2020年湖南省衡阳市到湖中学高三数学理下学期期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知偶函数f（x）在区间0，+）单调增加，则满足f（2x1）f（）的x取值范围是( )A（，）B，）C（，）D，）参考答案：A【考点】奇偶性与单调性的综合 【专题】分析法；函数的性质及应用【分析】由题设条件偶函数f（x）在区间0，+）单调增加可得出此函数先减后增，以y轴为对称轴，由此位置关系转化不等式求解即可【解答】解析：f（x）是偶函数，故f（x）=f（|x|）f（2x1）=f（|2x1|），即f（|2x1|）f（|）又f（x）在区间0，+）单调增加得|2x1|，解得x故选A【点评】本题考查了利用函数的单调性和奇偶性解不等式，在这里要注意本题与下面这道题的区别：已知函数f（x）在区间0，+）单调增加，则满足f（2x1）的x取值范围是( )2. 设a，b，i是虚数单位，则“复数为纯虚数”是“”的A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件参考答案：A略3. 在数列中，已知，（），则（ ）A. 4 B. C. 1 D. 5参考答案：A4. 右图给出的是计算的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是( ) A B C D参考答案：A5. 下表为第29届奥运会奖牌榜前10名： 设表示从“金牌、银牌、铜牌、总数”4项中任取不同两个构成的一个排列，按下面的方式对10个国家进行排名：首先按由大至小排序（表格中从上至下），若值相同，则按值由大至小排序，若值也相同，则顺序任意，那么在所有的排序中，中国的排名之和是 （ ）A15 B20 C24 D27参考答案：D6. 已知，则ABCD参考答案：B从题意得：，。所以B为正确答案.【点睛】指数或者对数比较大小，考查学生对指数与对数的图像与性质的灵活处理能力，需要学生抓住定点。算出所在区间在去比较大小。7. 已知等比数列的公比，其前项和为，则的值为（ ） A0 B C1 D2参考答案：答案：B 解析：由已知=，故选B 8. 原点与极点重合，x轴正半轴与极轴重合，则直角坐标为的点的极坐标是（）AB（4，）C（4，）D参考答案：B【考点】简单曲线的极坐标方程【专题】坐标系和参数方程【分析】根据极坐标公式，求出、即可【解答】解：x=2，y=2；=4；又x=cos=2，cos=，且为第三象限角，=；该点的极坐标为（4，）故选：B【点评】本题考查了极坐标方程的应用问题，解题时应熟记极坐标与普通方程的互化，是基础题目9. 设，则A. B. C. D. 2参考答案：B，选B10. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥外接球的表面积是（）A4B3C12D8参考答案：B【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积【分析】由已知中的三视图可得：该几何体的外接球相当于棱长为1的正方体的外接球，进而可得答案【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体的外接球相当于棱长为1的正方体的外接球，故2R=，故该四棱锥外接球的表面积S=4R2=3，故选：B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 关于函数，下列命题：存在，当时，成立；在区间上是单调递增；函数的图像关于点成中心对称图像；将函数的图像向左平移个单位后将与的图像重合其中正确的命题序号_.（注：把你认为正确的序号都填上）参考答案：略12. 使函数ysin x(0)在区间0,1上至少出现两次最大值，则的最小值为_参考答案：13. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x时，,则f(2) 参考答案：1214. 在平面直角坐标系中，若不等式组（k为常数）表示的平面区域D的面积是16，那么实数k的值为；若P（x，y）为D中任意一点，则目标函数z=2xy的最大值为参考答案：3,9.【考点】简单线性规划【专题】计算题；对应思想；数形结合法；不等式【分析】由约束条件作出可行域，由可行域面积列式求得k值，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得C（1，1），联立，解得A（k，k），联立，解得B（k，k+2），由（2k+2）（k+1）=16，解得：k=3；A（3，3），由z=2xy，得y=2xz，由图可知，当直线过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为9故答案为：3，9【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题15. 