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2020-2021学年江苏省镇江市扬中第二高级中学高一(下)期中数学试卷一、选择题(共8小题).1已知复数z满足,则它的虚部为()AiB1C2iD22cos24cos36cos66cos54的值等于()A0BCD3设,是两个不共线的向量,若向量(kR)与向量共线,则()Ak0Bk1Ck2Dk0.54设,则()A2sinxB2cosxC2sinxD2cosx5轮船A和轮船B在中午12时,同时离开海港O,两船航行方向的夹角为120,两船的航行速度分别为25nmile/h,15nmile/h,则14时两船之间的距离是()A50nmileB70nmileC90nmileD110nmile6定义运算adbc、若cos,0,则等于()ABCD7在ABC中,点D是AC上一点,且AC4AD,P为BD上一点,向量,则,满足的关系为()A+1BC+41D4+18圭表(圭是南北方向水平放置测定表影长度的刻板,表是与圭垂直的杆)是中国古代用来确定节令的仪器,利用正午时太阳照在表上,表在圭上的影长来确定节令已知冬至和夏至正午时,太阳光线与地面所成角分别为,表影长之差为l,那么表高为()ABCD二、多选题(共4小题).9已知向量(1,2),(,1),记向量,的夹角为,则()A2时,为锐角B2时,为钝角C2时,为直角D时,为平角10在ABC中,下列说法正确的是()A若AB,则sinAsinBB若,则sin2Csin2A+sin2BC若sinAcosB,则ABC为钝角三角形D若sin2Asin2B,则AB11设P是ABC所在平面内的一点,则()ABCD12在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a2,若满足条件的三角形有且只有一个,则边b的可能取值为()A1BC2D3三、填空题(共4小题).13设向量(1,1),(m+1,2m4),若,则m 14若,则 15已知1+2i是方程x2mx+2n0(m,nR)的一个根,则m+n 16ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c已知2bsinC(2a+b)tanB,c2,则ABC面积的最大值为 四、解答题请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤17设实部为正数的复数z,满足|z|,且复数(1+2i)z在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上(1)求复数z;(2)若+(mR)为纯虚数,求实数m的值18已知,且求:(1)sin(2)的值;(2)的值19如图,在四边形ODCB中,且(1)求的值;(2)点P在线段AB上,且BP3PA,求BCP的余弦值20在C;a1;S3这三个条件中,任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求这个三角形的周长;若问题中的三角形不存在,请说明理由问题:是否存在ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且ABC面积为S,且4Sb2+c2a2,ccosA+acosC,_?21已知(sinx,cosx),(cosx,cosx),设f(x)(1)当时,求f(x)的值域;(2)若锐角ABC满足f(C)0,且不等式tan2A+tan2B+mtanAtanB+10恒成立,求m的取值范围22如图所示,公路AB一侧有一块空地OAB,其中OA6km,OB6km,AOB90,市政府拟在中间开挖一个人工湖OMN,其中M,N都在边AB上(M,N不与A,B重合,M在A,N之间),且MON30(1)若M在距离A点4km处,求OM和MN的长度;(2)为节省投入资金,人工湖OMN的面积尽可能小,设AOM,试确定的值,使OMN的面积最小,并求出最小面积参考答案一、选择题(共8小题).1已知复数z满足,则它的虚部为()AiB1C2iD2解:复数z满足12i,则它的虚部为2故选:D2cos24cos36cos66cos54的值等于()A0BCD解:cos24cos36cos66cos54sin66cos36cos66sin36sin(6636)sin30故选:B3设,是两个不共线的向量,若向量(kR)与向量共线,则()Ak0Bk1Ck2Dk0.5解:设,是两个不共线的向量,若向量(kR)与向量共线,则:利用向量共线基本定理:k,故选:D4设,则()A2sinxB2cosxC2sinxD2cosx解:,则,sinx+cosx+sinxcosx2sinx故选:A5轮船A和轮船B在中午12时,同时离开海港O,两船航