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第3课时利用导数解决函数的零点问题技法阐释1.利用导数研究高次式、分式、指数式、对数式、三角式及绝对值式结构函数零点个数(或方程根的个数)问题的一般思路(1)可转化为用导数研究其函数的图象与x轴(或直线yk)在该区间上的交点问题;(2)证明有几个零点时,需要利用导数研究函数的单调性,确定分类讨论的标准,确定函数在每一个区间上的极值(最值)、端点函数值等性质,进而画出函数的大致图象再利用零点存在性定理,在每个单调区间内取值证明f(a)f(b)0.2.证明复杂方程在某区间上有且仅有一解的步骤第一步,利用导数证明该函数在该区间上单调;第二步,证明端点的导数值异号3.已知函数有零点求参数范围常用的方法(1)分离参数法:一般命题情境为给出区间,求满足函数零点个数的参数范围,通常解法为从f(x)中分离出参数,然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值,最后根据题设条件构建关于参数的不等式,确定参数范围;(2)分类讨论法:一般命题情境为没有固定区间,求满足函数零点个数的参数范围,通常解法为结合单调性,先确定参数分类的标准,在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意,将满足题意的参数的各小范围并在一起,即为所求参数范围高考示例思维过程(2020全国卷)设函数f(x)x3bxc,曲线yf(x)在点处的切线与y轴垂直(1)求b;(2)若f(x)有一个绝对值不大于1的零点,证明:f(x)所有零点的绝对值都不大于1.(1)f(x)3x2b.依题意得f0,即b0,故b.(2)证明:由(1)知f(x)x3xc,f(x)3x2.f(x)与f(x)的情况为:xf(x)00f(x)cc因为f(1)f c,因为f(1)f c,由题设可知c.综上,若f(x)有一个绝对值不大于1的零点,则f(x)所有零点的绝对值都不大于1. 技法一讨论或证明函数零点的个数典例1(2019全国卷)已知函数f(x)sin xln(1x),f(x)为f(x)的导数证明:(1)f(x)在区间存在唯一极大值点;(2)f(x)有且仅有2个零点思维流程证明(1)设g(x)f(x),则g(x)cos x,g(x)sin x.当x时,g(x)单调递减,而g(0)0,g0,可得g(x)在有唯一零点,设为.则当x(1,)时,g(x)0;当x时,g(x)0.所以g(x)在(1,)单调递增,在单调递减,故g(x)在存在唯一极大值点,即f(x)在存在唯一极大值点(2)f(x)的定义域为(1,)()当x(1,0时,由(1)知,f(x)在(1,0)单调递增,而f(0)0,所以当x(1,0)时,f(x)0,故f(x)在(1,0)单调递减又f(0)0,从而x0是f(x)在(1,0的唯一零点()当x时,由(1)知,f(x)在(0,)单调递增,在单调递减,而f(0)0,f0,所以存在,使得f()0,且当x(0,)时,f(x)0;当x时,f(x)0.故f(x)在(0,)单调递增,在单调递减又f(0)0,f1ln0,所以当x时,f(x)0.从而,f(x)在没有零点()当x时,f(x)0,所以f(x)在单调递减而f0,f()0,所以f(x)在有唯一零点()当x(,)时,ln(x1)1,所以f(x)0,从而f(x)在(,)没有零点综上,f(x)有且仅有2个零点点评:根据参数确定函数零点的个数,解题的基本思想是“数形结合”,即通过研究函数的性质(单调性、极值、函数值的极限位置等),作出函数的大致图象,然后通过函数图象得出其与x轴交点的个数,或者两个相关函数图象交点的个数,基本步骤是“先数后形”设函数f(x)ln x,mR.(1)当me(e为自然对数的底数)时,求f(x)的极小值;(2)讨论函数g(x)f(x)零点的个数解(1)由题意知,当me时,f(x)ln x(x0),则f(x),当x(0,e)时,f(x)0,f(x)在(0,e)上单调递减;当x(e,)时,f(x)0,f(x)在(e,)上单调递增,当xe时,f(x)取得极小值f(e)ln e2,f(x)的极小值为2.(2)由题意知g(x)f(x)(x0),令g(x)0,得mx3x(x0)设(x)x3x(x0),则(x)x21(x1)(x1)当x(0,1)时,(x)0,(x)在(0,1)上单调递增;当x(1,)时,(x)0,(x)在(1,)上单调递减x1是(x)的唯一极值点,且是极大值点,因此x1也是(x)的最大值点,(x)的最大值为(1),又(0)0.结合y(x)的图象(如图),可知,当m时,函数g(x)无零点;当m时,函数g(x)有且只有一个零点;当0m时,函数g(x)有两个零点;当m0时,函数g(x)有且只有一个零点综上所述,当m时,函数g(x)无零点;当m或m0时,函数g(x)有且只有一个零点;当0m时,函数g(x)有两个零点 技法二已知函数零点个数求参数的取值范围典例2(2020全国卷)已知函数f(x)exa(x2)(1)当a1时,讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围思维流程解(1)当a1时,f(x)exx2,则f(x)ex1.当x0时,f(x)0时,f(x)0.所以f(x)在(,0)上单调递减,在(0,)上单调递增(2)f(x)exa.当a0时,f(x)0,所以f(x)在(,)单调递增,故f(x)至多存在一个零点,不合题意当a0时,由f(x)0可得xln a当x(,ln a)时,f(x)0.所以f(x)在(,ln a)单调递减,在(ln a,)单调递增故当xln a时,f(x)取得最小值,最小值为f(ln a)a(1ln a)()若0,则f(ln a)0,所以f(x)在(,ln a)存在唯一零点由(1)知,当x2时,exx20,所以当x4且x2ln(2a)时,f(x)eea(x2)eln(2a)a(x2)2a0.故f(x)在(ln a,)存在唯一零点从而f(x)在(,)有两个零点综上,a的取值范围是.点评:与函数零点有关的参数范围问题,往往利用导数研究函数的单调区间和极值点,并结合特殊点,从而判断函数的大致图象,讨论其图象与x轴的位置关系,进而确定参数的取值范围;或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题(2020贵阳模拟)已知函数f(x)kxln x(k0)(1)若k1,求f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)有且只有一个零点,求实数k的值解(1)若k1,则f(x)xln x,定义域为(0,),则f(x)1,由f(x)0,得x1;由f(x)0,得0x1,f(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,)(2)方法一:由题意知,方程kxln x0仅有一个实根,由kxln x0,得k(x0)令g(x)(x0),则g(x),当xe时,g(x)0;当0xe时,g(x)0;当xe时,g(x)0.g(x)在(0,e)上单调递增,在(e,)上单调递减,g(x)maxg(e).当x时,g(x)0.又k0,要使f(x)仅有一个零点,则k.方法二:f(x)kxln x,f(x)k(x0,k0)当x时,f(x)0;当0x时,f(x)0;当x时,f(x)0.f(x)在上单调递减,在上单调递增,f(x)minf 1ln,f(x)有且只有一个零点,1ln0,即k.
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