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湖北省荆门市龙泉中学2021-2022学年高三数学文联考试题含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 已知函数f(x)=lnxx3与g(x)=x3ax的图象上存在关于x轴的对称点,则实数a的取值范围为()A(,e)B(,eCD参考答案:D【考点】57:函数与方程的综合运用【分析】由题意可知f(x)=g(x)有解,即y=lnx与y=ax有交点,根据导数的几何意义,求出切点,结合图象,可知a的范围【解答】解:函数f(x)=lnxx3与g(x)=x3ax的图象上存在关于x轴的对称点,f(x)=g(x)有解,lnxx3=x3+ax,lnx=ax,在(0,+)有解,分别设y=lnx,y=ax,若y=ax为y=lnx的切线,y=,设切点为(x0,y0),a=,ax0=lnx0,x0=e,a=,结合图象可知,a故选:D2. 已知为等差数列,若,则( )A. B. C. D. 参考答案:A因为为等差数列,若,则,选A3. 某小区住户共200户,为调查小区居民的7月份用水量,用分层抽样的方法抽取了50户进行调查,得到本月的用水量(单位:m3)的频率分布直方图如图所示,则小区内用水量超过15m3的住户的户数为()A10B50C60D140参考答案:C考点:茎叶图3794729专题:计算题分析:由题意及所给样本的频率分布直方图,可知:用水量在15,20)的频率,用水量在20,25)的频率,再利用分层抽样的定义即可求解解答:解:由图可知,用水量在15,20)的频率是0.055=0.25,故应在用水量在15,20)中抽取2000.25=50人;用水量在20,25)的频率是0.015=0.05,故应在用水量在20,25)中抽取2000.05=10人;则小区内用水量超过15m3的住户的户数为 60故选C;点评:此题考查了学生识图及计算能力,还考查了分层抽样及频率分布直方图,是一道基础题;4. 若 (为复数集),则是的( )。A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件参考答案:C略5. 某一简单几何体的三视图如图2所示,该几何体的外接球的表面积是( )A. 13 B. 16 C. 25 D. 27参考答案:C6. 已知集合,则 ( )A B C D参考答案:B略7. 已知|=1,|=2,()=3,则与的夹角为()ABCD参考答案:D【考点】数量积表示两个向量的夹角【分析】根据平面向量数量积的定义,即可求出与的夹角大小【解答】解:设与的夹角为,?()=?=1212cos=3,cos=1;又0,与的夹角为故选:D【点评】本题考查了平面向量数量积的定义与应用问题,是基础题目8. 【题文】参考答案:B略9. 已知函数,要使函数恰有一个零点,则实数m的取值范围是( )A. B. C. D. 参考答案:B【分析】先利用导数求出函数的单调性和极值,画出函数的大致图象,令,由函数的图象可知方程,只能有一个正根,且若有负根的话,负根必须小于,分类讨论,即可求解【详解】由题意,函数,则,当时,函数单调递减;当时,函数单调递增,所以函数的最小值为,函数的大致图象,如图所示:函数恰有一个零点,等价于方程只有一个根,令,由函数的图象可知方程,只能有一个正根,且若有负根的话,负根必须小于,当时,方程为,符合题意,当时,若,即时,方程为,解得,符合题意,若,即时:设,()当时,二次函数开口向下,又,要使方程只有一个正根,且负根小于,则,即,可得,()当时,二次函数开口向上,又因为,则方程有两个不等的正根,不符合题意,综上所求,实数的取值范围是:或,故选:B【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的零点问题,其中解答中把函数的零点问题转化为方程的解,构造新函数,利用导数研究函数的单调性与最值,结合根的分布求解是解答的关键,着重考查了转化思想,以及推理与运算能力10. 过抛物线y2=2px(p0)的焦点,斜率为的直线被抛物线截得的线段长为25,则该抛物线的准线方程为()Ax=8Bx=4Cx=2Dx=1参考答案:B【考点】抛物线的简单性质【分析】求出直线方程,联立直线方程和抛物线方程转化为一元二次方程,根据抛物线的弦长公式进行求解即可【解答】解:过抛物线y2=2px(p0)的焦点为(,0),斜率为的直线方程为y=(x),代入y2=2px,得(x)2=2px,整理得8x217px+2p2=0,A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,|AB|=x1+x2+p=+p=25,p=25,则p=8,则抛物线的直线方程为x=4,故选:B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若正数满足,且使不等式恒成立,则实数的取值范围是 参考答案:12. 