方法技巧专题30,不等式解法与基本不等式（原卷版） 方法技巧丏题 30 不等式的解法与基本不等式 学生篇 一、不等式的解法与基本不等式知识框架 二、不等式的解法 【一】一元二次不等式的解法 1.例题 【例 1】已知集合 Ax|x 2 x20，By|y2 x ，则 AB 等于( ) A.(1,2) B.(2,1) C.(0,1) D.(0,2) 【例 2】解关于 x 的不等式 ax 2 (a1)x10(a0). 【例 3】 已知不等式 ax 2 bx10 的解集是- -3121| x x ，则不等式 x 2 bxa0 的解集是_ 【例 4】（1）已知函数 f(x)mx 2 mx1.若对于 xR，f(x)0 恒成立，求实数 m 的取值范围. （2）已知函数 f(x)mx 2 mx1.若对于 x1,3，f(x)5m 恒成立，求实数 m 的取值范围. （3）若 mx 2 mx10 对于 m1,2恒成立，求实数 x 的取值范围. 2.巩固提升综合练习 【练习 1】 解下列不等式： (1)x 2 2x30； (2)已知函数 f(x) x 2 2x，x0，x 2 2x，x0， 解不等式 f(x)3. 【练习 2】解关于 x 的不等式 12x 2 axa 2 (aR) 【练习 3】已知不等式 ax 2 3x64 的解集为x|x1 或 xb (1)求 a，b； (2)解不等式xcaxb 0(c 为常数) 【二】分式不等式的解法 1.例题 【例 1】 解不等式： 073+-xx 例 【例 2】 】解不等式132 x+ 2.巩固提升综合练习 【练习 1】解下列不等式： (1) 2 301xx-在 x a = 处取最小值，则 a 等于（ ） A3 B 13 + C 12 + D4 （3）已知 0 a b ，则4 12aa b a b+ + -的最小值为（ ） A44 4 B6 C32 283aa b- D 3 2 (4)已知 1 x - ，则函数27 101x xyx+ +=+的值域为_ 2.巩固提升综合练习 【练习 1】函数 yx1x3 x1 的最大值为_ 【练习 2】已知 1, 0, 2 a b a b + = ，则1 11 2 a b+-的最小值为（ ） A322+ B3 24 2+ C 32 2 + D1 22 3+ 【二】条件型 1.例题 【例 1】(1)已知正数 x 、 y 满足 41 x y + =，则1 1x y+的最小值为（ ） A8 B12 C10 D9 (2)已知 0 m ，0 xy ，当 2 x y + = 时，不等式24mx y+ 恒成立，则 m 的取值范围是（ ） A ) 2,+ B ) 2,+ C ( 0, 2 D ( 0,2 2.巩固提升综合练习 【练习 1】已知正实数 a ， b 满足41 ab+ = ，则1ba+ 的最小值为（ ） A4 B6 C9 D10 【练习 2】已知 0 x ， 0 y ，且 2 8 0 x y xy + - = ，若不等式 ax y +恒成立，则实数 a 的范围是（ ） A ( ,12 - B ( ,14 - C ( ,16 - D ( ,18 - 【练习 3】已知正数 x 、 y 满足 1 x y + = ，则1 41 x y+的最小值为（ ） A 2 B92 C143 D 5 【练习 4】已知 1, 0, 2 a b a b + = ，则1 11 2 a b+-的最小值为（ ） A322+ B3 24 2+ C 32 2 + D1 22 3+ 【三】换元型 1.例题 【例 1】已知 0 a ， 0 b ，且 2 1 a b ab + = - ，则 2 + a b 的最小值为（ ） A 5 2 6 + B 8 2 C5 D9 2.巩固提升综合练习 【练习 1】若正数 xy 、满足 4 0 x y xy + - = ，则4x y +的最大值为（ ） A25 B49 C12 D47 【练习 2】已知正实数 a，b 满足 a 2 b40，则 u 2a3bab的最小值为_ 【四】实际应用 1.例题 【例 1】某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为34800m ，深度为 3m .