江苏省泰州市竹泓高级中学2020-2021学年高三数学文期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知直线4x3y+a=0与C: x2+y2+4x=0相交于A、B两点，且AOB=120，则实数a的值为（ ）A3 B10 C. 11或 21 D3或13参考答案：D2. 已知函数，若函数有唯一零点，函数有唯一零点，则有（ ） A B。 C D。参考答案：B略3. 设等边三角形ABC的边长为1，平面内一点M满足，向量与夹角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 参考答案：D【分析】根据向量的平方等于模长的平方得到，再将两边用点乘，由向量点积公式得到夹角的余弦值.【详解】，对两边用点乘，与夹角的余弦值为.故选D.【点睛】这个题目考查了向量的模长的求法以及向量点积的运算，题目比较简单基础；平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.4. 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则恰有一个红球的概率是 (A) (B) (C) (D) 参考答案：C从袋中任取2个球，恰有一个红球的概率，选C.5. 已知函数，则要得到其导函数的图象，只需将函数的图象A向左平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位 D向右平移个单位参考答案：C6. 在2018年石嘴山市高中生研究性学习课题展示活动中，甲、乙、丙代表队中只有一个队获得一等奖，经询问，丙队代表说：“甲代表队没得等奖”；乙队代表说：“我们队得了一等奖”；甲队代表说：“丙队代表说的是真话”。事实证明，在这三个代表的说法中，只有一个说的是假话，那么获得一等奖的代表队是（ ）A.甲代表队B.乙代表队C.丙代表队D.无法判断参考答案：C7. 若直线ax+by=2经过点M（cos，sin），则 （）Aa2+b24Ba2+b24CD参考答案：B考点：基本不等式专题：不等式的解法及应用分析：利用题设中的直线ax+by=2经过点M（cos，sin），得到acos+bsin=2，结合同角关系式中的平方关系，利用基本不等式求得正确选项解答：解：直线ax+by=2经过点M（cos，sin），acos+bsin=2，a2+b2=（a2+b2）（cos2+sin2）（acos+bsin）2=4，（当且仅当时等号成立）故选B点评：本题主要考查了直线的方程、柯西不等式求最值等注意配凑的方法，属于基础题8. 已知直线过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直。与C交于A,B两点，=12，P为C的准线上一点，则ABP的面积为A18 B . 24 C. 36 D. 48参考答案：【知识点】直线与圆锥曲线的关系H8 【答案解析】C 解析：设抛物线的解析式为y2=2px（p0），则焦点为F（，0），对称轴为x轴，准线为x=直线l经过抛物线的焦点，A、B是l与C的交点，又ABx轴，|AB|=2p=12，p=6又点P在准线上，DP=（+|）=p=6SABP=（DP?AB）=612=36，故选C【思路点拨】首先设抛物线的解析式y2=2px（p0），写出次抛物线的焦点、对称轴以及准线，然后根据通径|AB|=2p，求出p，ABP的面积是|AB|与DP乘积一半9. 已知一个全面积为24的框架正方体，内有一个与每条棱都相切的球，此球的体积为（ ）A. B. C. D. 参考答案：答案:D 10. . 设则的大小关系是 A B C D参考答案：C略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设1，1，2，2，记“以(x，y)为坐标的点落在不等式所表示的平面区域内”为事件A，则事件A发生的概率为_参考答案：1【分析】利用几何概型的概率公式求事件A发生的概率.【详解】由题得1，1，2，2，对应的区域是长方形，其面积为.设事件A发生的概率为P，故P1故答案为：1【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.12. 在一个边长为米的正方形区域的每个顶点处设有一个监测站，若向此区域内随机投放一个爆破点，则爆破点距离监测站米内都可以被监测到，那么随机投放一个爆破点被监测到的概率为 ；参考答案：略13. 