第四章函数的连续性第一节连续性概念1. 按定义证明以下函数在其定义域内连续：1可编辑资料 - - - 欢迎下载（ 1）f x. （ 2）x1f xx .可编辑资料 - - - 欢迎下载证：（ 1）f x的定义域为 Dx,00, ,当x, x0D 时,有可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载11xx0xx0x x0由三角不等式可得：xx0xx0,可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载故当 xx0x0时,有11xx0xx02x0xx0 x0可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载对任意给的正数,取x021x00, 就x0 ,当 xD且 xx0时,可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载有f xf x0 11xx0可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载可见f x 在 x0 连续,由x0 的任意性知：f x 在其定义域内连续.可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载2f xx 的定义域为 , 对任何的 x0, ,由于可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载xx0xx0,从而对任给正数,取,当 xx0时,可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载有f xf x0 xx0xx0可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载故f x在 x0 连续,由x0 的任意性知,f x 在 , 连续.可编辑资料 - - - 欢迎下载2. 指出函数的间断点及类型：可编辑资料 - - - 欢迎下载（ 1）f xx1 .（ 2）xf xsin x . （ 3）xf x cosx .可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载（ 4）f xsgnxx,. （ 5）x为有理数f xsgncos x .1,x7x7可编辑资料 - - - 欢迎下载（ 6）f xx,x为无理数.（ 7）f xx,7x1 x1 sin1,1xx1可编辑资料 - - - 欢迎下载解： （ 1）f x 在 x0 间断,由于lim xx1 不存在,故 x x0 是 f x 的其次类间断点.可编辑资料 - - - 欢迎下载（ 2）f x 在 x0 间断,由于limf xlimsin x1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载limf xlimsin xx01故 xx0x0 是 f x 的跳动间断点.可编辑资料 - - - 欢迎下载x0x0x可编辑资料 - - - 欢迎下载（ 3）f x 在 xn间断, n0,1 ,2,由于可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载l i m f xl i m c o sx 0 ,limf xlim cos x 0可编辑资料 - - - 欢迎下载xnxnxnxn可编辑资料 - - - 欢迎下载故xn是 f x的可去间断点 n0,1 , 2, .可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载（ 4）f x 在 x0 间断,由于lim f xlimsgn x1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载x0x0可编辑资料 - - - 欢迎下载lim f xlimsgn x1 ,故 x0 是 f x 的可去间断点.可编辑资料 - - - 欢迎下载x0x0可编辑资料 - - - 欢迎下载（ 5）f x 在 x2kk0,21 , 2, 间断,由于lim4k1x2f x1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载l i mf x1 ,l i mf x1 ,l i mf x1可编辑资料 - - - 欢迎下载4 k 1x24k 1x24k 1x2可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载故 x2kk0,21 , 2, 是 f x的跳动间断点.可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载（ 6） f x 在 x0 的点间断且如x00 ,就limf x不存在,故 x0 是 f x 的其次可编辑资料 - - - 欢迎下载类间断点.xx0可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载（ 7） f x 在 x7 及x1间断, 且 limf x7 , limf x 不存在, 故 x7 是可编辑资料 - - - 欢迎下载f x 的其次类间断点.又因xlim f x7lim xx71 sin10 , limf x1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载故 x1是x 1x 1f x 的跳动间断点.x1x1可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载3. 延拓以下函数,使在, 上连续：可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载（ 1）f xx38x2.（ 2）f x3cos x .x2可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载（3）f xx cos 1.x可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载解：（ 1）当 x2 时,f x 没有定义,可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载3而 limx8 = limx 22x4=12可编辑资料 - - - 欢迎下载x2x2x2可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载于是函数F xx38,x212,x2 是 fx2 x 的延拓,且在, 上连续.可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载（2） 当 x0 时,f x没有定义,而limf x= lim 1cos x1 ,于是可编辑资料 - - - 欢迎下载x01cosx ,x0x2x0x 22可编辑资料 - - - 欢迎下载函数F x1,2是 f x 的延拓,且在x0, 上连续.可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载（3） 当 x0 时,f x 没有定义,而 limf x= limx cos 10 ,于是可编辑资料 - - - 欢迎下载x0xcos1 ,x0x0x可编辑资料 - - - 欢迎下载函数F xx20,x0是 f x 的延拓,且在, 上连续.可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载4. 如 f 在x0 点连续,就 f,f是否也在x0 连续？又如 f 或f 2 在 I 上连续,那么 f 在可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载I 上是否连续？ 解：（ 1）如 f 在x0 点连续,就f 与2f在 x0 连续.可编辑资料 - - - 欢迎下载