第一章误差1. 试举例 ,说明什么是模型误差,什么是方法误差. 解: 例如 ,把地球近似看为一个标准球体,利用公式24Ar计算其表面积 ,这个近似看为球体的过程产生的误差即为模型误差. 在计算过程中 ,要用到,我们利用无穷乘积公式计算的值 : 其中我们取前 9 项的乘积作为的近似值 ,得这个去掉的无穷乘积公式中第9 项后的部分产生的误差就是方法误差,也成为截断误差. 2. 按照四舍五入的原则,将下列各数舍成五位有效数字: 816.956 7 6.000 015 17.322 50 1.235 651 93.182 13 0.015 236 23 解: 816.96 6.000 0 17.323 1.235 7 93.182 0.015 236 3. 下列各数是按照四舍五入原则得到的近似数,它们各有几位有效数字? 81.897 0.008 13 6.320 05 0.180 0 解: 五位三位六位四位4. 若 1/4用 0.25 表示 ,问有多少位有效数字? 解: 两位5. 若1.1062,0.947ab,是经过舍入后得到的近似值,问 :,ab ab各有几位有效数字? 解: 已知4311d10, d1022ab, 又0.20532 10ab, 433211110100.551010222d abdadbdadb, 所以ab有三位有效数字; 因为0.10475714 10a b, 所以ab有三位有效数字. 6. 设120.9863,0.0062yy,是经过舍入后作为12,x x的近似值 .求1211,yy的计算值与真值的相对误差限及12yy与真值的相对误差限. 解: 已知-4-41112221211d ,d,d=10 ,d1022xyx xyxxx, 44111111110dd12drdr0.50 100.9863xxxxxy; 42222222110dd12drdr0.81 100.0062xxxxxy; 4221212drdrdr0.50 100.81 100.82 10 xxxx. 7. 正方形的边长约为100cm, 应该怎样测量,才能使其面积的误差不超过1cm2. 解:设正方形面积为S,边长为 a,则 S=a2.所以要使 :2dd2 d1saa a,则要求211d0.5 102200aa.所以边长的误差不能超过20.5 10cm. 8. 用观测恒星的方法求得某地维度为45 0 2(读到秒 ),试问 :计算sin将有多大误差 ? 解: 1d sincosdcos 45 0 22. 9 . 真空中自由落体运动距离s 与时间的关系由公式212sgt确定 ,g 是重力加速度.现在假设g 是准确的 ,而对 t的测量有0.1s的误差 ,证明 t 增加时 ,距离的绝对误差增加而相对误差却减小. 证明 : 因为 :221ddddddd ;2.122sgt tgt ttsgtgt tsstgtds与 t 成正比 , dss与 t 成反比 ,所以当dt固定的时候 , t增加时 ,距离的绝对误差增加而相对误差却减小. 10. 设0 x,x的相对误差为,求ln x的绝对误差 . 解: 已知dxx,所以ln x的绝对误差dd lnxxx. 11. 设x的相对误差为%,求nx的相对误差 . 解: 1ddd%nnnnxnxxn xnxxx. 12. 计算球的体积 ,为了使相对误差限为1%, 问度量半径R 时允许的相对误差限如何? 解: 已知343VR,设ddrRRaR,则要使得3ddrdlnd ln3 d ln3 d ln3dr31%VVVRRRRaV,则11%3a. 第二章 插值法与数值微分1. 设yx,在100,121,144x三处的值是很容易求得的,试以这三个点建立yx的二次插值多项式,并用此多项式计算115的近似值 ,且给出误差估计.用其中的任意两点,构造线性插值函数,用得到的三个线性插值函数,计算115的近似值 ,并分析其结果不同的原因. 解: 已知012012100,121,144;10,11,12xxxyyy, 建立二次 Lagrange插值函数可得 : 所以211511510.7228L. 误差2012012,3!fRxxxxxxxxxx,所以利用前两个节点建立线性插值函数可得: 所以111511510.7143L. 利用后两个节点建立线性插值可得: 所以111511510.7391L. 利用前后两个节点建立线性插值可得: 所以111511510.6818L. 与115的真实值比较 ,二次插值比线性插值效果好,利用前两个节点的线性插值比其他两个线性插值效果好.此说明 ,二次插值比线性插值效果好,内插比外插效果好. 2. 利用 (2.9) 式证明证明 : 由(2.9) 式当01xxx时, 01maxxxxffx,01201101max4xxxxxxxxx所以3. 若0,1,.,jxn为互异节点 ,且有证明证明 : 由于且0nkjjjx lx和kx都为 k 次多项式 ,而且在 k+1 个不同的节点处的函数值都相同0,1,.,kn, 所以马上有0,0,1,.,nkkjjjx lxxkn. 