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湖南省益阳市沅江团山联校高三数学理月考试题含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 若的图象必不经过 ( )A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限参考答案:B2. 已知集合A=x|x22x30,B=x|x|2则AB=()Ax|2x2Bx|2x3Cx|1x3Dx|1x2参考答案:D【考点】交集及其运算【分析】解不等式得出集合A、B,根据交集的定义写出AB【解答】解:集合A=x|x22x30=x|1x3,B=x|x|2=x|2x2故选:D3. 函数(其中是自然对数的底数)的图象上存在 点满足条件:,则实数的取值范围是( )A B C D 参考答案:D略4. 已知,且,若,则的大小关系为( )A BC D参考答案:D考点:指数及指数函数的运算5. (5分)(2015?万州区模拟)x,y满足约束条件,若z=y2ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为() A 或1 B 1或 C 2或1 D 2或1参考答案:【考点】: 简单线性规划【专题】: 不等式的解法及应用【分析】: 作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,得到直线y=2ax+z斜率的变化,从而求出a的取值解析: 作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分ABC)由z=y2ax得y=2ax+z,即直线的截距最大,z也最大若a=0,此时y=z,此时,目标函数只在A处取得最大值,不满足条件,若a0,目标函数y=2ax+z的斜率k=2a0,要使z=y2ax取得最大值的最优解不唯一,则直线y=2ax+z与直线2xy+2=0平行,此时2a=2,即a=1若a0,目标函数y=ax+z的斜率k=a0,要使z=y2ax取得最大值的最优解不唯一,则直线y=2ax+z与直线x+y2=0,平行,此时2a=1,解得a=综上a=1或a=,故选:B【点评】: 本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法注意要对a进行分类讨论6. 若cos=,且(,),则tan=( )ABCD参考答案:B【考点】同角三角函数间的基本关系 【专题】转化思想;三角函数的求值【分析】利用同角三角函数基本关系式即可得出【解答】解:cos=,且(,),sin=,=故选:B【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题7. 下列三个结论:设为向量,若,则恒成立;命题“若,则x=0”的逆命题为“若x0,则”;“命题为真”是“命题为真”的充分不必要条件;其中正确的结论的个数为( )A1个B2个C. 3个D0个参考答案:A试题分析:对于设为向量,若,从而,即和的夹角是,则恒成立,则对;对于,命题“若,则”的逆否命题为“若,则”而不是逆命题,则错;对于,命题为真,则,中至少有一个为真,不能推出为真,反之成立,则应为必要不充分条件,则错;故选:A考点:复合命题的真假.8. 已知函数, 其中,且,现给出如下结论:;.其中正确结论的个数是( )A1 B2 C3 D4参考答案:B略9. 定义在上的函数满足,其中为的导函数,则下列不等式中,一定成立的是( )A B C D参考答案:B10. 抛物线上的点到其焦点的最短距离为( )A.4 B.2 C.1 D.参考答案:C试题分析:由已知焦点为,故抛物线上的点到焦点的距离为,当然也可作图,利用抛物线的定义考点:抛物线二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若ABC的内角,满足成等差数列,则cos C的最小值是_参考答案: 12. 已知函数y=sin(x+)(0,|)的图像如图所示,则= 。参考答案:13. 在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知b=a,A=2B,则cosA= 参考答案:【考点】正弦定理【分析】由已知及正弦定理,二倍角的正弦函数公式化简可得cosB=,进而利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解【解答】解:A=2B,sinA=sin2B=2sinBcosB,b=a,由正弦定理可得: =2cosB,cosB=,cosA=cos2B=2cos2B1=故答案为:14. 的展开式中的常数项为 (用数学作答)参考答案:【考点】二项式定理的应用【分析】通项公式Tr+1=(1)r,令=0,解得r即可得出【解答】解:通项公式Tr+1=(1)r,令=0,解得r=6,常数项为=故答案为:【点评】本题考查了二项式定理的应用,考查了推理能力与计算能力,属于基础题15. 