64xy。例已知01x，求函数411yxx的最小值。解： 因为01x，所以10 x。所以4 14141159111xxyxxxxxxxx。当且仅当4 11xxxx时，即23x，上式取“ =” ，故min9y。例已知, ,x y zR，且1xyz，求149xyz的最小值。解： 设0，故有10 xyz。精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载1491491491xyzxyzxyzxyzxyz24612。当且仅当149,xyzxyz同时成立时上述 不 等 式 取 “ =” ， 即123,xyz， 代 入1xyz， 解 得36， 此 时1 236，故149xyz的最小值为36。例若正实数x，y满足26xyxy，则xy 的最小值是。 （变式：求2x+y 的最小值为_）答案： 18 解：因为x0，y0 ，所以62262xyyxxy，2 260 xyxy，解得3 22xyxy或（舍）等号当且仅当2x=y= 6 时成立，故xy 的最小值为18。变式答案： 12 解：因为 x0，y0 ，所以21 226()22xyxyxy整理得2(2)8(2)480 xyxy，解得21224(xyxy或舍）等号当且仅当2x=y= 6 时成立，故2x+y 的最小值为12。例若对任意0 x，231xaxx恒成立，则a的取值范围是。答案：15a解：因为0 x，所以12xx（当且仅当x=1时取等号），所以有21111312353xxxxx，即231xxx的最大值为15，故15a。精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - - -