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20202021学年第二学期数学段考(二)试题一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若复数z满足 z+(56i)=3 ,则z的虚部是( ) A.2iB.6iC.1D.62.复数 (3+i1i)2= ( ) A.34iB.3+4iC.34iD.3+4i3在中,角所对的边分别为,已知,则( )AB或CD或4在中,点P是的中点,则( )AB4CD65.如图,一个用斜二测画法画出来的三角形是一个边长为a的正三角形,则原三角形的面积是( )Aa2Ba2Ca2D a26一个圆柱的轴截面是一个面积为16的正方形,则该圆柱的体积是( )A B C D7.表面积为 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上,则此球的体积为AB CD8.冰激凌一直被众多青少年视为夏日解暑神器,图中冰激凌可近似地看作圆锥和半球的组合体,若圆锥部分的侧面展开图是面积为的半圆形,则该冰激凌的体积为( )ABCD二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多个选项是符合题目要求的,全部选对的得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)9.已知复数 z 满足 z(2i)=i ( i 为虚数单位 ) ,复数 z 的共轭复数为 z ,则( ) A.|z|=35B.z=1+2i5C.复数 z 的实部为-1D.复数 z 对应复平面上的点在第二象限10如图,四边形是圆柱的轴截面,是圆柱的一条母线,已知,则下列说法正确的是( )A圆柱的侧面积为B圆柱的侧面积为C 圆柱的表面积为D圆柱的表面积为11.(多选题)如图是一个正方体的展开图,则在原正方体中()A. CD/GHB. AB与EF异面C. AD/EFD. AB与CD相交12.已知、是两个不同的平面,、是两条不同的直线,下列说法正确的是( )A“经过两条平行直线,有且仅有一个平面”是空间图形的基本事实(公理)之一B“若,则”是平面与平面平行的性质定理C“若,则”是直线与平面平行的判定定理D若,则三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.复数 z1=1+i,z2=32i ,则 |z1|= _, z1z2= _14.已知圆锥的体积为,且它的侧面展开图是一个半圆,则它的母线长为_15.我国有一种容器叫做“方斗”,“方斗”的形状是一个上大下小的正四棱台,如果一方斗的高为分米(即该方斗上、下两底面的距离为分米),上底边长为分米,下底边长为分米,则此方斗外表面的侧面积为_平方分米16.已知分别为空间四边形的棱,的中点,若对角线,则的值是_四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. (本小题10分)设复数 z=lg(m2+2m14)+(m2m6)i ,求实数 m 为何值时? (1)z 是实数; (2)z 对应的点位于复平面的第二象限. 18. (本小题12分)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,M1分别是棱AD和A1D1的中点(1)求证:四边形BB1M1M为平行四边形;(2)求证:BMCB1M1C1.【答案】答案见19(本小题12分)如图,圆锥PO的底面直径和高均是a,过PO的中点作平行于底面的截面,以该截面为底面挖去一个圆柱,(1)求圆柱的表面积;(2)求圆锥挖去圆柱剩下几何体的体积20(本小题12分)杭州市为迎接2022年亚运会,规划修建公路自行车比赛赛道,该赛道的平面示意图为如图的五边形ABCDE,运动员的公路自行车比赛中如出现故障,可以从本队的器材车、公共器材车上或收容车上获得帮助比赛期间,修理或更换车轮或赛车等,也可在固定修车点上进行还需要运送一些补给物品,例如食物、饮料,工具和配件所以项目设计需要预留出BD,BE为赛道内的两条服务通道(不考虑宽度),ED,DC,CB,BA,AE为赛道,(1)从以下两个条件中任选一个条件,求服务通道BE的长度;(2)在(1)条件下,应该如何设计,才能使折线段赛道BAE最长(即最大),最长值为多少?21. (本小题12分) 如图,ABCDA_1 B_1 C_1 D_1是正方体,在图1中,E,F分别是C_1 D_1,BB_1的中点,分别画出图1,图2中有阴影的平面与平面ABCD的交线,并给出证明22(本小题12分)如图,在三棱柱ABCA_1 B_1 C_1中,E,F,G分别为B_1 C_1,A_1 B_1,AB的中点(1)求证:平面A_1 C_1 G/平面BEF;(2)若平面A_1 C_1 GBC=H,求证:H为BC的中点20202021学年第二学期数学段考(二)答案一、14:D B C C 58:D A B A二、9.BD 10.BC 11.ABD 12.CD三、13._ 2_ ,_ 113+513i 14_2_ 15_ 16_10_四、17. (1)解: m2m6=0m2+2m140m=3 (舍去 2 ).(2)解: lg(m2+2m14)00m2+2m140 m2+2m140m2+2m150m1+155m3m3 5m115 18.解(1)ABCDA1B1C1D1为正方体ADA1D1,且ADA1D1,又M,M1分别为棱AD,A1D1的中点,AMA1M1且AMA1M1,四边形AMM1A1为平行四边形,MM1AA1且MM1AA1.又AA1BB1且AA1BB1,MM1BB1且MM1BB1,四边形BB1M1M为平行四边形(2)法一:由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形,B1M1BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形,C1M1CM.BMC和B1M1C1方向相同,BMCB1M1C1.法二:由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形,B1M1BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形,C1M1CM.又B1C1BC,BCMB1C1M1,BMCB1M1C1.19. 解:(1)设圆锥底面半径为r,圆柱底面半径为,因为过PO的中点作平行于底面的截面,以该截面为底面挖去一个圆柱,可得,且圆柱母线长,圆锥母线长,所以圆柱的表面积为:(2)剩下几何体的体积20.解:(1)在中,由正弦定理知,解得,选:,在中,;若选,在中,由余弦定理知 ,化简得,解得或(舍负),故服务通道BE的长度 ; (2)在中,由余弦定理知,即,当且仅当时,等号成立,此时,的最大值为21. 解:如下图1,设N为CD的中点,连接NE,NB,则EN/BF,B,N,E,F四点共面,EF与NB的延长线相交,设交点为M,连接AMMEF,且MNB,EF平面AEF,NB平面ABCD,M是平面ABCD与平面AEF的公共点,又点A是面ABCD和平面AEF的公共点,AM为两平面的交线如下图2,延长DC到点M,使CM=DC,连接BM,C_1 M, 则C_1 M/D_1 C/A_1 B,M在平面A_1 BC_1内,又M在平面ABCD内,M是平面A_1 BC_1与平面ABCD的公共点, 又B是平面A_1 BC_1与平面ABCD的公共点,BM是平面A_1 BC_1与平面ABCD的交线22. 证明:(1)如图,E,F分别为B_1 C_1,A_1 B_1的中点,EF/A_1 C_1,A_1 C_1平面A_1 C_1 G,EF平面A_1 C_1 G,EF/平面A_1 C_1 G,又F,G分别为A_1 B_1,AB的中点,A_1 F=BG,又A_1 F/BG,四边形A_1 GBF为平行四边形,则BF/A_1 G,A_1 G平面A_1 C_1 G,BF平面A_1 C_1 G,BF/平面A_1 C_1 G,又EFBF=F,平面A_1 C_1 G/平面BEF;(2)平面ABC/平面A_1 B_1 C_1,平面A_1 C_1 G平面A_1 B_1 C_1=A_1 C_1,平面A_1 C_1 G与平面ABC有公共点G,则有经过G的直线,设交BC=H,则A_1 C_1/GH,得GH/AC,G为AB的中点,H为BC的中点
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