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北京潞河中学分校高三数学文期末试卷含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 在等差数列中,,则A.5 B.8 C.10 D.14参考答案:B将条件全部化成:,解得,于是.2. 一个样本a,3,4,5,6的平均数为b,且方程x26x+c=0的两个根为a,b,则该样本的方差为()A1B2CD参考答案:B【考点】BC:极差、方差与标准差【分析】由平均数定义及韦达定理得a+=6,由此求出a,b,从而能求出该样本的方差【解答】解:一个样本a,3,4,5,6的平均数为b,且方程x26x+c=0的两个根为a,b,a+=6,解得a=2,b=4,该样本的方差为: (24)2+(34)2+(44)2+(54)2+(64)2=2故选:B3. 执行如图所示的程序框图,若输出的S为4,则输入的x应为()A2B16C2或8D2或16参考答案:D【考点】程序框图【专题】算法和程序框图【分析】算法的功能是求S=的值,分当x1时和当x1时两种情况,求输出S=4时的x值【解答】解;由程序框图知:算法的功能是求S=的值,当x1时,输出的S=4?2x=4?x=2;当x1时,输出的S=4?log2x=4?x=16故选:D【点评】本题考查了选择结构的程序框图,根据框图的流程判断算法的功能是关键4. 高三要安排毕业晚会的4个音乐节目,2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序,要求两个舞蹈节目不连排,则不同排法的种数是( )A1800 B3600 C4320 D5040参考答案:B略5. 已知实数x,y满足约束条件,则的最小值为( )A. -6B. -4C. -3D. -1参考答案:A【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,求目标函数z2x+y的最小值【详解】由z2x+y,得y2x+z,作出不等式对应的可行域(阴影部分),平移直线y2x+z,由平移可知当直线y2x+z,经过点A时,直线y2x+z的截距最大,此时z取得最小值,由,解得A(3,0)将A的坐标代入z2x+y,得z6,即目标函数z2x+y的最小值为6故选:A【点睛】本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法6. 设复数(i是虚数单位),则在复平面内,复数对应的点的坐标为( )A(3,4) B(5,4) C(3,2) D(3,4) 参考答案:A,所以复数对应的点为,故选A.7. 正方体ABCDA1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的余弦值为()ABCD参考答案:D【考点】直线与平面所成的角;点、线、面间的距离计算【分析】正方体上下底面中心的连线平行于BB1,上下底面中心的连线与平面ACD1所成角,即为BB1与平面ACD1所成角,直角三角形中,利用边角关系求出此角的余弦值【解答】解:如图,设上下底面的中心分别为O1,O,设正方体的棱长等于1,则O1O与平面ACD1所成角就是BB1与平面ACD1所成角,即O1OD1,直角三角形OO1D1中,cosO1OD1=,故选D【点评】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法,利用等体积转化求出D到平面ACD1的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现,属于中档题8. 设全集UR,Ax|x23x0,Bx|x0Bx|3x1Cx|3x0 Dx|x1参考答案:B9. 若(为虚数单位,),则等于( )A. B. C. D. 参考答案:A因为,则所以,故答案选A10. 某单位有职工52人,现将所有职工随机编号,用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本,已知6号,32号,45号职工在样本中,则样本中还有一个职工的编号是( ) A19 B20 C18 D21参考答案:S略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知正四面体ABCD的棱长为,四个顶点都在球心为O的球面上,过棱AB的中点M作用球O的截面,则截面面积的最小值为_.参考答案:.12. 已知x,y满足约束条件,求z=(x+1)2+(y-1)2的最小值是 参考答案:13. 已知若函数的定义域是0,2,则函数的定义域是 参考答案:(0,1)略14. 如果(x21)+(x1)i是纯虚数,那么实数x= 参考答案:1【考点】复数的基本概念【分析】直接由实部为0且虚部不为0列式求解【解答】解:(x21)+(x1)i是纯虚数,解得:x=1故答案为:115. 过点的直线与圆交于两点,当最小时,直线的方程为 。参考答案:略16. 