名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -高中数学坐标系与参数方程选修4主干学问一、坐标系1平面直角坐标系的建立：在平面上 ，当取定两条相互垂直的直线的交点为原点，并确定了 度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系； 2空间直角坐标系的建立：在空间中 ，挑选两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点 为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系； 3极坐标系的建立：在平面上取一个定点O，自点O 引一条射线OX，同时确定一个单位长度和运算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系；（其中 O称为极点，射线OX称为极轴；）设 M是平面上的任一点，表示 OM的长度，表示以 射 线OX为始边，射线OM为终边所成的角；那么有序数对, 称为点 M的极坐标；其中称为极径，称为极角；商定：极点的极坐标是=0，可以取任意角；4直角坐标与极坐标的互化以直角坐标系的O为极点， x 轴正半轴为极轴，且在两坐标系中取 相 同的单位长度平面内的任一点P 的直角坐标极坐标分别为（x ，y ）和, ，就x2ytan二、曲线的极坐标方程1 直 线 的 极 坐 标 方 程 ： 如 直 线 过 点 M 0 ,0 ， 且 极 轴 到 此 直 线 的 角 为， 就 它 的 方 程 为 ：sin0 sin0几个特别位置的直线的极坐标方程（ 1）直线过极点（2）直线过点Ma,0 且垂直于极轴（ 3）直线过图：方程：M b, 且平行于极轴 22圆的极坐标方程：如圆心为 M 0 ,0 ，半径为r 的圆方程为：22220cos0 0r0几个特别位置的圆的极坐标方程（ 1）当圆心位于极点（ 2）当圆心位于M r ,0（ 3）当圆心位于M r , 2专心爱心专心 第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -图：方程：3直线、圆的直角坐标方程与极坐标方程的互化利用：x2ytan三、参数方程1参数方程的意义在平面直角坐标系中，如曲线C上的点数，简称 参数2参数方程与一般方程的互化（ 1）参数方程化为一般方程Px, y满意x f t ，该方程叫曲线C 的参数方程，变量t 是参变y f t 常见参数方程化为一般方程，并说明它们各表示什么曲线：x a cosy b sin（为参数）；x x0y y0att为参数）bt（ 3）xsinycos2x0,2（ 4）ya t 2b t 21 t（ t 为参数）1 t（ 5）x ary brcos sin（为参数）参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为一般方程，不要忘了参数的范畴！（ 2）一般方程化为参数方程常见化一般方程为参数方程，1、圆 xa2 yb2r 2 的参数方程；2、经过点P x0， y0 倾斜角为的参数方程；x2y23、椭圆221ab ab0 的参数方程；4、抛物线y22 px p0一般方程化为参数方程需要引入参数，挑选的参数不同，所得的参数方程也不一样；二、考点阐述考点 1、极坐标与直角坐标互化例题 1、在极坐标中，求两点P 2, Q2,4 之间的距离以及过它们的直线的极坐标方程；4专心爱心专心 第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -练习 1.1、已知曲线C1， C2 的极坐标方程分别为cos3 ，4cos 0，0 ，就曲线 C12与 C2 交点的极坐标为cos3【解析】我们通过联立解方程组0,0 解得23,即两曲线的交点为23, ；4cos2661 2. （宁夏 09 ）已知圆C： x212 y3 21 ，就圆心C 的极坐标为 0, 02答案：（ 2,）3练习 1.2（ 2021 丹东）（ 1）已知点c 极坐标为 2, ，求出以C 为圆心，半径r=2 的圆的极坐标方程（写3出解题过程） ；（ 2）P 是以原点为圆心，r=2 的圆上的任意一点，Q6,0 ， M 是 PQ 中点，当点P 在圆上运动时，求点 M 的轨迹的参数方程；解：（1）如下列图，设M 为圆上一点，M ,就MOC或，由余弦定理得43324cos43极坐标方程为=4cos；3x2cos（ 2）依题意e o的参数方程为设M （x , y=2siny, 点P（2cos ,2sin.Q M 为PQ中点，Q（6，0），M 的参数方程为x62sin2x3cos即y2siny=sin 2考点 2、极坐标与直角坐标方程互化例题 2、福建省龙岩市已知曲线 C 的极坐标方程是4sin以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，2xt建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程是2t为 参数），点 P 是曲线 C 上的动点，2y4t2点 Q 是直线 l 上的动点，求| PQ | 的最小值解：曲线 C 的极坐标方程4sin可化为24sin,其直角坐标方程为x22y4 y20 ，即 x2 y24 .（ 3分）专心爱心专心 第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -直线 l 的方程为xy40 .24所以，圆心到直线l 的距离 d322（6分）所以，PQ 的最小值为322 .（10分）练习 2.1 、（ 沈阳二中2021）设过原点 O 的直线与圆C ： x12y21 的一个交点为P ，点 M 为线段 OP的中点；(1) 求圆 C 的极坐标方程；(2) 求点 M 轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线解：圆 x12y21的极坐标方程为2cos4 分设点 P 的极坐标为1 ,1 ，点 M 的极坐标为, ，点 M 为线段 OP 的中点，12，17 分将12，1代入圆的极坐标方程，得cos点 M 轨迹的极坐标方程为cos，它表示圆心在点1 ,02，半径为12的圆10 分练习 2.2考点 3、参数方程与直角坐标方程互化例题 3：（ 2021 学年海南省）已知曲线xC1 的参数方程为2 10 cos（为参数），曲线C 2 的极坐y10 sin标方程为2 cos6 sin（ 1）将曲线C1 的参数方程化为一般方程，将曲线C2 的极坐标方程化为直角坐标方程；（ 2）曲线C1 ， C 2 是否相交，如相交恳求出公共弦的长，如不相交，请说明理由x解：（ 1）由210 cos得y x2 2y210 sin10曲线C1 的一般方程为x22y2102 cos6 sin22cos6sin2x2y 2 , xcos, ysin专心爱心专心 第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - - x 2y 22x6 y ，即 x1 2 y3 210曲线C2 的直角坐标方程为 x12 y3 210（分）（ 2）圆C1 的圆心为 2,0 ，圆C 2 的圆心为1,3 C1C221 203 232210两圆相交设相交弦长为d ，由于两圆半径相等，所以公共弦平分线段C1C 2 d 22 32 2210 2 d22公共弦长为22（10 分）练习 3.1（本小题满分10 分） 选修 4 4：坐标系与参数方程.已知曲线C：xy32 cos12 sin为参数， 02，（）将曲线化为一般方程；（）求出该曲线在以直角坐标系原点为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系下的极坐标方程（） x 2y 223x2 y05 分（）23 cossinxcosx2 t10 分2练习 3.2（ 08 海南）已知曲线C1：ysin 为参数 ，曲线 C2：2t为参数 ；y2 t2（ 1