已知不等式5x7|x+1|与不等式ax2+bx20的解集相同,则a= ;b= 参考答案:4;9【考点】一元二次不等式的应用【分析】不等式5x7|x+1|的解集可直接求出,本题变为已知ax2+bx20的解集求a、b的问题,结合不等式的解集和对应方程根的关系,利用韦达定理求解即可【解答】解:5x7|x+1|?解得:2x,故ax2+bx2=0的两根为和2,且a0,由韦达定理得,解得故答案为:4;913. 在极坐标系中,曲线与的交点的极坐标为 .参考答案:14. 在平面直角坐标系xOy中,已知角的顶点和点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边上一点M坐标为,则=参考答案:【考点】两角和与差的正切函数【分析】利用三角函数的定义,可求tan,进而利用两角和的正切函数公式即可得出结论【解答】解:点P(1,)是角终边上一点,tan=,=故答案为:【点评】本题考查三角函数的定义,两角和的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用,考查学生的计算能力,比较基础15. 设是定义在上且周期为2的函数,在区间上,其中若,则的值为 参考答案:【知识点】函数的周期性;分段函数的解析式求法及其图象的作法 B4 B1【答案解析】-10 解析:f(x)是定义在R上且周期为2的函数,f(x)=,f()=f()=1a,f()=;又=,1a= ,又f(1)=f(1),2a+b=0,由解得a=2,b=4;a+3b=10故答案为:10【思路点拨】由于f(x)是定义在R上且周期为2的函数,由f(x)的表达式可得f()=f()=1a=f()=;再由f(1)=f(1)得2a+b=0,解关于a,b的方程组可得到a,b的值,从而得到答案 16. 在锐角中,角的对边分别是,若的面积为,则 ; 参考答案:17. 若直线和函数的图象恒过同一定点,则当取最小值时,函数的解析式是_。参考答案:略三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 已知,且,证明:(1);(2).参考答案:(1), ,当且仅当时,取得等号.(2)因为,且所以,所以,所以. 19. (12分)某班50位学生期中考试数学成绩的频率直方分布图如图所示,其中成绩分组区间是:(1)求图中x的值;(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人,该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为,求的数学期望参考答案:【考点】: 离散型随机变量的期望与方差;频率分布直方图;古典概型及其概率计算公式【专题】: 概率与统计【分析】: (1)根据所以概率的和为1,即所求矩形的面积和为1,建立等式关系,可求出所求;(2)不低于80分的学生有12人,90分以上的学生有3人,则随机变量的可能取值有0,1,2,然后根据古典概型的概率公式求出相应的概率,从而可求出数学期望解:(1)由300.006+100.01+100.054+10x=1,得x=0.018(2)由题意知道:不低于80分的学生有12人,90分以上的学生有3人随机变量的可能取值有0,1,2【点评】: 本题主要考查了频率分布直方图,以及古典概型的概率公式和离散型随机变量的数学期望,同时考查了计算能力和运算求解的能力,属于基础题20. 已知集合,若,求实数的取值范围.参考答案:解:由已知得, 2分. 3分又当即时,集合.要使成立,只需,解得6分当即时, ,显然有,所以符合9分当即时,集合.要使成立,只需,解得 12分综上所述,所以的取值范围是-2,2.13分略21. (本小题满分12分) 在中,分别是内角的对边,且(1)求(2)设函数,将的图象向左平移后得到函数的图象,求函数的单调递增区间。参考答案:(1)由正弦定理得(, 即 3分因为,所以,因为, 所以 又为三角形的内角,所以 6分(2) = 9分 由 得 故的单调增区间为:. 12分22. 已知直线l的极坐标方程为,圆C的参数方程为为参数)(1)请分别把直线l和圆C的方程化为直角坐标方程;(2)求直线l被圆截得的弦长参考答案:【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程 【专题】计算题;转化思想;数学模型法;坐标系和参数方程【分析】(1)展开两角差的正弦,代入x=cos,y=sin得到直线l的直角坐标方程,两式平方作和消去得到圆的普通方程;(2)求出圆心到直线的距离,利用弦心距、圆的半径及弦长的关系求得答案【解答】解:(1)由,得,y,即圆的方程为x2+y2=100(2)圆心(0,0)到直线的距离d=,y=10,弦长l=【点评】本题考查参数方程化普通方程,考查了极坐标方程化直角坐标方程,考查了弦心距、圆的半径及弦长的关系,是基础题
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