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南京市白下区2012 届高三“市二模”模拟考试数学试卷注意事项:1.本试卷共 4 页,包括填空题(第1 题第 14 题) 、解答题(第15 题第 20 题)两部分,本试卷满分为160 分,考试时间为120分钟;2. 统一用黑色水笔作答,答题前,请务必将自己的姓名、学校、考号填涂在答卷纸上相应位置上, 试题的答案写在答卷纸上对应题目的答案空格内,考试结束后, 交回答卷纸。一、填空题:本大题共14 小题,每小题5 分,共 70 分。请把答案填写在相应位置上。1.已知函数xxfcos)(,则)(xf的导函数)(xf= 。2.命题“02,2xRx”的否定是命题。 (填“真”或“假”之一)3.若椭圆)90(1922mmyx的焦距为32,则m。4.抛物线xy22上一点M到焦点的距离为1,则点M的横坐标是。5.下面四个条件中,使ba成立的充分而不必要的条件是。 (填写序号)1ba1ba22ba33ba6.如图所示的 “双塔” 形立体建筑, 已知ABDP和CBDQ是两个高相等的正三棱锥,四点DCBA,在同一平面内, 要使塔尖QP,之间的距离为50m, 则底边AB的长为m。7.若nm,为两条不同的直线,,为两个不同的平面,则以下命题正确的是 . (填写序号)若/m,n,则nm/;若/m,/,则/m;若m,nm/,/,则n;若nm,m,n,则第 6 题图8.如图,一圆形纸片的圆心为O,F是圆内一定点,M是圆周上一动点,把纸片折叠使点M与点F重合, 然后抹平纸片, 折痕为CD,设CD与OM交于点P,则点P的轨迹是.(填写“椭圆” 、 “双曲线” 、 “抛物线”和“圆”中的一种情况)9.曲线xy与xy8在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形的面积为。10. 已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,若这个球的表面积为12,则这个正三棱柱的体积为。11. 如图所示,在圆锥PO中,已知2PO,O的直径2AB,点C在弧AB上,且60COB, 则二面角CPAB的余弦值是。12. 已知点F是双曲线)0,0( 12222babyax的左焦点,点E是该双曲线的右顶点,过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于BA,两点,若ABE是锐角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范围是。13. 已 知 函 数xxxaxxfln)()(2在, 1上 单 调 递 增 , 则 实 数a的 取 值 范 围是。14. 已知点P是抛物线yx42上一个动点, 过点P作圆1)4(22yx的两条切线, 切点分别为NM ,,则线段MN长度的最小值是。二、 解答题: 本大题共六小题,共计 90 分。请在指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15. (本小题满分14 分)设命题p:方程17622ayax表示双曲线,命题q:圆9)1(22yx与圆16)1()(22yax相交。若“p且q”为真命题,求实数a的取值范围。第 8 题图第 11 题图16. (本小题满分14 分)已知函数xecbxaxxf22)()(在1x处取得极值, 且在点)2(, 2(f处的切线方程为0276yx。(1)求cba,的值;(2)求函数)(xf的单调区间,并指出)(xf在1x处的极值是极大值还是极小值。17. (本小题满分14 分)已知圆C经过两点)6,2(),3,1(QP,且圆心在直线042yx上,直线l的方程为0352) 1(kyxk。(1)求圆C的方程;(2)证明:直线l与圆C恒相交;(3)求直线l被圆C截得的最短弦长。18. (本小题满分16 分)如图,平面ABDE平面ABC,ABC是等腰直角三角形,4BCAC,四边形ABDE是 直 角 梯 形 ,221,/AEBDBABDAEBD, NMO,分 别 为EMABCE,的中点。(1)求证:/OD平面ABC;(2)求证:ON平面ABDE;(3)求直线CD与平面ODM所成角的正弦值。第 18 题图19. (本小题满分16 分)如图,BA,是椭圆)0(1:2222babyaxC的左右顶点,M是椭圆上异于BA,的任意一点,若椭圆C的离心率为21,且右准线l的方程为4x。(1)求椭圆C的方程;(2)设直线AM交l于点P,以MP为直径的圆交直线MB于点Q,试证明:直线PQ与x轴的交点R为定点,并求出R点的坐标。20. (本小题满分16 分)已知函数xaxgbxxxfln)(,)(23,(1)若)(xf在1 ,21x上的最大值为83,求实数b的值;(2)若对任意ex, 1, 都有xaxxg)2()(2恒成立, 求实数a的取值范围;(3)在( 1)的条件下,设1,1,)(xxgxxfxF,对任意给定的正实数a,曲线)(xFy上是否存在两点QP,,使得POQ是以(O为坐标原点)为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在y轴上?请说明理由。第 19 题图南京市白下区2012 届高三“市二模”模拟考试数学参考答案一、填空题 :1sin x2假36 41256 50 3721. 8椭圆96 1054 116312 1,21312ae1433322. 二、解答题:23. 15解:若p真,即方程22167xyaa表示双曲线,24. 则670aa,67a5 分25. 若q真,即圆2219xy与圆22116xay相交,26. 则2147,3 53 5aa10分27. 