浅谈数学的统一性陈伟荣(外国语学院 德语专业 学号：1011493 )摘要：正如伽利略所说：大自然是一本书，而这本书的语言是用数学来写的。的确，数学 是众多自然科学的基础，它博大精深。而且数学庞大的体系，众多的分支，以及丰富的交叉 学科，绝非一般的学科所能比拟的。并且，在如今这个知识爆炸的时代，它还在不断向前发 展，向外延伸新的分支。如此庞大的学科要顺利地发展不发生巨大的分裂，其内部必然有着 高度的统一性。而这统一性也常常表现在一些简单的实例上。本文将结合几个简单的实例， 谈谈关于数学统一性的一些浅显的见识。关键词：学科；数学分支；统一性；联系数学在近代的发展是一部不断产生新的理论，不断产生新的分支，不断与其他学科交融而 形成交叉学科的历史。从牛顿和莱布尼茨创立微积分开始，之后就开始出现无数的新兴的分 支和理论，比如说：非欧几何、集合论、拓补学、数理逻辑等。据统计，在数学学科的核心 范围内，已经有将近100种可以辨认的分科。如此之多的数学分支，各个分支又是相当地高 深广博，数学的统一性又是如何体现呢？其实数学的统一性不仅仅表现在统一的数学符号和 共同的数学语言，更表现在其内在的本质联系。下面，我将结合一些例子来展现这一惊人的 统一性以及对它的一点思考。1. 牛顿-莱布尼茨公式一不同数学概念统一于同一个公式任何一个略微学习过微积分的人都知道牛顿-莱布尼茨公式。它作为一个突破性的成果， 极大地推动了微积分学的发展，被称为微积分基本定理。这个公式是这样的：f(x)dx = F(b) - F(a)其实这个公式极大地展现了微积分这一数学分支内部的统一性与联系性：#f(x)dx是定 积分，他是黎曼和的极限，它的实质是曲边梯形的面积。而公式的另一端是原函数在积分上 下限的差，也就是导数的逆运算，它可以用不定积分来完成运算。这个公式的两边完全是不 同的概念，但是两者却可以用等号连接起来。那么，它也就无可否认地展现了微积分内部几 大运算：微分、不定积分、定积分之间强大的内在联系。三者统一于这个公式之中。这就是 数学的统一。几个看似毫无关系的东西，它们的诞生为的也是不同的数学目的，最初解决的 也是不同方面的问题，最后居然能联系起来，能统一计算。牛顿-莱布尼茨公式使得原来通 过求黎曼和的极限的困难运算一下子变得简单了 o而正式这样的统一,推进了微积分的发展= 可见数学的统一性有其应用，它在推进自身的发展上具有不可替代的作用。2. 一个神奇的公式一ei + 1 = 0连接不同的数学分支上面讲的是一个数学分支内部的各个概念，各个运算之间的统一。那么下面出现的则将是 不同数学分支之间的高度联系和高度统一。eTCi + l = O,无论你是否见过这个公式，你都会被它的神奇，被它的美所倾倒。的确，这 是一个不同寻常的公式。首先，组成这个公式的5个数字都是数学中最不寻常的数字:e、TT、l、 0、i“1” 一切实数的出发点，是最简单的也是最基础的实数之一，它最初是来自于自然数的 概念的。“0”是实数中唯一的一个中性数。“i”是虚数的基本单位，是为了解决复数问题以及一些无实根的代数方程而诞生的一个 概念。而“e”和“ n ”则是两个地位超群的超越数（所谓的超越数是指一个数不是任何整系数 方程的根）。其中n是圆周率，是为了解决几何问题一求圆周长而产生的。e是近代发现 的，eTimn” （1 + 9：它是为了编制对数表而产生的概念，是自然对数的底，应用广泛。它们分别是不同的数学分支给出的概念，来自于不同的数学分支。它们也是最具代表性的 数字，代表了它们最初所存在的领域。“0”、“1”代表算术，“i”代表代数，“兀”代表几何， 而“e”代表了数学分析。但是这五个地位超群的数字却被欧拉用一个极其简单的式子 e + 1 = 0连接了起来，不可谓不神奇。也许这几个数字的给出者并没有想到他们之间还能 形成如此强烈的联系，如此高度的统一。这个公式恰当地表现了数学的各个分支之间的一种 不可抹去的内在的本质的联系、统一与和谐，各个分支往往能通过某种方式相联系。而这种 统一往往是可以在一种比较简单的形式中表现得淋漓尽致。并且，这个展示数学的统一性的公式也将数学统一性的应用发挥得很好。它成功地帮助了 数学家证明了 n的超越性。在1873年埃米特证明了 e的超越性的基础上，德国数学家成功 地利用欧拉公式：M + l = 0证明了兀的超越性。数学的统一性就是如此美妙，利用数学的 统一性，将一个问题转化到另一个问题上，另一个领域中去求解，往往能取得柳暗花明的效 果。