学而不思则惘，思而不学则殆第一章习题解答1.1已知不变线性系统的输入为xxgcomb系统的传递函数bf。若 b 取（1）.b（ 2）.b，求系统的输出xg。并画出输出函数及其频谱的图形。答： （1）xxgF图形从略，（2）xscofffxgxxxF图形从略。1.2 若限带函数yx,f的傅里叶变换在长度L为宽度W的矩形之外恒为零，（1）如果La，Wb，试证明yxfyxfbxaxab,sincsinc证明：yx,fbxsincaxsincabbfafrectyxfyx,fbfafrectyxfWfLfrectyxfyx,fyxyxyx,FF,F,FF1-（2）如果La，Wb，还能得出以上结论吗？答：不能。因为这时yxyxbfafrectyxfWfLfrectyxf,F,F。1.3对一个空间不变线性系统，脉冲响应为yxyxhsinc,试用频域方法对下面每一个输入yxfi,，求其输出yxgi,。 （必要时，可取合理近似）学而不思则惘，思而不学则殆（1）xyxfcos,答：xcosxcosfrectxcosy7xsinxcosyxhyxfyxgxFFFFFFF,F,FF,（2）yrectxrectxcosyxf,答：yrectxrectxcosfrectfsinc75fsincxcosy7xsinyrectxrectxcosyxhyxfyxgxyxFFFFF,F,FF,（3）xrectxcosyxf,答：xrectf75fsincfrectf75fsincfrectf75fsincffxfrectf75fsincxcosy7xsinxrectxcosyxgyxxyxxyxxxxyxFFFFFFFF,（4）yrectxrectxcombyxf,答：x6cosx2cosfffffffffffrectfffffffffrectfsinc2fsincffcom by7xsinyrectxrectxcom byxgyxyxyxyxyxxyxyxyxyxxyxyx.,.,.,.,.,F,.,.,.,FFFFF,0.251.4 给定一个不变线性系统，输入函数为有限延伸的三角波学而不思则惘，思而不学则殆xxrectxcombxgi对下述传递函数利用图解方法确定系统的输出。（1）ffHrect（2）fffHrectrect答：图解方法是在频域里进行的，首先要计算输入函数的频谱，并绘成图形21()( )()()( )3350(3)50sin(50) sinixxG fg xcombrectxcombfcfc fFFF方括号内函数频谱图形为：f1212353432135343233150图 1.4（1）fc2sin图形为：学而不思则惘，思而不学则殆f13213312310.6850.170.041图 1.4（2）因为fc2sin的分辨力太低， 上面两个图纵坐标的单位相差50 倍。两者相乘时忽略中心五个分量以外的其他分量，因为此时fc2sin的最大值小于0.04%。故图解)( fG频谱结果为：f3213233150G(f)50*0.68550*0.171图 1.4（3）传递函数（ 1）形为：学而不思则惘，思而不学则殆f111图 1.4（4）因为近似后的输入函数频谱与该传递函数相乘后，保持不变，得到输出函数频谱表达式为：)32()32(171. 0)50(sin50)31()31(685.0)(fffcfff其反变换，即输出函数为：)50(322cos342.032cos37.11xrectxx该函数为限制在25,25区间内， 平均值为1，周期为 3，振幅为 1.37 的一个余弦函数与周期为 1.5，振幅为0.342 的另一个余弦函数的叠加。传递函数（ 2）形为：f1图 1.4（5）学而不思则惘，思而不学则殆此时， 输出函数仅剩下在1,2及2, 1两个区间内分量，尽管在这两个区间内输入函数的频谱很小，相对于传递函数（2）在1,1的零值也是不能忽略的，由于027.0)35(sin043.0)34(sin22cc可以解得，通过传递函数（2）得到的输出函数为：)50(352cos027.0342cos043.0 xrectxx该函数依然限制在25,25区间内，但其平均值为零，是振幅为0.043，周期为 0.75，的一个余弦函数与振幅为0.027，周期为 0.6 的另一个余弦函数的叠加。1.5 若对二维函数axayxhsinc,抽样，求允许的最大抽样间隔并对具体抽样方法进行说明。答：yxfafaxsincayxhF,FYaBXx;也就是说，在X方向允许的最大抽样间隔小于1/2a ，在 y 方向抽样间隔无限制。1.6 若只能用ba表示的有限区域上的脉冲点阵对函数进行抽样，即byaxYyXxyxgyxgsrectrectcombcomb,试说明，即使采用奈魁斯特间隔抽样，也不能用一个理想低通滤波器精确恢复yxg,。答：因为ba表示的有限区域以外的函数抽样对精确恢复yxg,也有贡献，不可省略。1.7 若二维不变线性系统的输入是“线脉冲”xyxf,，系统对线脉冲的输出响应称为线响应xL。如果系统的传递函数为yxffH,，证明：线响应的一维傅里叶变换等于学而不思则惘，思而不学则殆系统传递函数沿xf轴的截面分布0,xfH。证明：0,yxyxyfHffHfyxhxLFF1.8 如果一个空间不变线性系统的传递函数在频率域的区间xxBf，yyBf之外恒为零，系统输入为非限带函数yxg,，输出为yxg,。证明，存在一个由脉冲的方形阵列构成的抽样函数yxg,， 它作为等效输入， 可产生相同的输出yxg,， 并请确定yxg,。