如图2,中,D、E分别在边AB、AC上,CD平分ACB,DEBC,如果AC=10,AE=4,那么BC=_。参考答案:15略16. 在极坐标系中,过圆的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程为 。参考答案:17. 已知函数满足,当时,的值为 参考答案:三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 在平面直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C1的参数方程为(为参数),曲线 C2的极坐标方程为cossin4=0(1)求曲线C1的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程;(2)设P为曲线C1上一点,Q为曲线 C2上一点,求|PQ|的最小值参考答案:【考点】参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程【分析】(1)利用参数方程与普通方程,极坐标方程与直角坐标方程互化的方法,可得曲线C1的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程;(2)利用参数方法,求|PQ|的最小值【解答】解:(1)由曲线C1的参数方程为(为参数),消去参数得,曲线C1的普通方程得+=1由cossin4=0得,曲线C2的直角坐标方程为xy4=0(2)设P(2cos,2sin),则点P到曲线C2的距离为d=,当cos(+45)=1时,d有最小值0,所以|PQ|的最小值为019. (本大题12分) 某出版社新出版一本高考复习用书,该书的成本为元一本,经销过程中每本书需 付给代理商元的劳务费,经出版社研究决定,新书投放市场后定价为 元一本,预计一年的销售量为万本. ()求该出版社一年的利润(万元)与每本书的定价的函数关系式; ()每本书定价为多少元时,该出版社一年利润最大,并求出的最大值.参考答案:(1) (2)时,;时,20. )数列an满足(1)设,证明bn是等差数列; (2)求an的通项公式参考答案:(1)略(2) 21. 已知无穷数列an的各项都是正数,其前n项和为Sn,且满足:a1=a,rSn=anan+11,其中a1,常数rN;(1)求证:an+2an是一个定值;(2)若数列an是一个周期数列(存在正整数T,使得对任意nN*,都有an+T=an成立,则称an为周期数列,T为它的一个周期,求该数列的最小周期;(3)若数列an是各项均为有理数的等差数列,cn=2?3n1(nN*),问:数列cn中的所有项是否都是数列an中的项?若是,请说明理由,若不是,请举出反例参考答案:【考点】数列递推式【分析】(1)由rSn=anan+11,利用迭代法得:ran+1=an+1(an+2an),由此能够证明an+2an为定值(2)当n=1时,ra=aa21,故a2=,根据数列是隔项成等差,写出数列的前几项,再由r0和r=0两种情况进行讨论,能够求出该数列的周期(3)因为数列an是一个有理等差数列,所以a+a=r=2(r+),化简2a2ar2=0,解得a是有理数,由此入手进行合理猜想,能够求出Sn【解答】(1)证明:rSn=anan+11,rSn+1=an+1an+21,得:ran+1=an+1(an+2an),an0,an+2an=r(2)解:当n=1时,ra=aa21,a2=,根据数列是隔项成等差,写出数列的前几项:a,r+,a+r,2r+,a+2r,3r+,当r0时,奇数项和偶数项都是单调递增的,所以不可能是周期数列,r=0时,数列写出数列的前几项:a,a,所以当a0且a1时,该数列的周期是2,(3)解:因为数列an是一个有理等差数列,a+a+r=2(r+),化简2a2ar2=0,a=是有理数设=k,是一个完全平方数,则r2+16=k2,r,k均是非负整数r=0时,a=1,an=1,Sn=nr0时(kr)(k+r)=16=28=44可以分解成8组,其中只有,符合要求,此时a=2,an=,Sn=,cn=2?3n1(nN*),an=1时,不符合,舍去an=时,若2?3n1=,则:3k=43n11,n=2时,k=,不是整数,因此数列cn中的所有项不都是数列an中的项22. (本题满分15分)已知椭圆:的离心率为,其右焦点与椭圆的左顶点的距离是3两条直线交于点,其斜率满足设交椭圆于A、C两点,交椭圆于B、D两点(I)求椭圆的方程;(II)写出线段的长关于的函数表达式,并求四边形面积的最大值参考答案:()设右焦点(其中),依题意,所以 3分所以,故椭圆的方程是 5分()由()知,F(1,0)将通过焦点F的直线方程代入椭圆的方程,可得,其判别式特别地,对于直线,若设,则 ,. 10分又设,由于B、D位于直线的异侧,所以与异号因此B、D到直线的距离之和12分综合可得,四边形ABCD的面积因为,所以,于是当时,单调递减,所以当,即时,四边形ABCD的面积取得最大值 15分
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