名师精编优秀教案第九章 欧几里得空间1 定义与基本性质一、向量的内积定义 1 设V是实数域R上一个向量空间 ,在V上定义了一个二元实函数，称为内积 ,记作),(,它具有以下性质 : 1) ),(),(; 2) ),(),(kk; 3) ),(),(),(; 4) 0),(,当且仅当0时, 0),(这里,是V任意的向量 ,k是任意实数 ,这样的线性空间V称为欧几里得空间 . 例 1 在线性空间nR中,对于向量),(,),(2121nnbbbaaa, 定义内积.),(2211nnbababa(1) 则内积 (1)适合定义中的条件，这样nR就成为一个欧几里得空间 .仍用来表示这个欧几里得空间 . 在3n时，(1)式就是几何空间中的向量的内积在直角坐标系中的坐标表达式. 例 2 在nR里, 对于向量),(,),(2121nnbbbaaa, 定义内积.2),(2211nnbnababa则内积 (1)适合定义中的条件，这样nR就也成为一个欧几里得空间.仍用来表示这个欧几里得空间 ., 名师精编优秀教案对同一个线性空间可以引入不同的内积,使得它作成欧几里得空间. 例 3 在闭区间,ba上的所有实连续函数所成的空间),(baC中,对于函数)(),(xgxf定义内积badxxgxfxgxf)()()(),(. (2) 对于内积 (2)，),(baC构成一个欧几里得空间 . 同样地，线性空间nxRxR,对于内积 (2)也构成欧几里得空间 . 例 4 令H是一切平方和收敛的实数列1221),(nnnxxxx所成的集合 ,则H是一个欧几里得空间 ,通常称为希尔伯特 (Hilbert)空间. 二、欧几里得空间的基本性质1）定义中条件 1）表明内积是对称的 . ),(),(),(),()2kkkk. ),(),(),(),(),(),()3定义 2 非负实数),(称为向量的长度，记为. 显然，向量的长度一般是正数， 只有零向量的长度才是零， 这样定义的长度符合熟知的性质：|kk(3) 这里VRk,. 长度为 1 的向量叫做 单位向量 .如果,0由(3)式，向量1就是一个单位向量 .用向量的长度去除向量，得到一个与成比例的单位向量，通常称为把单位化 . 柯西-布涅柯夫斯基不等式 ：即对于任意的向量,有),(5) 名师精编优秀教案当且仅当,线性相关时，等式才成立. 对于例 1 的空间nR，(5)式就是.22221222212211nnnnbbbaaabababa对于例 2 的空间),(baC，(5)式就是212212)()()()(bababadxxgdxxfdxxgxf定义 3 非零向量,的夹角,规定为,0,),(arccos,根据柯西 -布涅柯夫斯基不等式，有三角形不等式. 定义 4 如果向量,的内积为零，即0),(那么,称为正交或互相垂直，记为. 两个非零向量正交的充要条件是它们的夹角为2. 只有零向量才与自己正交 . 勾股定理 ：当,正交时，.222推广：如果向量两m,21两两正交，那么22221221mm. 设V是一个 n维欧几里得空间，在V中取一组基n,21，对于V中任意两个向量nnxxx2211,nnyyy2211, 由内积的性质得名师精编优秀教案ninjjijinnnnyxyyyxxx1122112211),(,),(令),2,1,(),(njiajiij(8) 显然.jiijaa于是ninjjiijyxa11),(9) 利用矩阵，),(还可以写成AYX),(, (10) 其中nnyyyYxxxX2121,分别是,的坐标，而矩阵nnijaA)(称为基n,21的度量矩阵 .上面的讨论表明，在知道了一组基的度量矩阵之后，任意两个向量的内积就可以通过坐标按（9）或（ 10）来计算，因而度量矩阵完全确定了内积 . 设n,21是空间V的另外一组基，而由n,21到n,21的过渡矩阵为C，即Cnn),(),(2121于是不难算出，基n,21的度量矩阵ACCbBjiij,. (11) 名师精编优秀教案这就是说，不同基的度量矩阵是合同的. 根据条件 (4)，对于非零向量，即000X有0),(AXX因此，度量矩阵是正定的. 