名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -高中数学概念及方法向量一几种特别的向量1向量：长度为0 的向量，方向任意，记作0 ；2单位向量：长度为1 个单位的向量；3平行向量：方向相同或相反的非零向量；规定： 0 与任何向量平行；4相等向量：长度相等，方向相同的向量；推论：平移后的向量与原向量相等，与起点无关；任意两个相等的非零向量都可用同一条有向线段表示；5共线向量：平行向量都可以平移到同始终线上，共线向量可以相互平行，所以平行向量也称为共线向量；二向量的加法1向量加法几何作法的特点：“以尾为首，首尾相接”；2向量加法法就：三角形法就（首尾相接）和向量：由开头的起点指向最终的终点的向量；平行四边形法就（共起点）和向量： 以已知的两向量作为邻边构造平行四边形，共起点的对角线向量（三向量共起点）；3交换律：abba4结合律：ab cabc 5和向量的模与两向量模之间的关系：ababab（第一个等号在两向量反向或至少有一个为零向量时取得， 其次个等号在两向量同向或至少有一个为零向量时取得）6坐标运算：设a x1 , y , b x2 , y2 ，就 ab x1x2 , y1y2 ；1三向量的减法1向量减法几何作法的特点：“共起点” ；2向量减法法就：三角形法就（共起点）差向量：连终点，箭头指向被减向量的向量； 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -3与 a 长度相等，方向相反的向量称为的a 相反向量，记作a ；4差向量的模与两向量模之间的关系：ababab（第一个等号在两向量同向或至少有一个为零向量时取得， 其次个等号在两向量反向或至少有一个为零向量时取得）5 ab ,ab 是以 a 和 b 作为邻边构造的平行四边形的两条对角线，且ab ， ab 是两条对角线长；6坐标运算：设a x1 , y , b2y,2yy ，就 ab ；1,四1实数与向量的积1x2xx12实数与向量 a 的积仍是向量，记作a ；长度：aa方向：0时，0时，a与a同向a与a反向a与a必平行，必共线0时，a0运算率：aa aaa abab定理： b 和非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数，使得ba ；注： b 与 a 共线baR如 b0, a0 baRa 与 b 共线作用：判定两向量是否共线；要证三点共线，只要证有公共点的两向量共线；坐标运算：设a x, y ，就ax,y ；2平面对量的数量积向量运算： 已知非零向量a,b，它们的夹角为， 就 a ba b cos； 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -注： ab 不是向量，是一个实数，其符号由cos打算；规定：零向量与任何向量的积是0，即 0 a0 ； a b 的“ ”不能省略；两向量夹角的范畴0，0 时， a 与 b 同向；时， a 与 b 反向；时， a 与 b 垂直，记作a2b ，此时 a b0 aba b cos， b cos称为在 a 方向上的投影；投影 =向量本身的长度夹角的余弦值几何意义：ab 表示 a 的长度与 b 在 a 方向上投影的乘积；向量数量积的性质：如 a, b 是非零向量，为夹角， e 是与 b 同向的单位向量，就： aee abaa cosa b0 a 与 b 同向时， aba b ； a 与 b 反向时， aba b ；2特例： a aa2a，即向量的平方等于模的平方；2或 aa （求模的方法） cosab a b aba b向量数量积的运算律交换律：a bba,ababa b安排律：abcacbc 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -2完全平方公式：ab平方差公式：aba22a 2a bb22b ab经典错题：a bacbc ；例： ab 且 ac ；a bcabc前者是与 c 共线的向量，后者是与a 共线的向量；数量积的坐标公式：y设 ax1,1 , bx2 , y2 ，就 a bx1 x212 ；y y即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和；特例：如ax, y, 就 a 2aax 2y 222axy 向量模的坐标公式如点A x1 , y1 ，点B x2 , y2 ，就2ABx2x12y2y1两点间距离公式夹角公式的坐标形式：cosaba bx1 x222y1 y22 非特别角用反三角求2x1y1x2y2五平面基本定理：假如 e1,e2 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意向量 a ，有且只有一对实数、，使得a121 e12 e2 ，并把不共线的e1 , e2 称为平面内全部向量的一组基底；六向量平行（或共线）1向量形式：a b b0ab ，的符号能辨别两向量同向或反向； 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 y - - - - - - - - - - - - - - -2坐标形式：a bx1 y2x2 1内项之积等于外项之积；其中 ax1 , y1 , bx2 , y2， b 可为 0 ；七向量垂直（涉及垂直的向量都必需是非零向量）1向量形式：aba b02坐标形式：abx1 x2y1 y2 0八线段的定比分点：1点 p 分p1 p2 成两条有向线段p1p1 pp, pp ，由三点共线知：2p1 pp p2 ，即p p2，称为点 p 分有向线段p1 p2所成的比，点p 为的定比分点；pp12起点分点注： 不是长度之比； 的字母次序分点终点pp2规律：当 p 在线段12 上，0 ， p 为内分点；当 p 在线段p1 p2 的延长线或反向延长线上，0 ， p 为外分点 -内分为正，外分为负（的符号）1 xyp 的运算：先求长度之比，再定符号；（作箭头示意图）推导：设p 1 ,x2 , p x, yyy1212p1 pp，即 xp2x1 , y x2x, y2yx x1y y1 x2x y2yxx1x21y1y2y1定比分点的坐标公式特点： 分点起点终点1 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -特例：当1 即 p 是xpp的中点时12yx1x22y1y22中点坐标公式九平移：/1设旧点 p x, y ，按平移向量a/h, k 平移后得新点p x , y ，就有x xh/y yk同一坐标系下的坐标平移公式；2平移公式解决的问题：旧点，平移向量，新点三者知二求一；旧函数，平移向量，新函数三者知二求一；（留意解题格式：设新点，旧点及平移向量）十其它公式及方法：1证明四边形ABCD 为梯形，只要证ABD C ， 0 且1一组对边平行但不相等；2在三角形ABC 中，D, E, F分别为三边中点，G 为三条中线的交点，1称为重心；设A x1,y , B x2 , y2, C x3 , y3 ， G x, y ，就重心坐标公式为xx1y1yx2x33y2y3AAa 3AFGEBDC顶点到重心的距离是重心到对边中点距离