已知抛物线，焦点为F，过F点的直线l交抛物线于A，B两点，则的最小值为 参考答案：F（，0），设A（x1，y1），B（x2，y2）当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=k（x），（k0）联立 ，化为k2x2（k2+2）x+k2=0x1x2=|AF|+2|BF|=x1+2（x2+）=x1+2x2+2+=，当且仅当x1=2x2=时取等号当直线AB的斜率不存在时，|AF|+2|BF|=3p=3综上可得：|AF|+2|BF|的最小值为：故答案为：14. 函数的定义域为，若且时总有，则称为单函数例如，函数是单函数.下列命题中是真命题有_（写出所有真命题的编号）函数是单函数；指数函数是单函数；若为单函数,且，则；在定义域是单调函数的函数一定是单函数参考答案：略15. 若，则的值为 。参考答案：1略16. (几何证明选讲选做题)如图4所示，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，过作圆的切线，过A作的垂线AD，垂足为D， 则DAC= 参考答案：略17. 曲线与坐标轴所围成的图形的面积是_.参考答案：3三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 设函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求a的取值范围.参考答案：（1）； （2）分析】(1)由题意利用零点分段求解不等式的解集即可；(2)将不等式进行等价转化，然后结合绝对值三角不等式的性质得到关于a的不等式，求解不等式即可确定a的取值范围.【详解】（1）当时，可得的解集为；（2）等价于，而，且当时等号成立故等价于，由可得或，所以的取值范围是【点睛】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想19. 选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵A= 的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为a=，求实数a，b的值参考答案：【考点】特征向量的定义【分析】由条件知，A=2，从而，由此能求出a，b的值【解答】解：矩阵A=的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为a=，由条件知，A=2，即，即，（6分），解得a，b的值分别为2，4（10分）【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意特征向量的性质的合理运用20. 已知数列an，其前n项和为Sn.（1）若对任意的，组成公差为4的等差数列，且，求；（2）若数列是公比为q（q1）的等比数列，a为常数，求证：数列an为等比数列的充要条件为.参考答案：解：（1）因为，成公差为4的等差数列，所以，（），所以，是公差为4的等差数列，且，又因为，所以（2）因为，所以，所以，-，得，（i）充分性：因为，所以，代入式，得，因为，又，所以，所以为等比数列，（ii）必要性：设的公比为，则由得，整理得，此式为关于的恒等式，若，则左边=0，右边=-1，矛盾：若，当且仅当时成立，所以.由（i）、（ii）可知，数列为等比数列的充要条件.21. 已知在一个极坐标系中，点的极坐标为.(1)求出以为圆心，半径长为2的圆的极坐标方程(写出解题过程)并画出图形.(2)在直角坐标系中，以圆所在极坐标系的极点为原点，极轴为轴的正半轴建立直角坐标系，点是圆上任意一点，是线段的中点，当点在圆上运动时，求点的轨迹的普通方程.参考答案：(1)如图，设圆上任意一点，则或.由余弦定理得：，圆的极坐标方程，作图如下：(2)在直角坐标系中，点的坐标为，可设圆上任意一点，又令，由，是线段的中点，的参数方程为(为参数)点的轨迹的普通方程为.22. 已知数列an的前n项和为Sn，且满足a1=2，Sn4Sn12=0（n2，nZ）（）求数列an的通项公式；（）令bn=log2an，Tn为bn的前n项和，求证2参考答案：【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和【专题】34 ：方程思想；35 ：转化思想；54 ：等差数列与等比数列【分析】（I）利用数列递推关系、等比数列的通项公式即可得出（II）利用“裂项求和”方法、数列的单调性即可得出【解答】解：（）当n3时，可得Sn4Sn12（Sn14Sn22）=0（n2，nZ）an=4an1，又因为a1=2，代入表达式可得a2=8，满足上式所以数列an是首项为a1=2，公比为4的等比数列，故：an=24n1=22n1（）证明：bn=log2an=2n1Tn=n2n2时，=1+=22