答：为了便于从频率域分析，分别设：物的空间频谱00(,)( , )xyAffgx yF；像的空间频谱(,)( , )ixyiA ffg x yF；等效物体的空间频谱00 (,) ( , )xyAffgx yF；等效物体的像的空间频谱00 (,) ( , ).xyAffgx yF由于成像系统是一个线性的空间不变低通滤波器，传递函数在,xxyyfBfB之外恒为零，故可将其记为：(,)22yxxyxyffHffrectrectBB、利用系统的传递函数，表示物像之间在频域中的关系为0(,)(,)22(,)yxxyxyxyixyffAffH ffrectrectBBA ff在频域中我们构造一个连续的、二维周期性分布的频域函数，预期作为等效物的谱，办法是把0(,)22yxxyxyffAffrectrectBB安置在xyf f平面上成矩形格点分布的每一个(2,2)xyB nB m点周围，选择矩形格点在xf、yf方向上的间隔分别为2xB和2yB,以免频谱混叠，于是00 (,)(,)2,222yxxyxyxxyynmxyffAffAffrectrectfB n fB nBB学而不思则惘，思而不学则殆01(,)22422yyxxxyxyxyxyffffAffrectrectcombcombBBB BBB（ 1）对于同一个成像系统，由于传递函数的通频带有限，只能允许0 (,)xyAff的中央一个周期成份（0nm）通过，所以成像的谱并不发生变化，即0 (,)(,)22yxxyxyxyffAffHffrectrectBB (,)ixyAff(,)ixyA ff图 1.8 用一维形式表示出系统在频域分别对0A和0A的作用，为简单计，系统传递函数在图中表示为2xxfrectB。2BXBX-BXBX-BXBX-BXBX-BX-BXAi(fX)=A0(fX)H(fX)Ai(fX)=A0(fX)H(fX)fXfXBXfXfX11H(fX)H(fX)fXfXA0(fX)图题 1.8 既然，成像的频谱相同，从空间域来看，所成的像场分布也是相同的，即 ( , )( , )iiUx yUx y00 ()()2XXXXfAfAfrectB*(2)XXfB n学而不思则惘，思而不学则殆因此，只要求出0 (,)XYAff的逆傅立叶变换式，就可得到所需的等效物场，即100 ( , ) (,)XYUx yAffF带入（ 1）式，并利用卷积定理得到11001 ( , )(,)22422XYXYXYXYXYXYffffUx yAffrectrectcombcombBBB BBBFF10(,)(2)(2)22XYXYXYXYffAffrectrectcombB x combB yBBF（ 2）上式也可以从抽样定理来解释。0(,)22XYXYXYffAffrectrectBB是一个限带的频谱函数，它所对应的空间域的函数可以通过抽样，用一个点源的方形阵列来表示，若抽样的矩形格点的间隔，在x方向是12XB，在y方向是12YB，就得到等效物场0 ( , )Ux y10(,)22XYXYXYffAffrectrectBBF0( , ) 4sin (2)sin (2)XYXYUx yB BcB xcB y04( , )sin 2() sin 2()XYXyB BUcBxcByd d；（3）(2)(2)XYcombB x combB y1,422nmXYXYnmxyB BBB（4）把（ 3） 、 （4）式代入（ 2）式，得到00 ( , )( , )sin 2()sin 2(),22XYnmXYnmUx yUcBxcByd dxyBB利用函数性质（ 1.8 ）式，上式可写为0 ( ,)Ux y学而不思则惘，思而不学则殆0( , )sin 2)sin 2),22XYnmXYnmUc nBc mBd dxyBB这一点源的方形阵列构成的等效物场可以和真实物体0U产生完全一样的像iU. 本题利用系统的传递函数，从频率域分析物象关系，先找出等效物的频谱，再通过傅立叶逆变换，求出等效物场的空间分布，这种频域分析方法是傅立叶光学问题的基本分析方法。学而不思则惘，思而不学则殆第二章习题解答2.1一列波长为的单位振幅平面光波，波矢量k与x轴的夹角为045，与y轴夹角为060，试写出其空间频率及1zz平面上的复振幅表达式。答：xf, 22yf, 0,0,02223e x p j 2j k ze x p,11UyxzyxU2.2尺寸为 ab 的不透明矩形屏被单位振幅的单色平面波垂直照明，求出紧靠屏后的平面上的透射光场的角谱。答：byrectaxrectyxU,，cosbsinccosasincabcoscosA,，2.3波长为的单位振幅平面波垂直入射到一孔径平面上，在孔径平面上有一个足够大的模板，其振幅透过率为0 xcosxt.，求紧靠孔径透射场的角谱。答:：3coscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscosA.,.,.,2.4参看图 2.13，边长为a的正方形孔径内再放置一个边长为a的正方形掩模，其中心落在,点。采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求出与它相距为z的观察平面上夫琅和费衍射图样的光场分布。画出时，孔径频谱在x方向上的截面图。学而不思则惘，思而不学则殆y0 x0Oa2a图 2.4 题答：ayrectaxrectayrectaxrectyxt,yxyxyxffaj2-expafsincafsinca2afsinc2afsincayxt,Fzyzxaj2-expzyasinczxasincazy2asinczx2asincayx2zkjexpjkzexpzjyxU,zyzxaj2-expzyasinczxasincazy2asinczx2asincazyxI2,2.5图 2-14 所示的孔径由两个相同的矩形组成，它们的宽度为a，长度为b，中心相距为d。采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求与它相距为z的观察平面上夫琅和费衍射图样的强度分布。 假定ab及ad.， 画出沿x和y方向上强度分布的截面图。如果对其中一个矩形引入位相差，上述结果有何变化？( ,)学而不思则惘，思而不学则殆Obdaxy图 题 2.5 （1）答：如图所示，双缝的振幅透射率是两个中心在(0,)2d及(0,)2d的矩形孔径振幅透射率之和：00000022(,)()()()()ddxxyyt xyrectrectrectrectabab（1）由于是单位振幅