若“p且q”为真命题,则p假q真,28.673 53 5aaa或,即3 56a,29.符合条件的实数a 的取值范围是3 56a14分30. 16 解: (1)22221xxfxaxb eaxbxc e31.222xaxab xbce,4 分32. 由题意,1026215fff,即1002042 264215aabbceaabbceabc e,33.1,5acb;8 分34. (2)由( 1)知,2251xf xxxe,35.2223441xxfxxxexxe,10 分36. 令0fx,得41x,0fx,得41xx或,函数 fx 的单调递增区间为4,1 ,单调递减区间为, 4 和 1, 13 分37. 由此可知,fx 在1x处的取值是极大值14 分38. 17解:(1)设圆C的方程为220 xyDxEyF 2 分39. 由条件,得1930436260()2()4022DEFDEFDE,解得4220DEF,40.圆C的方程为2242200 xyxy6分41. (2)由12530kxyk,得3250k xxy,42. 令30250 xxy,得31xy,即直线l过定点3, 1 ,8 分43. 由22314321200,知点3, 1 在圆内,44.直线l与圆C恒相交10 分45. (3)圆心2,1C,半径为5,由题意知,46. 直线l被圆C截得的最短弦长为2222 523114 5 14 分47. 18 (1)证明:如图1,取AC中点F,连接,OF BF 48.OQ是EC中点,OF是CAE的中位线,49./OFEA,且12OFEA,50. 又/DBEA,且12DBEA ,/OFDB且OFDB,51.四边形ODBF是平行四边形,/ODFB52.ODQ面,ABC FB面ABC,/OD平面ABC5 分53. (2)证明:连接CM,NQ是EM的中点,/ONCM54. Q 平面ABDE平面ABC,平面 ABDE I 平面ABCAB,55.BD平面ABDE,BDAB,BDABC平面,56.CMABCQ平面,,BDCMBDON 57. 又ABC是等腰直角三角形,ACBC,M是AB的中点,58.CMAB,ONAB,EOCBADMNF图 1 59. 由,AB DBABDE ABDBBI平面,ON平面ABDE 11 分60. (3)解:建立如图2 所示的空间直角坐标系61. 由条件,得0,0,0 ,2 2,0,0 ,0,22,4,0, 2 2,2MCED,2,2,2O,62.2,2,2,0, 2 2,2,2 2,2 2,2MOMDCDuuu u ru uu u ruuu r,63. 设ODM平面的法向量为, ,nx y zr,64. 由,nMO nMDruuu u r ru uuu r,65.22202 220 xyzyz,取3,1, 2nr,66. 设直线CD与平面ODM所成角为,则67.62222 230sincos,102 52 3n CDu r uuu r,68.直线CD与平面ODM所成角的正弦值为301016 分69. 19解:(1)由题意:2222124caacabc,解得23ab70.椭圆C的方程为22143xy6 分71. (2)由( 1)知,2,0 ,2,0AB,设00,Mxy,,0R t,则72. 直线AM的方程为0022yyxx,73. 令4x,得0062yyx,即点P的坐标为0064,2yx, 9 分74. 由题意, MQPQ ,1MQPQkk,75.000062124yyxxt,即20004226ytxx,12 分76. 又2222000031,4434xyyx,77.4364t,12tEOCBADM图 2 Nyxz78.直线 PQ 与 x 轴的交点R为定点1,0216 分79. 20解:(1)由32fxxxb ,得23232fxxxxx,80. 令0fx,得0 x或2381. 列表如下:x121,020 20,3232,13fx0 0 fx1()2f极小值Z极大值82. 由13()28fb,24()327fb,12()()23ff,83. 即最大值为133()288fb,0b5 分84. (2)由22g xxax ,得2ln2xx axx 85.1,ln1xexxQ,且等号不能同时取,ln,ln0 xxxx即,86.22lnxxaxx恒成立,即2min2()lnxxaxx7 分87. 令22,1,lnxxt xxexx,求导得,212lnlnxxxtxxx,88. 当1,xe 时,10,ln1,2ln0 xxxx,从而0tx,89.t x 在 1,e 上为增函数,min11txt,1a 10 分90. (3)由条件,32,1ln,1xxxF xaxx,91. 假设曲线yF x 上存在两点,P Q 满足题意,则,P Q 只能在y轴两侧,92. 不妨设,0P t F tt,则32,Qt tt,且1t93. QPOQ 是以O(O为坐标原点)为直角顶点的直角三角形,94.0OP OQuu u ru uu r,2320tf ttt*L,95. 是否存在,P Q 等价于方程* 在0t且1t时是否有解12 分96. 若01t时,方程* 为232320ttttt,化简得4210tt,97. 此方程无解;98. 若1t时,* 方程为232ln0tattt,即11 lntta,99. 设1 ln1h ttt t,则1ln1httt,100. 显然,当1t时,0h t,即 h t 在 1,上为增函数,101.h t 的值域为1 ,h,即0,,102.当0a时,方程* 总有解103.对任意给定的正实数a,曲线 yFx上总存在两点,P Q ,使得POQ 是以O(O为坐标原点) 为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在y轴上 16分
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