行方向的夹角为120,两船的航行速度分别为25nmile/h,15nmile/h,则14时两船之间的距离是()A50nmileB70nmileC90nmileD110nmile解:根据题意,轮船A行驶的距离为50nmile,轮船B行驶的距离为30nmile,用图形表示如下:在AOB中,OA50,OB30,BOA120,根据余弦定理得,AB2OA2+OB22OAOBcos1204900,AB70(nmile)故选:B6定义运算adbc、若cos,0,则等于()ABCD解:依题设得:sincoscossinsin()0,cos()又cos,sinsinsin()sincos()cossin(),故选:D7在ABC中,点D是AC上一点,且AC4AD,P为BD上一点,向量,则,满足的关系为()A+1BC+41D4+1解:由AC4AD可得:,所以,因为P,B,D三点共线,所以+41,故选:C8圭表(圭是南北方向水平放置测定表影长度的刻板,表是与圭垂直的杆)是中国古代用来确定节令的仪器,利用正午时太阳照在表上,表在圭上的影长来确定节令已知冬至和夏至正午时,太阳光线与地面所成角分别为,表影长之差为l,那么表高为()ABCD解:如图,设表高ABx,在ACD中,CAD,则,AC,在直角三角形ABC中,即xACsinl故选:D二、多选题(共4小题).9已知向量(1,2),(,1),记向量,的夹角为,则()A2时,为锐角B2时,为钝角C2时,为直角D时,为平角解:根据题意,向量(1,2),(,1),则2,依次分析选项:对于A,当0且、不共线时,为锐角,则有,解可得2,A正确;对于B,当0且、不共线时,为钝角,则有,解可得2且,B错误;对于C,当2时,20,即为直角,C正确;对于D,当时,向量(1,2),(,1),有2,180,D正确;故选:ACD10在ABC中,下列说法正确的是()A若AB,则sinAsinBB若,则sin2Csin2A+sin2BC若sinAcosB,则ABC为钝角三角形D若sin2Asin2B,则AB解:由ABab2RsinA2RsinBsinAsinB,A正确;由c2a2+b2sin2Csin2A+sin2B,B正确;由sinAcosBcos(90A)cosB90ABA+B90C90ABC为钝角三角形,C正确;sin2Asin2B2A2B或2A+2BAB或A+B,D错误故选:ABC11设P是ABC所在平面内的一点,则()ABCD解:显然 成立,C对,D对,A错,B错,故选:CD12在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a2,若满足条件的三角形有且只有一个,则边b的可能取值为()A1BC2D3解:在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a2,所以,整理得:c2bc+b240,故b24(b24)0,解得b(舍负),或b240,解得0b2故b的取值为(0,2故选:ABC三、填空题请把答案直接填写在答题卡相应位置上13设向量(1,1),(m+1,2m4),若,则m5解:向量(1,1),(m+1,2m4),若,则m+1(2m4)m+50,则m5,故答案为:514若,则解:tan故答案为:15已知1+2i是方程x2mx+2n0(m,nR)的一个根,则m+n解:将x1+2i代入方程x2mx+2n0,有(1+2i)2m(1+2i)+2n0,即1+4i4m2mi+2n0,即(3m+2n)+(42m)i0,由复数相等的充要条件,得,解得m2,n,故故答案为:16ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c已知2bsinC(2a+b)tanB,c2,则ABC面积的最大值为解:由2bsinC(2a+b)tanB,则2bsinC(2a+b),即2bcosBsinC(2a+b)sinB,由正弦定理得2sinBcosBsinC(2sinA+sinB)sinB,sinB0,2cosBsinC2sinA+sinB2sin(B+C)+sinB2sinBcosC+2cosBsinC+sinB,即2sinBcosC+sinB0sinB0,2cosC+10,即cosC,即C120,c2,由余弦定理得:c2a2+b22abcosC,即12a2+b22ab()a2+b2+ab2ab+ab3ab,即ab4,当且仅当ab时取等号,则ABC的面积SabsinC,即三角形面积的最大值为 故答案为:四、解答题请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤17设实部为正数的复数z,满足|z|,
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