湖南省永州市万家庄乡中学高二数学理期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 过点M（1，1）作斜率为的直线与椭圆C：+=1（ab0）相交于A，B，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为（）A BCD参考答案：A略2. 将数字1，1，2，2，3，3排成三行两列，要求每行的数字互不相同，每列的数字也互不相同，则不同的排列方法共有（）A12种B18种C24种D36种参考答案：A【考点】排列、组合的实际应用【分析】由题意，可按分步原理计数，根据题设中的规则可分六步解决这个问题，分别计算出每一步的填法种数，再由分步原理即可得到总的排列方法【解答】解：由题意，可按分步原理计数，第一步，第一行第一个位置可从1，2，3三数字中任意选一个，有三种选法，第二步，第一行第二个位置可从余下两数字中选一个，有二种选法第三步，第二行第一个位置，由于不能与第一行第一个位置上的数字同，故其有两种填法第四步，第二行第二个位置，由于不能与第一行第二个数字同也不能第二行第一个数字同，故它只能有一种填法第五步，第三行第一个数字不能与第一行与第二行的第一个数字同，故其只有一种填法，第六步，此时只余下一个数字，故第三行第二列只有一种填法由分步原理知，总的排列方法有322111=12种故选A3. 若曲线在处的切线与直线互相垂直，则实数a等于（ ）A. -2B. -1C. 1D. 2参考答案：D【分析】求出函数在处的导数值，这个导数值即函数图像在该点处切线的斜率，然后根据两直线垂直的条件列出方程即可求解实数。【详解】由题可得：，曲线在处的切线的斜率为1，曲线在处的切线与直线互相垂直，且直线的斜率为，解得：；故答案选D.【点睛】本题考查导数的几何意义，两直线垂直的条件，属于基础题。4. 在平面直角坐标系xOy中，若直线（s为参数）和直线（t为参数）平行，则常数a的值为( )A.8 B.6 C. 2 D.4参考答案：D5. 抛物线的准线方程是 （ ）(A) （B）y2 （C） （D）y=4参考答案：B略6. 设成等比数列，其公比为2，则的值为A1 B C D参考答案：C略7. 若平面向量的夹角为，且，则(A) (B) (C) (D)参考答案：D8. 在复平面中，满足等式|z+1|z1|=2的z所对应点的轨迹是（）A双曲线B双曲线的一支C一条射线D两条射线参考答案：C【考点】轨迹方程【分析】利用复数的几何意义，即可判断出等式|z+1|z1|=2的z所对应点的轨迹【解答】解：复数z满足|z+1|z1|=2，则z对应的点在复平面内表示的是到两个定点F1（1，0），F2（1，0）的距离之差为常数2，所以z对应的点在复平面内表示的图形为以F2（1，0）为起点，方向向右的一条射线故选：C9. 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是如图所示的一个正方形，则原来的图形是（ ）ABCD参考答案：A作出该直观图的原图形，因为直观图中的线段轴，所以在原图形中对应的线段平行于轴且长度不变，点和在原图形中对应的点和的纵坐标是的倍，则，所以故选10. 对于集合A=x|0x2，B=y|0y3，则由下列图形给出的对应f中，能构成从A到B的函数的是( )ABCD参考答案：D【考点】函数的概念及其构成要素【专题】数形结合；定义法；函数的性质及应用【分析】直接根据函数的定义，逐个考察各选项便可得出结果【解答】解：根据函数的定义，逐个考察各选项：对于A：不能构成，因为集合A中有一部分元素（靠近x=2）并没有函数值，所以符合函数定义；对于B：不能构成，因为集合A中的一个元素（如x=2）与集合B中的两个元素对应，不符合函数定义；对于C：不能构成，因为集合A中的一个元素（如x=1）与集合B中的两个元素对应，不符合函数定义；对于D：能够构成，因为集合A中的每个元素都只与集合B中某一个元素对应，符合函数定义故选D【点评】本题主要考查了函数的概念，以及运用图象判断变量之间是否具有函数关系，属于基础题二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 是“直线与直线相互垂直”的_条件（“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”）.参考答案：充分不必要略12. 已知集合，,，则= 参考答案：13. 关于x的方程有两个不相等的实根，则a的取值范围是_.参考答案：14. 若,则= .参考答案：3215. 已知A1,2，(a23a1)(a25a6)i，B1，3，AB3，则实数a的值为_参考答案：略16. 已知双曲线的顶点为椭圆长轴的端点，且双曲线的离心率与椭圆的离心率的乘积等于1，则双曲线的方程是 参考答案：17. 抛物线焦点在轴上，且被截得的弦长为5，则抛物线的标准方程为_.