反之，给定一个n级正定矩阵A及 n 维实线性空间V的一组基n,21.可以规定V上内积，使它成为欧几里得空间， 并且基的n,21度量矩阵是A. 欧几里得空间的子空间在所定义的内积之下显然也是一个欧几里得空间. 欧几里得空间以下简称为 欧氏空间 . 名师精编优秀教案2 正交基一、标准正交基定义 5 欧氏空间V的一组非零的向量 ,如果它们两两正交，就称为一个正交向量组 . 按定义，由单个非零向量所成的向量组也是正交向量组. 正交向量组是线性无关的 .这个结果说明， 在 n维欧氏空间中， 两两正交的非零向量不能超过 n个. 定义 6 在 n维欧氏空间中， 由 n个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基组 . 对一组正交基进行单位化就得到一组标准正交基. 设n,21是一组标准正交基，由定义，有.,0;,1),(jijiji当当(1) 显然， (1)式完全刻画了标准正交基的性质.换句话说，一组基为标准正交基的充要条件是：它的度量矩阵为单位矩阵.因为度量矩阵是正定矩阵的，根据第五章关于正定二次型的结果， 正定矩阵合同于单位矩阵 .这说明在 n维欧氏空间中存在一组基， 它的度量矩阵是单位矩阵 .由此断言，在 n维欧氏空间中， 标准正交基是存在的 . 在标准正交基下，向量的坐标可以通过内积简单地表示出来，即nn),(),(),(2211. (2) 在标准正交基下，内积有特别简单的表达式.设.2211nnxxx.2211nnyyy那么.),(2211YXyxyxyxnn (3)这个表达式正是几何中向量的内积在直角坐标系中坐标表达式的推广. 应该指出，内积的表达式(3)，对于任一组标准正交基都是一样的.这说明了，所名师精编优秀教案有的标准正交基，在欧氏空间中有相同的地位. 二、规范正交基的存在性及其正交化方法定理 1 n维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组标准正交基. 应该注意，定理的证明实际上也就给出了一个具体的扩充正交向量组的方法.如果从任一个非零向量出发， 按证明中的步骤逐个地扩充， 最后就得到一组正交基.再单位化，就得到一组标准正交基. 定理 2 对于 n维欧氏空间中任意一组基n,21， 都可以找到一组标准正交基n,21，使),(21iL.,2,1,),(21niLi应该指出，定理中的要求),(21iL.,2,1,),(21niLi就相当于由基n,21到基n,21的过渡矩阵是上三角形的 . 定理 2 中把一组线性无关的向量变成一单位正交向量组的方法在一些书和文献中称为施密特（ Schimidt）正交化过程 . 例 1 ) 1, 1, 1, 1(),1 ,0,0, 1(),0, 1, 0, 1(),0,0, 1 , 1(4321变成单位正交组 . 三、正交矩阵上面讨论了标准正交基的求法.由于标准正交基在欧氏空间中占有特殊的地位，所以有必要来讨论从一组标准正交基到另一组标准正交基的基变换公式. 设n,21与n,21是欧氏空间V中的两组标准正交基， 它们之间的过渡矩阵是)(ijaA，即),(21nnnnnnnnaaaaaaaaa21222211121121),(因为n,21是标准正交基，所以名师精编优秀教案.,0;,1),(jijiji当当(4) 矩阵A的各列就是n,21在标准正交基n,21下的坐标 .按公式 (3),(4)式可以表示为.,0;,12211jijiaaaaaanjnijiji当当(5) (5)式相当于一个矩阵的等式EAA(6) 或者AA1定义 7 n组实数矩阵A称为正交矩阵，如果EAA由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵；反过来，如果第一组基是标准正交基，同时过渡矩阵是正交矩阵，那么第二组基一定也是标准正交基. 最后指出，根据逆矩阵的性质，由EAA即得EAA写出来就是.,0;,12211jijiaaaaaajninjiji当当(7) (5)式是矩阵列与列之间的关系，(7)式是矩阵行与行之间的关系.