类似与这样的，在数学的各个分支层面上通过某种方式得到统一的例了是数不胜数的。像 笛卡尔用坐标系将几何问题与代数问题相统一，希尔伯特的元数学，罗素把数学归为逻辑等。 它们都如此强烈地证明了数学的各个分支之间是不可分割的，它们之间总是可以通过某种方 式得到统一的。而这也是内在统一性的外在表现。3. 数理逻辑一一数学与逻辑的统一体V、水A、V,可曾见过这些符号？没错，它们就是数理逻辑的符号。数理逻辑其实是 数学和逻辑学在一个更高层面一学科层面上的统一。其实，对于数理逻辑的思想早在17 世纪莱布尼茨就有所阐发，最终由布尔建立布尔代数将其实现。将逻辑数学化，通过逻辑代数的运算来达到推理的目的，这是数学与逻辑的完美结合。逻 辑本非数学内部的分支，但是将其数学符号化以后，它成为了一门使用数学符号来研究数学 各领域的公共的学科分支，甚至还形成了以罗素为代表的逻辑主义的数学观。可见数学的统 一性不仅仅表现在数学的内部，还表现在它和外部学科的关系，它甚至可以将外部的学科借 鉴转化，统一为自身的一部分，分化出一门新的数学分支。同样数学与逻辑这样学科层面上的统一也是应用广泛的。例如：利用数理逻辑可以将一些 解析性逻辑问题符号化，代数化，最终通过逻辑代数的运算而非逻辑推理得出正确的结果。 而在表达一些数学的语句上，数理逻辑也显示出了它强大的能力。如：对任意实数a,可以 找到正数策，无论自然数N有多大，总有比N大的自然数n使得I a” - a I 2 %.它可以 记为VaeR, 北（, 0, VNeN,3n N, 3 I an - a I 0如此精确、简洁,这是自然语言所无法 比拟的。4. 关于数学统一性的一点思考数学的统一性是内在而本质的统一，这也就必然产生一个结果：数学的统一性具有极强的 应用性。像牛顿-莱布尼茨公式用于计算定积分，欧拉公式用于证明的超越性，数理逻辑 应用于数学的各个领域，这都是应用性的强烈印证。而正是极强的应用性使得数学的统一性 显得更加重要，更加有生命力。其实将数学作为一个有机的统一体的观念贯穿了整个数学的发展，寻求不同数学理论之间 的内在统一性是现代数学家孜孜以求的目标之一。英国著名的数学家阿蒂亚曾有论断：“经 过半个世纪的急剧专业化发展，核心数学家在发现不同部分之间深层联系的基础上正经历一 次重新统一的复兴。”从较早的笛卡尔将几何与代数统一于坐标系开始，数学一直在追求更 高层次，更高阶段的统一。然而，随着数学的发展，数学的统一性不再是简单的、机械的统一，不是将各个分支简单 地拼凑，它是一种辩证的和多层次的统一性。数学的统一是在不断分化的基础上实现的，在高度分化之中有一种内在的张力，使其在本 质上统一。也许只有更高阶段的分化才能带来更高层次的统一，这几乎成了数学的基本规律 之一了。比如说，在数学分析没有出现，在复数没有出现时也就没有e,i这两个数了，何谈 通过欧拉公式将它们统一起来呢？而另一个例子也恰好更能说明问题:欧式几何曾经是几何 的唯一形式，这样一种状态持续了 2000年之久。而这样的情况也是貌似“统一”的。然而 在19世纪，非欧几何出现了。这样就使得几何出现了分化。并且，希尔伯特在继承前人研 究的基础上，用严格的的公理方法，对两者的异同点进行分类。而后克莱因提出了用变换群 作为几何学分类基础的观点，如:运动变换群对应欧式几何，仿射变换群对应仿射几何学等。 这就使得各种几何在群论的观点下得到统一，显示出几何学的有机整体性。的确，数学分支众多，而这其实是将数学条分缕析，将其作更加深入的分析解释，然后再 在更高层次上统一。这其实也是数学发展的一个必然的过程。因为数学问题层出不穷，进行 分化的过程中数学会变得更加精确，更加全面地描绘大自然。在这个过程中，数学本身也得 到了发展。因此，数学的统一并不是为了统一而统一，数学分化也是统一的前提与表现，它 也是数学发展的必要过程。我们需要正视这一现象。5. 结语数学统一性的特征正在不断发展，它也是一个永无止境的过程。数学现代发展趋势表明，数学正在经历一场新的变革。新的数学分支，新的方法，新的领 域不断产生，这些都促使人们寻求更广泛意义上的联系与统一。我们虽然仅仅涉足了数学的 一个角落，但是认识数学的整体性及其发展对我们认识整个数学世界，更好地学习数学是有 帮助的。其实数学一直在显示着它的统一性，只要认真观察便会有所悟得。参考文献：数学哲学与数学文化黄秦安 陕西师范大学出版社1999.9大学文科数学戴瑛主编高等教育出版社2009.11 数学符号学概论刘云章安徽教育出版社1993.3