如果池底每21m 的造价为150 元，池壁每21m 的造价为 120 元，要使水池总造价最低，那么水池底部的周长为_ m . 2.巩固提升综合练习 【练习 1】某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比如果在距离车站 10 km 处建仓库，则土地费用和运输费用分别为 2 万元和 8 万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站( ) A5 km 处 B4 km 处 C3 km 处 D2 km 处 四 、课后自我检测 1若集合 A-01|xxx ，Bx|x 2 2x，则 AB 。 2不等式2601x xx- - 的解集为 。 3关于 x 的不等式( )( )0( )x a x bx c- -解集为 | 1 2 3 x x x - -在 x a = 处取最小值，则 a 等于（ ） A3 B 13 + C 12 + D4 6不等式2( 1) (1 ) ( 2) 0 k x k x k - + - + - ，不等式2 241 2 1x ymy x+ - -恒成立，则 m 的最大值为 （ ） A 8 B 16 C 2 2 D 4 2 10已知 0 a ， 0 b ， a ， b 的等比中项是 1，且1m ba= + ，1n ab= + ，则 m n + 的最小值是_. 11若关于 x的不等式 x 2 ax20 在区间1，5上有解，则实数 a 的取值范围为 。 12已知函数 f(x)x 2 axb 2 b1(aR，bR)，对任意实数 x 都有 f(1x)f(1x)成立，若当 x1，1时，f(x)0 恒成立，则 b 的取值范围是 。 13若不等式 x 2 (a1)xa0 的解集是4，3的子集，则 a 的取值范围是_ 14不等式 x 2 8y 2 y(xy)对于任意的 x，yR 恒成立，则实数 的取值范围为_ 15若存在实数 x2,4，使 x2 2x5m0 成立，则 m 的取值范围为 。 16已知实数 x，y 满足 x 2 y 2 3，|x|y|，则1(2xy) 2 4(x2y) 2 的最小值是_ 17已知 P 为椭圆 x24 y 23 1 上一个动点，过点 P 作圆(x1)2 y 2 1 的两条切线，切点分别是 A，B，则PA PB 的取值范围为_ 18在关于 x 的不等式 x 2 (a1)xa0 的解集中至多包含 1 个整数，则 a 的取值范围是 。 19不等式 x 2 2ax3a 2 0(a0)的解集为_. 20已知函数 f(x)ax 2 bx(a0，b0)的图象在点(1，f(1)处的切线的斜率为 2，则 8abab的最小值是_ 21在 ABC 中，A 6 ， ABC 的面积为 2，则2sin Csin C2sin B sin Bsin C 的最小值为 22已知 a1，1，不等式 x 2 (a4)x42a0 恒成立，则 x 的取值范围为_ 23已知函数 f(x)mx 2 mx1. (1)若对于 xR，f(x)0 恒成立，求实数 m 的取值范围； (2)若对于 x1，3，f(x)5m 恒成立，求实数 m 的取值范围 24已知不等式 ax 2 bxc0 的解集为(1，t)，记函数 f(x)ax 2 (ab)xc. (1)求证：函数 yf(x)必有两个不同的零点； (2)若函数 yf(x)的两个零点分别为 m，n 求|mn|的取值范围 25设函数2( ) 2 f x mx mx = - - （1）若对于一切实数 ( ) 0 f x - + - 恒成立，求 m 的取值范围. 26设函数2( ) 3| | ( ) = - + f x ax x a ，其中 a R （1）当 1 a = 时，求函数( ) f x 的值域； （2）若对任意 , 1 + x a a ，恒有 ( ) 1 f x - ，求 a 的取值范围 27徐州、苏州两地相距 500 千米，一辆货车从徐州行驶到苏州，规定速度不得超过 100 千米/时已知货车每小时的运输成本(以