参考答案：或略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知数列an的前n项和Sn=n2+2n（nN+），数列bn的前n项和Tn=2n1（nN+）（1）求数列的前n项和；（2）求数列an?bn的前n项和参考答案：【考点】数列的求和【专题】综合题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列【分析】（1）由已知得an=2n+1从而=，由此利用裂项求和法能求出数列的前n项和（2）由已知得，从而an?bn=（2n+1）?2n1，由此利用错位相减法能求出数列an?bn的前n项和【解答】解：（1）数列an的前n项和Sn=n2+2n（nN+），a1=S1=1+2=3，n2时，an=SnSn1=（n2+2n）（n1）2+2（n1）=2n+1，n=1时，2n+1=3=a1，an=2n+1=，数列的前n项和：An=（+）=（2）数列bn的前n项和Tn=2n1（nN+），b1=T1=21=1，n2时，bn=TnTn1=（2n1）（2n11）=2n1，n=1时，2n1=1=a1，an?bn=（2n+1）?2n1，数列an?bn的前n项和：Bn=3?1+5?2+7?22+（2n+1）?2n1，2Bn=3?2+5?22+7?23+（2n+1）?2n，得Bn=3+22+23+2n（2n+1）?2n=（2n+1）?2n=2n+11（2n+1）?2n，Bn=（2n1）?2n+1【点评】本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意列项求和法和错位相减法的合理运用19. 设数列an的前n项和为Sn=2an2n，（）求a1，a4（）证明：an+12an是等比数列；（）求an的通项公式参考答案：【考点】等比关系的确定；等比数列的通项公式；数列递推式【分析】（）令n=1得到s1=a1=2并推出an，令n=2求出a2，s2得到a3推出a4即可；（）由已知得an+12an=（Sn+2n+1）（Sn+2n）=2n+12n=2n即为等比数列；（）an=（an2an1）+2（an12an2）+2n2（a22a1）+2n1a1=（n+1）?2n1即可【解答】解：（）因为a1=S1，2a1=S1+2，所以a1=2，S1=2，由2an=Sn+2n知：2an+1=Sn+1+2n+1=an+1+Sn+2n+1，得an+1=sn+2n+1，则a2=S1+22=2+22=6，S2=8；a3=S2+23=8+23=16，S2=24，a4=S3+24=40；（）由题设和式知an+12an=（Sn+2n+1）（Sn+2n）=2n+12n=2n所以an+12an是首项为2，公比为2的等比数列（）an=（an2an1）+2（an12an2）+2n2（a22a1）+2n1a1=（n+1）?2n120. 已知函数f（x），如果存在给定的实数对（a，b），使得f（a+x）?f（ax）=b恒成立，则称f（x）为“函数”（1）判断函数f1（x）=x，是否是“函数”；（2）若f3（x）=tanx是一个“函数”，求出所有满足条件的有序实数对（a，b）；（3）若定义域为R的函数f（x）是“函数”，且存在满足条件的有序实数对（0，1）和（1，4），当x0，1时，f（x）的值域为1，2，求当x2016，2016时函数f（x）的值域参考答案：【考点】抽象函数及其应用；函数恒成立问题【分析】（1）假设f1（x），f2（x）为函数，根据新定义得出恒等式，判断恒等式是否成立即可得出结论；（2）假设f3（x）为函数，列出恒等式，根据和角的正切公式计算，得出关于x的恒等式解出a，b；（3）根据定义列出恒等式，根据所给条件归纳得出当x2k，2k+2时，f（x）22k，22k+2，从而求的f（x）的值域【解答】解：（1）若f1（x）=x是“函数”，则存在实数对（a，b），使得（a+x）（ax）=b即x2=a2b对xR恒成立，而关于x的方程x2=a2b最多有两个解，不符合题意因此f1（x）=x不是“函数”若是“函数”，则存在实数对（a，b），使得3a+x?3ax=32a=b，即存在常数对（a，32a）满足条件，因此是“函数”（2）f3（x）=tanx是一个“函数”，存在序实数对（a，b）满足tan（a+x）?tan（ax）=b恒成立，当时，tan（a+x）?tan（ax）=cot2x，不是常数当时，有恒成立，即（btan2a1）tan2x+（tan2ab）=0恒成立则，当，时，tan（a+x）?tan（ax）=cot2a=1成立因此满足f3（x）=tanx是一个“函数”时，实数对（3）函数f（x）是“函数”，且存在满足条件的有序实数对（0，1）和（1，4），f（x）?f（x）=1，f（1+x）?f（1x）=4，f（1+x）?f（1x）=4?f（x）?f（2x）=4，x1，2时，2x0，1，f（2x）1，2，x0，2时，f（x）1，4，x2，4时，f（x）4，16，x4，6时，f（x）16，64，以此类推可知：x2k，2k+