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江苏省无锡市宜兴官林第二高级中学2021年高一数学理测试题含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 三棱柱的侧棱垂直于底面,所有的棱长都为,顶点都在一个球面上,则该球的体积为( )A. B. C. D. 参考答案:B【分析】求得底面正三角形的外接圆半径,利用勾股定理计算出球的半径,进而计算出球的体积.【详解】设底面正三角形的外接圆半径为,由正弦定理得,即,所以求的半径为,所以球的体积为.故选:B【点睛】本小题主要考查几何体外接球体积的计算,属于基础题.2. 设, 则( ) 参考答案:D略3. 使函数是偶函数,且在上是减函数的的一个值是( )A. B. C. D. 参考答案:B【分析】先根据辅助角公式化简,再根据奇偶性及在在上是减函数为减函数即可算出的范围。【详解】由题意得:因为是偶函数,所以,又因为在的减区间为,,在上是减函数,所以当时满足,选B.【点睛】本题主要考查了三角函数的性质:奇偶性质、单调性以及辅助角公式。型为奇函数,为偶函数。其中辅助角公式为。属于中等题。4. 已知,则f(x)( ) A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D. 是非奇非偶函数参考答案:A略5. 已知全集为R,集合A=x|x1,B=x|x2,则AB=( )ARBx|2x1CADB参考答案:A【考点】并集及其运算 【专题】计算题;集合思想;定义法;集合【分析】由A与B,求出两集合的并集即可【解答】解:全集为R,A=x|x1,B=x|x2,AB=R,故选:A【点评】此题考查了并集及其运算,熟练掌握并集的定义是解本题的关键6. 已知ABC的内角A,B,C满足sin2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+,面积S满足1S2,记a,b,c分别为A,B,C所对的边,在下列不等式一定成立的是()A. B. C. D. 参考答案:A试题分析:设的外接圆半径为,由三角形内角和定理知,.于.则,知C、D均不正确,A正确事实上,注意到的无序性,并且,若B成立,则A必然成立,排除B.故选A.考点:三角恒等变换.7. 一个水平放置的三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形ABO,若OB=1,那么原ABO的面积是()ABCD2参考答案:C【考点】斜二测法画直观图【专题】计算题;作图题【分析】可根据直观图和原图面积之间的关系求解,也可作出原图,直接求面积【解答】解:由题意,直观图的面积为,因为直观图和原图面积之间的关系为,故原ABO的面积是故选C【点评】本题考查斜二测画法及斜二测画法中原图和直观图面积之间的联系,考查作图能力和运算能力8. 设定义在R上的函数f(x)=,若关于x的方程f2(x)+af(x)+b=0有三个不同的实数解x1,x2,x3,且x1x2x3,则下列说法中错误的是()Ax12+x22+x32=14B1+a+b=0Ca24b=0Dx1+x3=0参考答案:D【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】题中f2(x)+af(x)+b=0有三个不同的实数解,即要求对应于f(x)等于某个常数有3个不同实数解,结合题意可知f(x)=1,由此可得选项A、B、C正确,D错误【解答】解:令t=f(x),由关于x的方程f2(x)+af(x)+b=0有三个不同的实数解,可知方程t2+at+b=0有两个相等的实数根t1=t2=1,a24b=0,则1+a+b=0,由,得x=1或x=3,x12+x22+x32=12+22+32=14错误的说法为x1+x3=0故选:D9. 在平面四边形ABCD中,则AB的取值范围是( )A. B. C. D. 参考答案:D【分析】利用正弦定理建立关系,根据三角函数的有界性即可求解AB的取值范围.【详解】由题意,平面四边形中,延长BA、CD交于点E,BC75,EBC为等腰三角形,E30,若点A与点E重合或在点E右方,则不存在四边形ABCD,当点A与点E重合时,根据正弦定理:,算得AB,AB,若点D与点C重合或在点C下方,则不存在四边形ABCD,当点D与点C重合时ACB30,根据正弦定理:算得AB,AB,综上所述,AB的取值范围为AB故选:D【点睛】本题考查了正余弦定理的运用和数形结合的思想,构成三角形的条件的处理属于中档题10. 