4. 设给出sin x在,上的数值表 ,用二次插值进行计算,若希望截断误差小于510,问函数表的步长最大能取多少 ? 解: 记插值函数为p(x), 则所以11cosmax sin3!iiixxpxxxxxxcos1;令11iiig xxxxxxx,设1ixxth,得又12 ,0,2tt ttt的最大值为310.38493,所以有所以0.0538h. 5. 用拉格朗日插值和牛顿插值找经过点3, 1 , 0,2 , 3, 2 , 6,10的三次插值公式. 解: Lagrange插值函数 : 牛顿插值 : 首先计算差商也可以利用等距节点构造,首先计算差分可得前插公式和后插公式6. 确定一次数不高于4 的多项式x,使00,00,111,21. 解: 利用重节点计算差商则可构造 Hermite插值函数满足题设条件: 7. 寻找过1n个点01,.,nx xx的21n次多项式21nHx,满足条件 : 解: 和 Lagrange插值函数的构造类似,可将插值函数写成其中 ,基函数满足条件(1),21n in ihxhxPn; (2),0;,0n in in ijijn ijjijjhxhxhxhx则可由已知条件 ,可得2,1 2n in iiin ihxlxxxlx; 2,n iin ihxxxlx. 所以可得8. 过 0,1 两点构造一个三次Hermite插值多项式 ,满足条件 : 解: 计算重节点的差商马上可得9. 过给定数组75 76 77 78 79 80 2.768 2.833 2.903 2.979 3.062 3.153 (1) 作一分段线性插值函数. (2) 取第二类边界条件,作三次样条插值多项式. (3) 用两种插值函数分别计算75.5,78.3xx的函数值 . 解: (1)做分段线性插值函数可得: 其中 , 07675,76 ;0 75,76 .xxlxx175 75,767776,77 ;0 75,77 .xxlxxxx(2)把已知节点值带入M 关系式可得 : 由边界条件可得050MM,所以上面方程组变为可求解方程组解得12340.0058,0.0067,0.0036,0.0071MMMM. 所以可得在每个区间上的三次样条函数的表达式: (3)当75.5x时, 50175.52.76875.52.83375.52.8005Ill; 30.00580.005875.575.5762.7687675.52.83375.5752.79966s当78.3x时 , 53475.52.97978.33.06278.33.0039Ill; 10. 若给出sin ,cos,tanxxx的函数表 : 1.567 1.568 1.569 1.570 0.999 992 8 0.999 996 1 0.999 998 4 0.003 796 3 0.002 796 3 0.001 796 3 263.411 25 357.611 06 556.690 98 1 255.765 59 0.999 999 7 0.000 796 3 用表上的数据和任一插值公式求: (1) 用tanx表格直接计算tan1.5695. (2) 用sin1.5695和cos1.5695来计算tan1.5695.并讨论这两个结果中误差变化的原因. 解: 利用 Lagrange插值直接用tan 表计算得tan1.5695819.0342874999274; 利用 Lagrange插值计算 sin 得sin1.56950.99999917500000; 利用 Lagrange插值计算 cos 得cos1.56950.00129630000000; 最后利用 sin/cos计算 tan 得tan1.5695771.4257309264500. 出现小除数 ,误差被放大 . 11. 求三次样条函数s x,已知0.25 0.30 0.39 0.45 0.53 0.500 0 0.547 7 0.624 5 0.670 8 0.728 0 和边界条件解: 把表中数据带入M 关系式可得由边界条件还可得到两个方程: 联立两个方程组可解得: 带入 M 表达式便可得所求三次样条函数. 12. 称 n 阶方阵ijAa具有严格对角优势,若(1) 试证明 :具有严格对角优势的方阵必可逆. (2) 证明 :方程组 (2.62) 解存在唯一 . 证明 : (1)设矩阵 A 按行严格对角占优 ,如果 A 奇异 ,则存在非零向量x 使得 Ax=0, 写成分量形式为令指标0i使得00ixx,则因此00 00010nii ii jjjixaa即0 00010ni ii jjjiaa上式与矩阵按行严格对角占优矛盾,因此矩阵非奇异 . (2)方程组 (2.62) 由于该方程组系数矩阵为严格对角占优的方阵,所以由克拉默法则可知方程组存在唯一解.