2020-2021学年湖北省荆门市栗溪职业高级中学高三数学文下学期期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 等比数列的前项和为，且成等差数列若，则()A7 B8 C15 D16参考答案：C2. 若，则（ ）A. z的实部大于的实部B. z的实部等于的实部C. z的虚部大于的虚部D. z的虚部小于的虚部参考答案：C【分析】利用复数的乘法运算计算即可.【详解】因为，所以的实部小于的实部，的虚部大于的虚部.故选：C【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.3. 已知双曲线的离心率为，且它的一个焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲线的标准方程可以是 （ ）A B C D参考答案：焦点在轴时，渐近线方程，焦点到渐近线的距离，解得，即方程是，若焦点在轴方程就是，故选B.考点：双曲线标准方程4. 已知F1, F2是双曲线的两焦点,以线段F1F2为边作正三角形MF1F2,若边MF1的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是 （ ）A. B. C. D. 参考答案：B5. 已知球的直径SC=4，A,B是该球球面上的两点，AB=，则棱锥S-ABC的体积为（A） （B） （C） （D）1参考答案：C本题主要考查了球与多面体的组合体问题，考查了割补思想在球体积中的应用，难度中等.连结OA、OB，则OA=OB=OS,又，则，作面OAB，连结OH，由三余弦定理得：,即，点C到平面AOB的距离为，球半径为2， ，因此,则,选C.6. 某火车站在节日期间的某个时刻候车旅客达到高峰，此时旅客还在按一定的流量到达，如果只打开三个检票口，需要半小时才能使所有滞留旅客通过检票口，如果打开六个检票口则只需10分钟就能让所有滞留旅客通过，现要求在5分钟内使所有滞留旅客通过，则至少同时需要打开的检票口数为（假设每个检票口单位时间内的通过量相等） A.9 B.10 C.11D.12参考答案：C7. 函数的定义域是( )A B C D参考答案：8. 已知扇形的周长是3cm，面积是cm2，则扇形的中心角的弧度数是（ ）A. 1 B. 1或4 C. 4 D. 2或4参考答案：B 9. 已知集合，则（ ）A0,3B0,1)C1,3D(1,3 参考答案：C集合集合故选C10. 若椭圆过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点，则该椭圆的方程为A. B. C. D. 参考答案：A略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知圆与直线相交于、两点，则当的面积最大时，实数的值为 参考答案：12. 在平面直角坐标系中，已知点，P是动点，且的三边所在直线 的斜率满足 （1）求点P的轨迹C的方程 （2）若Q是轨迹C上异于点P的一个点，且，直线OP与QA交于点M， 问：是否存在点P，使得PQA和PAM的面积满足 ？ 若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。 参考答案：解：（1）设点为所求轨迹上的任意一点，则由，得 ，整理得轨迹的方程为且 -4分（没有注明限制条件给2分）（2）设,由,可知直线则,故，即， 直线OP的方程为， 直线QA的斜率为， 直线QA的方程为， 即， 联立得 ，点的横坐标为定值由，得到，因为，所以, 由，得，的坐标为 12分略13. 已知数列的前项和为，且，则的值为 参考答案：38414. 已知函数，且函数有且仅有两个零点，则实数的取值范围是 参考答案：由得，设。做出函数的图象，当时，直线与有两个交点，所以要使有且仅有两个零点，则有，即实数的取值范围是。15. 已知向量，若，则实数_;参考答案：216. 如图，椭圆中，F1、F-2分别是椭圆的左、右焦点，A、B分别是椭圆的左、右顶点，C是椭圆上的顶点，若CF1B=60，则椭圆的离心率e= 。参考答案：略17. 若函数在上是奇函数，则实数= 参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 圆锥曲线C的极坐标方程为：2（1+sin2）=2（1）以极点为原点，极轴为x轴非负半轴建立平面直角坐标系，求曲线C的直角坐标方程，并求曲线C在直角坐标系下的焦点坐标以及在极坐标系下的焦点坐标；（2）直线l的极坐标方程为=（R），若曲线C上的点M到直线l的距离最大，求点M的坐标（直角坐标和极坐标均可）参考答案：【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程【分析】（1）利用互化公式可得直角坐标方程，进而得到焦点的直角坐标与极坐标（2）直线l的极坐标方程为=（R），可得直线l的直角坐标方程为y=，曲线C的参数方程为，（02），设M（），利用点到直线的距离公式可得：M到直线的距离d，再利用三角函数的单调性即可得出【解答】解：（1）圆锥曲线C的极坐标方程为：2（1+sin2）=2，曲线C的直角坐标方程：x2+y2+y2=2，化为，焦点直角坐标：F1（1，0），F2（1，0）焦点极坐标：F1（1，），F2（1，0）（2）直线l的极坐标方程为=（R），直线l的直角坐标方程为y=，曲线C的参数方程为，（02），设M（），则M到直线的距离d=，sin（+）=1时，曲线C上的点M到直线l的距离最大，此时解得 sin=，cos=；sin=，cos=或【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标、椭圆的标准方程及其性质、点到直线的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19. (本小题满分14分)已知数列的前n项和 (n为正整数)。(I)令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；()令，试比较与的大小，并予以证明参考答案：（）在中，令n=1，可得，即.1当时，.2. 又数列是首项和公差均为1的等差数列.4于是.6(II)由（I）得，所以由-得 911于是确定的大小关系等价于比较的大小猜想：当证明如下：证法1：（1）当n=3时，由猜想显然成立（2）假设时猜想成立即则时，所以当时猜想也成立综合（1）（2）可知 ，对一切的正整数，都有证法2：当时综上所述，当，当时1420. 已知函数，其中为常数，函数的图象与坐标轴交点处的切线为，函数的图象与直线交点处的切线为，且.（）若对任意的，不等式成立，求实数的取值范围.（）对于函数和公共定义域内的任意实数.我们把 的值称为两函数在处的偏差。求证：函数和在其公共定义域的所有偏差都大于2.参考答案：解（）函数的图象与坐标轴的交点为， 又 函数的图象与直线的交点为， 又 由题意可知， , 又，所以.3分 不等式可化为 即 令，则， 又时， 故在上是减函数即在上是减函数 因此，在对任意的，不等式成立，只需所以实数的取值范围是.8分（）证明：和的公共定义域为，由（）可知，,令，则， 在上是增函数 故，即 . 令，则，当时，；当时，有最大值，因此由得，即又由得由得故函数和在其公共定义域的所有偏差都大于2.12分略21. 已知椭圆：的短轴的一个顶点和两个焦点构成直角三角形，且该三角形的面积为1（）求椭圆的方程；（）设，是椭圆的左、右焦点，若椭圆的一个内接平行四边形的一组对边过点和，求这个平行四边形面积的最大值参考答案：（）;（）试题分析：（）由条件列式解得即得椭圆的方程.试题解析：（）依题意解得即椭圆的方程为（）设过椭圆右焦点的直线：与椭圆交于，两点，则整理得， ，椭圆的内接平行四边形面积为，令，则 ，注意到在上单调递减，所以，当且仅当，即时等号成立，故这个平行四边形的面积最大值为22. 在中，已知，是的平分线，的外接圆交边于点，求证：参考答案：证明：如图，在中，因为是的平分线，所以 又，所以 因为与是圆过同一点的弦，所以，即 由、可知 ，所以