把边长为的正方形沿对角线折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为 . 参考答案：略16. 直角坐标平面中，若定点与动点满足，则点P的轨迹方程是_。参考答案：答案：17. 数列中，设数列的前项和为，则 . 参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 在直角坐标系x0y中，直线l的参数方程为（t为参数），若以直角坐标系x0y的O点为极点，0x为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为（1）求直线l的倾斜角；（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，求AB参考答案：【考点】点的极坐标和直角坐标的互化；直线的倾斜角；直线与圆的位置关系【分析】（1）根据直线参数方程的意义，可得直线l的倾斜角为满足余弦等于且正弦等于，由此即可得到直线l的倾斜角；（2）将曲线C化成直角坐标方程，得它是（，）为圆心且半径为1的圆，由点到直线的距离公式算出弦AB到圆心的距离，最后根据垂径定理可算出弦AB的长【解答】解：（1）设直线l的倾斜角为，根据直线参数方程的意义，得且0，），可得，即直线l的倾斜角为（2）由（1）得直线l是经过点（0，），且倾斜角为的直线，斜率k=tan=直线l的直角坐标方程为y=x+，而曲线C：，即2=cos+sin，cos=x，sin=y，曲线C的直角坐标方程为x2+y2=x+y，整理得（x）2+（y）2=1可得曲线C是以（，）为圆心，半径为1的圆C到直线l的距离d=，线段AB的长为2= 19. 已知椭圆的离心率为.（）求椭圆C的方程；（）设直线l过点且与椭圆C相交于A，B两点.过点A作直线的垂线，垂足为D.证明直线BD过x轴上的定点.参考答案：（）；（）见解析.【分析】（）由离心率列方程可求得椭圆方程； （）当直线AB的斜率不存在时，直线BD过点（2，0）当直线AB的斜率存在时，设直线AB为y=k（x-1），联立方程组，消去y整理得：（1+3k2）x2-6k2x+3k2-3=0利用韦达定理、直线方程，结合已知条件求出直线BD过x轴上的定点【详解】（）解：由题意可得,解得，所以椭圆C的方程为 （）直线BD恒过x轴上的定点N（2，0）证明如下（a）当直线l斜率不存在时，直线l的方程为x=1，不妨设A（1，），B（1，），D（3，）此时，直线BD的方程为：y=（x-2），所以直线BD过点（2，0）（b）当直线l的斜率存在时，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB为y=k（x-1），D（3，y1）由得：（1+3k2）x2-6k2x+3k2-3=0所以x1+x2=，x1x2=（*）直线BD：y-y1=（x-3），只需证明直线BD过点（2，0）即可.令y=0，得x-3=，所以x=即证，即证.将（*）代入可得.所以直线BD过点（2，0）综上所述，直线BD恒过x轴上的定点（2，0）【点睛】本题考查椭圆方程求法，考查了直线恒过定点，考查推理论证能力、运算求解能力，考查由特殊到一般的思想，是难题20. 某校高三年级在学期末进行的质量检测中，考生数学成绩情况如下表所示：数学成绩90，105）105，120）120，135）135，150文科考生5740246理科考生123xyz已知用分层抽样方法在不低于135分的考生中随机抽取5名考生进行质量分析，其中文科考生抽取了1名（1）求z的值；（2）如图是文科不低于135分的6名学生的数学成绩的茎叶图，计算这6名考生的数学成绩的方差；（3）已知该校数学成绩不低于120分的文科理科考生人数之比为1：3，不低于105分的文科理科考生人数之比为2：5，求理科数学及格人数参考答案：【考点】茎叶图；极差、方差与标准差【分析】（1）根据分层抽样各层抽取人数与总人数成比例，可得意，可得z（2）先计算出6名考生的数学成绩的平均数，进而代入方差公式，可得6名考生的数学成绩的方差；（3）该校数学成绩不低于120分的文科理科考生人数之比为1：3，不低于105分的文科理科考生人数之比为2：5，可得，解解方程组可得x、y的值，【解答】解：（1）依题意，z=24（2）2+2+2+2+2+2=32+32+22+02+22+62=（3）依题意，解得x=85，y=66，理科数学及格人数为：123+85+66+24=298人21. （30分）如图4，ABC的内心为I，过点A作直线BI的垂线，垂足为H,设D、E分别为内切圆I与边BC、CA的切点，求证：D、H、E三点共线参考答案：22. 目前我国很多城市出现了雾霾天气，已经给广大人民的健康带来影响，其中汽车尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，很多城市提倡绿色出行方式，实施机动车尾号限行某市为了解民众对“车辆限行”的态度，随机调查了50人，并半调查结果制成如表：年龄（岁）15，25）25，35）