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2008年天津高考理科数学真题及答案本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟。第卷1至2页,第卷3至10页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利!一、选择题:在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.(1)是虚数单位, (A) (B) 1 (C) (D) (2)设变量满足约束条件,则目标函数的最大值为 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5(3)设函数,则是 (A) 最小正周期为的奇函数 (B) 最小正周期为的偶函数(C) 最小正周期为的奇函数 (D) 最小正周期为的偶函数(4)设是两条直线,是两个平面,则的一个充分条件是(A) (B) (C) (D) (5)设椭圆上一点P到其左焦点的距离为3,到右焦点的距离为1,则P点到右准线的距离为 (A) 6 (B) 2 (C) (D) (6)设集合,则的取值范围是(A) (B) (C) 或 (D) 或(7)设函数的反函数为,则(A) 在其定义域上是增函数且最大值为1 (B) 在其定义域上是减函数且最小值为0 (C) 在其定义域上是减函数且最大值为1(D) 在其定义域上是增函数且最小值为0 (8)已知函数,则不等式的解集是(A) (B) (C) (D) (9)已知函数是定义在R上的偶函数,且在区间上是增函数.令,则 (A) (B) (C) (D) (10)有8张卡片分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8,从中取出6张卡片排成3行2列,要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5,则不同的排法共有 (A) 1344种 (B) 1248种 (C) 1056种 (D) 960种第卷注意事项:1答卷前将密封线内的项目填写清楚。2用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上3本卷共12小题,共100分。二、填空题(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.把答案填在题中横线上.)(11)的二项展开式中的系数是 (用数字作答).(12)一个正方体的各顶点均在同一球的球面上,若该球的体积为,则该正方体的表面积为 .(13)已知圆C的圆心与抛物线的焦点关于直线对称,直线与圆C相交于两点,且,则圆C的方程为 .(14)如图,在平行四边形中,则 .(15)已知数列中,则 .(16)设,若仅有一个常数c使得对于任意的,都有满足方程,这时,的取值的集合为 .三、解答题(本题共6道大题,满分76分)(17)(本小题满分12分)已知.()求的值;()求的值.(18)(本小题满分12分)甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中率分别为与,且乙投球2次均未命中的概率为.()求乙投球的命中率;()若甲投球1次,乙投球2次,两人共命中的次数记为,求的分布列和数学期望.(19)(本小题满分12分)如图,在四棱锥中,底面是矩形.已知.()证明平面;()求异面直线与所成的角的大小;()求二面角的大小.(20)(本小题满分12分)已知函数,其中.()若曲线在点处的切线方程为,求函数的解析式;()讨论函数的单调性;()若对于任意的,不等式在上恒成立,求的取值范围.(21)(本小题满分14分)已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是,一条渐近线的方程是.()求双曲线C的方程;()若以为斜率的直线与双曲线C相交于两个不同的点M,N,且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为,求的取值范围.(22)(本小题满分14分)在数列与中,数列的前项和满足, 为与的等比中项,.()求的值;(II)求数列an与bn的通项公式;(III)设Tn=(-1)b1+(-1) b2+(-1) bn ,n 证明|Tn|2n2, n3参考答案一、选择题:(1) A(2) D(3) B(4) C(5) B(6) A (7) D(8) C(9) A(10) B二、填空题:(11) 40 (12) 24(13) x2+(y-1)2=10(14) 3 (15) (16) 2三、解答题:(17)解:()解法一:因为,所以,于是解法二:由题设得,即又sin2x+cos2x=1,从而25sin2x-5sinx-12=0,解得sinx=或sinx=因为,所以()解:因为,故所以(18)解:()设“甲投球一次命中”为事件A,“乙投球一次命中”为事件B由题意得解得或(舍去),所以乙投球的命中率为()由题设和()知可能的取值为0,1,2,3,故的分布列为0123的数学期望(19)解:()证明:在中,由题设,AD=2可得,于是。在矩形中,.又,所以平面.()解:由题设,所以(或其补角)是异面直线与所成的角.在中,由余弦定理得由()知平面,平面,所以,因而,于是是直角三角形,故所以异面直线与所成的角的大小为.()解:过点P做于H,过点H做于E,连结PE因为平面,平面,所以.又,因而平面,故HE为PE在平面ABCD内的射影.由三垂线定理可知,从而是二面角的平面角。由题设可得,于是在中,所以二面角的大小为(20)本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、解不等式等基础知识,考查运算能力、综合分析和解决问题的能力满分12分()解:,由导数的几何意义得,于是由切点在直线上可得,解得所以函数的解析式为()解:当时,显然()这时在,内是增函数当时,令,解得当变化时,的变化情况如下表:00极大值极小值所以在,内是增函数,在,(0,)内是减函数()解:由()知,在上的最大值为与中的较大者,对于任意的,不等式在上恒成立,当且仅当,即,对任意的成立从而得,所以满足条件的的取值范围是(21)本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识,考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法,考查推理运算能力满分14分()解:设双曲线的方程为()由题设得,解得,所以双曲线C的方程为()解:设直线的方程为()点,的坐标满足方程组将式代入式,得,整理得此方程有两个不等实根,于是,且整理得 由根与系数的关系可知线段的中点坐标满足,从而线段的垂直平分线的方程为此直线与轴,轴的交点坐标分别为,由题设可得整理得,将上式代入式得,整理得,解得或所以的取值范围是(22)本小题主要考查等差数列的概念、通项公式及前项和公式、等比数列的概念、等比中项、不等式证明、数学归纳等基础知识,考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法满分14分()解:由题设有,解得由题设又有,解得()解法一:由题设,及,进一步可得,猜想,先证,当时,等式成立当时用数学归纳法证明如下:(1)当时,等式成立(2)假设时等式成立,即,由题设,的两边分别减去的两边,整理得,从而这就是说,当时等式也成立根据(1)和(2)可知,等式对任何的成立综上所述,等式对任何的都成立再用数学归纳法证明,(1)当时,等式成立(2)假设当时等式成立,即,那么这就是说,当时等式也成立根据(1)和(2)可知,等式对任何的都成立解法二:由题设 的两边分别减去的两边,整理得,所以,将以上各式左右两端分别相乘,得,由()并化简得,上式对也成立由题设有,所以,即,令,则,即由得,所以,即,解法三:由题设有,所以,将以上各式左右两端分别相乘,得,化简得,由(),上式对也成立所以,上式对时也成立以下同解法二,可得,()证明:当,时,注意到,故当,时,当,时,当,时,所以从而时,有总之,当时有,即
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