已知是上的奇函数,且当时,那么 的值为( )A0 B CD参考答案:D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 某校高一、高二、高三,三个年级的学生人数分别为1500人,1200人和1000人,现采用按年级分层抽样法了解学生的视力状况,已知在高一年级抽查了75人,则这次调查三个年级共抽查了人。参考答案:185略12. 设函数的定义域为如果对任意,都存在常数,使得,称具有性质现给出下列函数:;其中具有性质的函数序号是_参考答案:对于,可取;对于,可取;对于,可取;对于,函数的值域为,故不存在满足题意,故正确答案为13. 化简的结果是 参考答案: 14. 已知函数的图象上的每一点的纵坐标扩大到原来的倍,横坐标扩大到原来的倍,然后把所得的图象沿轴向左平移,这样得到的曲线和的图象相同,则已知函数的解析式为_.参考答案:y=略15. 阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出S的值为 参考答案:016. 下列几个命题方程有一个正实根,一个负实根,则.函数是偶函数,但不是奇函数.函数的值域是,则函数的值域为. 设函数定义域为,则函数与的图象关于轴对称.一条曲线和直线的公共点个数是,则的值不可能是1.其中正确的有 _(把所有正确命题的序号都填上)参考答案:略17. 已知函数f(x)=,则f(f(2)= 参考答案:1【考点】分段函数的应用;函数的值【分析】由已知中函数f(x)=,将x=2代入可得答案【解答】解:函数f(x)=,f(2)=0,f(f(2)=f(0)=1,故答案为:1【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用,函数求值,难度不大,属于基础题三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 在中,分别为内角,所对的边,为的面积,且.(1)求角的大小;(2)若,为的中点,且,求的值.参考答案:(1)由已知得,.(2)由,由余弦定理得:,中点中点,即,.19. 已知函数 .(1)求的值域;(2)设函数,,若对于任意, 总存在,使得成立,求实数的取值范围.参考答案:(1) 任取 x1、x2 ? 2,1),x1 x2 T x1x2 0,T f (x1)f (x2) = x1 + (x2 + ) = (x1x2) (1) 0T f (x1) f (x2) T f (x) 在 2,1) 为增函数。同理可证f (x) 在 ,2 也为增函数。 x ? 2,1) 时,f (x) ? ,2) 2分 x ? ,2 时,f (x) ? , 4分 f (x) 的值域 A = ,2,6分(2) 解法一:设 g(x) 的值域为 B,则 B = 2 | a |2, 2 | a |2 8分依题意,A B T ks5u10分T T | a |12分 a 的取值范围是 (¥,+¥).14分解法二: 若,对于任意,不存在 使得成立 7分 若当时, 在-2,2是增函数, 任给,ks5u 若存在,使得成立, 则 10分 若,在-2,2是减函数, 13分 综上,实数的取值范围是 14分20. (本小题满分14分)定义在D上的函数,如果满足:对任意,存在常数,都有成立,则称是D上的有界函数,其中M称为函数的一个上界。已知函数,。(1)若函数为奇函数,求实数的值;(2)在(1)的条件下,求函数在区间上的所有上界构成的集合;(3)若函数在上是以3为上界的有界函数,求实数的取值范围.参考答案:(1)函数g(x)为奇函数,g(-x)=g(x),即,即,得,而当a=1时不合题意,故a=-1.4分(2)由(1)得:, 下面证明函数在区间上单调递增,证明:略. . . .6分函数在区间上单调递增,函数在区间上的值域为 ,故函数在区间上的所有上界构成集合为.8分(3) 由题意知,在上恒成立。,在上恒成立,设由得,设,所以h(t)在上递减,p(t)在上递增,.12分h(t)在上的最大值为h(1)=-3, p(t)在上的最小值为p(1)=1实数a的取值范围为-5,1 .14分21. 已知ab0,证明a2b2ab2ab0成立的充要条件是ab1.参考答案:证明:先证充分性:若ab1,则a2b2ab2ab(ab)2(ab)110,即充分性成立必要性:若a2b2ab2ab0,则(ab)2(ab)(ab)(ab1)0,因为ab0,所以ab10,即ab1成立,综上,a2b2ab2ab0成立的充要条件是ab1.22. 已知, 化简:参考答案:解析: 当是奇数时,原式; 当是偶数时,原式所以,
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