在正方体的8个顶点与12条棱的中点共20个点中,(i)在这20个点确定的平面中,有 个不同的平面垂直;(用数字作答)(ii)在这20个点确定的直线中, 有 条不同的直线垂直(用数字作答)参考答案:答案:(i) 5 (ii) 27 17. 命题“?x1,1,x23x+10”的否定是参考答案:?x1,1,x23x+10考点: 命题的否定专题: 简易逻辑分析: 直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可解答: 解:因为特称命题的否定是全称命题,所以命题“?x1,1,x23x+10”的否定是:?x1,1,x23x+10故答案为:?x1,1,x23x+10点评: 本题考查命题的否定,特称命题与全称命题的否定关系三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数)。若以直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为(其中为常数)(1)当时,曲线与曲线有两个交点.求的值;(2)若曲线与曲线只有一个公共点,求的取值范围.参考答案:解:的方程是,消去参数,得 2分曲线的方程即转化为直角坐标方程为: 5分(1)当时,联立化简得: 即 6分(2)曲线与曲线只有一个交点?相切时,将 代入得只有一个解得 8分?相交时,如图: 综上:曲线与曲线只有一个交点时 或 10分19. 已知函数。(1)当a = 3时,求不等式的解集;(2)若对恒成立,求实数a的取值范围。参考答案:略20. 已知函数(1)若曲线在处的切线与轴垂直,求的最大值;(2)若对任意,都有,求a的取值范围参考答案:解:(1)由,得,令,则,可知函数在上单调递增,在上单调递减,所以(2)由题可知函数在上单调递减,从而在上恒成立,令,则,当时,所以函数在上单调递减,则;当时,令,得,所以函数在上单调递增,在上单调递减,则,即,通过求函数的导数可知它在上单调递增,故综上,即的取值范围是21. (14分)设函数f(x)=x?lnx+ax,aR()当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;()求函数y=f(x)在,e上的最小值;()若g(x)=f(x)+ax2(2a+1)x,求证:a0是函数y=g(x)在x(1,2)时单调递增的充分不必要条件参考答案:【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】()求出函数的导数,计算f(1),f(1),求出切线方程即可;()求出f(x)的最小值,通过讨论a的范围,得到函数f(x)的单调性,从而确定f(x)在闭区间的最小值即可;()求出g(x)的导数,通过讨论a的范围分别证明充分性和必要性即可【解答】解:()由f(x)=xlnx+ax得:f(x)=lnx+a+1当a=1时,f(x)=lnx+2,f(1)=1,f(1)=2,求得切线方程为y=2x1()令f(x)=0,得x=e(a+1),当e(a+1),即a0时,x,e时f(x)0恒成立,f(x)单调递增,此时f(x)min=f()=当e(a+1)e,即a2时,x,e时,f(x)0恒成立,f(x)单调递减,此时f(x)min=f(e)=ae+e,当e(a+1)e,即2a0时,x,e(a+1)时,f(x)0,f(x)单减;x(e(a+1),e)时,f(x)0,f(x)单增,此时f(x)min=f(e(a+1)=e(a+1),(9分)()g(x)=f(x)+ax(2a+1)=lnx+a(x1),当a0时,x(1,2)时lnx0,a(x1)0,g(x)0恒成立,函数y=g(x)在x(1,2)时单调递增,充分条件成立;又当a=时,代入g(x)=lnxx+,设h(x)=g(x)=lnxx+,x(1,2),则h(x)=0恒成立当x(1,2)时,h(x)单调递增又h(1)=0,当x(1,2)时,h(x)0恒成立而h(x)=g(x),当x(1,2)时,g(x)0恒成立,函数y=g(x)单调递增必要条件不成立综上,a0是函数y=g(x)在x(1,2)时单调递增的充分不必要条件(14分)【点评】本题考查了充分必要条件,考查函数的单调性、最值问题,考查导数的应用以及分类讨论思想,是一道中档题22. (本小题满分13分)从某学校的名男生中随机抽取名测量身高,被测学生升高均在之间,将结果按如下方式分成八组,第一组,第二组第八组,下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分,已知第一组和第八组人数相同,第六组的人数为4人.(1)求第七组的频率以及身高在180cm以上(含180cm)的人数;(2)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生,记他们的身高分别为,事件事件,求.参考答案:
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