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2021年北京新城学校高三数学文测试题含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 曲线和直线在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P1,P2,P3,P4,则|P2P4|等于( ) ABCD2参考答案:C略2. 对于任意非零实数a、b、c、d,命题; ;.其中正确的个数是()A1B2C3D4 参考答案:B3. 秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法,即使在现代,它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法,即使在现代,它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法,其算法的程序框图如图所示,若输入的a0,a1,a2,an分别为0,1,2,n,若n=5,根据该算法计算当x=2时多项式的值,则输出的结果为()A248B258C268D278参考答案:B【考点】程序框图【分析】模拟执行程序,可得程序框图的功能求出当x=2时的值,即可得解【解答】解:该程序框图是计算多项式f(x)=5x5+4x4+3x3+2x2+x当x=2时的值,而f(2)=258,故选:B【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用,属于基础题4. 如图,半径为的半球的底面圆在平面内,过点作平面的垂线交半球面于点,过圆的直径作平面成角的平面与半球面相交,所得交线上到平面的距离最大的点为,该交线上的一点满足,则、两点间的球面距离为( )A、 B、 C、 D、参考答案:A根据题意,易知平面AOB平面CBD,,由弧长公式易得,、两点间的球面距离为.5. 若函数y=x23x4的定义域为0,m,值域为,则m的取值范围是( )A(0,4 B C D参考答案:C二次函数对称轴为,所以定义域0,m包含,所以,结合二次函数对称性可知,所以m的取值范围是,故选C考点:二次函数单调性与最值6. 等差数列的各项都是负数,且,那么的值为A.10 B.-10 C.-15 D.-30参考答案:B略7. 函数的图象关于直线对称的图象的函数为,则的大致图象为( ) A B C DA. 31 B. 32 C. 15 D. 16参考答案:答案:C 8. 若复数(为虚数单位)是纯虚数,则实数( )A. B. C.0 D.1参考答案:B9. 已知集合A=,B=,则=A1,2,3 B0,1,2,3 C0,1,2,3,4 D1,2,3,4参考答案:C略10. 设非零向量、满足,则向量与向量的夹角为()A150B120C60D30参考答案:C【考点】平面向量数量积的运算【专题】平面向量及应用【分析】由+=可得=,两边平方,结合向量的数量积的性质和定义,即可得到所求夹角【解答】解:设|=|=|=t,由+=可得=,平方可得,()2=2,即有|2+|22?=|2,即为2?=|2=t2,即有2t2cos,=t2,即为cos,=,则向量与向量的夹角为60故选:C【点评】本题考查向量的数量积的定义和性质,考查向量的平方即为模的平方,考查运算能力,属于中档题二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在ABC中,若,则的值为_. 参考答案:答案: 12. 集合且的元素个数是 参考答案:317 13. 设向量=(2,1),=(1,3),若向量+与向量=(3,2)共线,则= 参考答案:1【考点】平面向量共线(平行)的坐标表示【分析】由平面向量坐标运算法则先求出,再由向量向量与向量=(3,2)共线,能求出【解答】解:向量=(2,1),=(1,3),=(2,1)+(1,3)=(2+,1+3),向量与向量=(3,2)共线,3(1+3)=2(2+),解得=1,故答案为:114. 如图是函数的图象,则其解析式是_.参考答案:15. 公差不为0的等差数列的前n项和,若成等比数列,则 .参考答案:1916. 已知函数,则当时其导函数的值为 参考答案:2略17. 若复数(为虚数单位),则的值为_.参考答案:三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. (14分)已知向量(0),其中O为坐标原点(1)若=2,(0,),且,求;2¥若对任意实数,都成立,求实数的取值范围参考答案:解:(1)若=2,则,由,得:,即,所以,因为,所以,所以(2)若对任意实数,都成立,则(cos+sin)2+(sincos)24对任意实数,都成立,即2+1+2sin()4对任意实数,都成立,所以,或,解得:3或3,所以实数的取值范围是(,33,+)略19. 如图,在直三棱柱中,90,是的中点. ()求异面直线与所成的角;()若为上一点,且,求二面角的大小.参考答案:解法一:()取的中点,连,则,或其补角是异面直线与所成的角. 设,则,. 在中,. 异面直线与所成的角为. ()由()知,.因为三棱柱是直三棱柱,平面,又 . . . .即得,所得是的中点. 连结,设是的中点,过点作于,连结,则.又平面平面 平面. 而,是二面角的平面角.由得.即二面角的为.所求二面角为. 解法二:()如图分别以、所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系. 设,则、 、. ,.异面直线与所成的角为. ()设,则,由得,知,.设平面的一个法向量为,则, , ,取,得. 易知平面的一个法向量, . 二面角的大小为. 略20. 如图为的图像的一段()(1)求其解析式;(2)若将的图像向左平移个单位长度后得,求的对称轴方程参考答案:略21. (本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分。 已知函数的反函数。定义:若对给定的实数,函数与互为反函数,则称满足“和性质”;若函数与互为反函数,则称满足“积性质”。(1) 判断函数是否满足“1和性质”,并说明理由; (2) 求所有满足“2和性质”的一次函数;(3) 设函数对任何,满足“积性质”。求的表达式。参考答案:解析:(1)解,函数的反函数是 而其反函数为 故函数不满足“1和性质”(2)设函数满足“2和性质”,.6分而得反函数.8分由“2和性质”定义可知=对恒成立即所求一次函数为.10分 (3)设,且点在图像上,则在函数图象上,故,可得, 12分, 令,则。,即。14分综上所述,此时,其反函数就是,而,故与互为反函数 。 16分22. (本小题满分12分)如图,四边形中, ,分别在,上,现将四边形沿折起,使平面平面(1)若,是否在折叠后的线段上存在一点,且,使得平面?若存在,求出的值;若不存在,说明理由;(2)求三棱锥的体积的最大值,并求此时二面角的余弦值参考答案:平面平面,平面平面,平面,又平面,在折起过程中,同时,平面,故以为原点,以,分别为,轴建立空间直角坐标系(如图)(1)若,则各点坐标如下:,平面的法向量可为,若平面,则必有,即,上存在一点,且,使得平面;(2)设,故,当时,有最大值,且最大值为,设平面的法向量,则,即,不妨令,则,则,设平面的法向量,则,即,令,则,则,二面角的余弦值为.
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