这两组关系是等价的. 例 2 考虑定义在闭区间2,0上一切连续函数所作成的欧氏空间2,0C.函数组.,sin,cos,sin,cos, 1nxnxxx构成2,0C的一个正交组 . 把上面的每一向量除以它的长度, 就得到2,0C的一个标准正交组 : 名师精编优秀教案.,sin1,cos1,sin1,cos1,21nxnxxx例 3 欧氏空间nR的基）（0, 0,1,0, 0(ii,ni,2,1是nR的一个标准正交基 . 名师精编优秀教案 3 同构定义 8 实数域R上欧氏空间V与V称为同构的 ,如果由V到V有一个双射，满足1)()()(, 2)()(kk, 3),()(),(, 这里RkV ,，这样的映射称为V到V的同构映射 . 由定义，如果是欧氏空间V到V的一个同构映射，那么也是V到V作为线性空间的同构映射 .因此，同构的欧氏空间必有相同的维数. 设V是一个 n维欧氏空间，在V中取一组标准正交基n,21，在这组基下，V的每个向量都可表成nnxxx2211令nnRxxx),()(21就是V到nR的一个双射， 并且适合定义中条件1),2).上一节 (3)式说明，也适合条件 3)，因而是V到nR的一个同构映射，由此可知，每个n维的欧氏空间都与nR同构. 同构作为欧氏空间之间的关系具有反身性、对称性与传递性. 既然每个 n维欧氏空间都与nR同构，按对称性与传递性得， 任意两个 n维欧氏空间都同构 . 定理 3 两个有限维欧氏空间同构它们的维数相等 . 这个定理说明，从抽象的观点看，欧氏空间的结构完全被它们的维数决定. 名师精编优秀教案4 正交变换定义 9 欧氏空间V的线性变换 A 叫做一个正交变换 ,如果它保持向量的内积不变，即对任意的，都有V,都有. (A,A)=),(. 正交变换可以从几个不同方面公平加以刻画. 定理 4 设 A 是维欧氏空间的一个线性变换，于是下面四个命题是相互等价的：1）A 是正交变换；2）A 保持向量的长度不变，即对于V,|A|=|;3）如果n,21是标准正交基，那么A1, A2, An也是标准正交基；4）A 在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵.因为正交矩阵是可逆的，所以正交变换是可逆的. 由定义看出，正交变换实际上就是一个欧氏空间到自身的同构映射，因而正交变换的乘积与正变换的逆变换还是正交变换 . 在标准正交基下，正交变换与正交矩阵对应，因此，正交变换的乘积与正交矩阵的逆矩阵也是正交矩阵. 如果A是正交矩阵，那么由EAA可知12A或者1A. 因此，正交变换的行列式等于+1 或-1. 行列式等于 +1的正交矩阵通常称为旋转，或者称为第一类的；行列式等于-1 的正交变换称为第二类的. 例如，在欧氏空间中任取一组标准正交基n,21，定义线性变换 A 为：A,11Aniii,3,2,.那么， A 就是一个第二类的正交变换.从几何上看，这是一个镜面反射.名师精编优秀教案例 1 令H是空间3V 里过原点的一个平面 , 3V,令对于H的镜面反射与它对应 .:是3V 的一个正交变换 . 例 2 设)(3RL,令3321132),(),()(Vxxxxxx.则是3R的一个正交变换 . 例 3 将2V 的每一向量旋转一个角的正交变换关于2V 的任意标准正交基的矩阵是cossinsincos. 又令是例 1 中的正交变换 .在平面H内取两个正交的单位向量21,再取一个垂直于H 的单位向量3,那么321,是3V 的一个规范正交基 , 关于这个基的矩阵是100010001以上两个矩阵都是正交矩阵. 名师精编优秀教案 5 子空间定义 10 设21,VV是欧氏空间V中两个子空间 .如果对于任意的21,VV，恒有0),(则称21,VV为正交的，记为21VV.一个向量，如果对于任意的1V ，恒有0),(则称与子空间1V 正交，记为1V . 因 为 只 有 零 向 量与 它自 身正 交， 所以 由21VV可知