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内蒙古自治区赤峰市四方城乡中学2020-2021学年高二数学理月考试题含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 为长方形,为的中点,在长方形 内随机取一点,取到的点到的距离大于的概率为 ( )A B C D 参考答案:D略2. 曲线与坐标轴围成的面积是( )A.4 B. C.3 D.2参考答案:C3. 已知i是虚数单位,若复数为纯虚数(a,),则( )A. 1B. C. 2D. 3参考答案:A由题意得为纯虚数,所以,故。所以。选A。4. 已知集合,则 ( )A. B. C. D.参考答案:C略5. 已知,则( )A0 B2 C D参考答案:A设,则,故选A.6. 已知x,y为正实数,则()A2lgx+lgy=2lgx+2lgyB2lg(x+y)=2lgx?2lgyC2lgx?lgy=2lgx+2lgyD2lg(xy)=2lgx?2lgy参考答案:D【考点】46:有理数指数幂的化简求值;4H:对数的运算性质【分析】直接利用指数与对数的运算性质,判断选项即可【解答】解:因为as+t=as?at,lg(xy)=lgx+lgy(x,y为正实数),所以2lg(xy)=2lgx+lgy=2lgx?2lgy,满足上述两个公式,故选D7. 用反证法证明某命题时,对结论:“自然数中恰有一个偶数”正确的反设为()A都是奇数 B都是偶数C中至少有两个偶数 中至少有两个偶数或都是奇数参考答案:D略8. 在直角坐标系xOy中,点.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系(),则点M的极坐标为( )A. B. C. D. 参考答案:C【分析】根据极坐标与直角坐标的转化公式求解.【详解】因为,所以;因为且在第三象限,所以,故选C.【点睛】本题主要考查极坐标与直角坐标的转化,熟记转化公式是求解关键,一般直角坐标化为极坐标利用公式可得,利用公式及点的位置可得;极坐标化为直角坐标时一般利用来实现.9. 直线xy-2=0的倾斜角为_A、30 B、45 C、60 D、90 参考答案:B10. 函数在0,2上的最小值是A. B. C.-4 D1参考答案:A二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如果不等式的解集为,且,那么实数a的取值范围是 .参考答案:略12. 已知正数x,y满足x+y=1,则的最小值为_参考答案:913. 如图2,在正三棱柱中,已知是棱的中点,且,则直线与所成的角的余弦值为参考答案:略14. 九章算术是我国古代一部重要的数学著作,书中给出了如下问题:“今有良马与驽马发长安,至齐,齐去长安一千一百二十五里良马初日行一百零三里,日增一十三里驽马初日行九十七里,日减半里良马先至齐,复还迎驽马,问几何日相逢?”其大意为:“现有良马和驽马同时从长安出发到齐去,已知长安和齐的距离是1125里良马第一天行103里,之后每天比前一天多行13里驽马第一天行97里,之后每天比前一天少行0.5里良马到齐后,立刻返回去迎驽马,多少天后两马相遇?”在这个问题中两马从出发到相遇的天数为 参考答案:9【考点】函数模型的选择与应用【分析】利用等差数列的求和公式与不等式的解法即可得出【解答】解:由题意知,良马每日行的距离成等差数列,记为an,其中a1=103,d=13;驽马每日行的距离成等差数列,记为bn,其中b1=97,d=0.5;设第m天相逢,则a1+a2+am+b1+b2+bm=103m+13+97m+(0.5)=200m+12.521125,化为m2+31m3600,解得m,取m=9故答案为:915. 已知ABC中,试用、的向量运算式子表示ABC的面积,即SABC=_.参考答案:16. 参考答案:(2)(3)17. 过点P(2,3),并且在两轴上的截距相等的直线方程为参考答案:x+y5=0,或3x2y=0【考点】直线的截距式方程【专题】计算题【分析】分直线的截距不为0和为0两种情况,用待定系数法求直线方程即可【解答】解:若直线的截距不为0,可设为,把P(2,3)代入,得,a=5,直线方程为x+y5=0若直线的截距为0,可设为y=kx,把P(2,3)代入,得3=2k,k=,直线方程为3x2y=0所求直线方程为x+y5=0,或3x2y=0故答案为x+y5=0,或3x2y=0【点评】本题考查了直线方程的求法,属于直线方程中的基础题,应当掌握三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 定义为n个正数的“均倒数”。已知正项数列an的前n项的“均倒数”为。(1)求数列an的通项公式。(2)设数列的前n项和为Tn,若4Tn对一切恒成立试求实数m的取值范围。(3)令,问:是否存在正整数k使得对一切恒成立,如存在求出k值,否则说明理由。参考答案:(1)设数列an的前n项和为Sn,由于数列an的前n项的“均倒数”为,所以=2分当当(对当成立)4分(2) =5分=6分对一切恒成立解之得即m 的取值范围是8分(3)解法一: =9分由于=10分时,时时取得最大值,即存在正整数k=10使得对一切恒成立12分解法二:=9分假设存在正整数k使得则为数列中的最大项由 得10分11分 又 k=10即存在正整数k=10使得对一切恒成立12分19. (1)求证: (2)参考答案:(1)详见解析(2)详见解析试题分析:(1)结合不等式特点采用分析法证明;(2)由题意可知此题证明时采用反证法,首先假设两者都大于等于2,由此推出与已知矛盾的结论,从而说明假设不成立,从而证明结论试题解析:而上式显然成立,故原不等式成立6分8分12分考点:不等式证明20. 已知椭圆(ab0)的右焦点为F2(3,0),离心率为e()若,求椭圆的方程;()设直线y=kx与椭圆相交于A,B两点,M,N分别为线段AF2,BF2的中点若坐标原点O在以MN为直径的圆上,且,求k的取值范围参考答案:【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程【专题】综合题;转化思想【分析】()由题意得,得,由此能求出椭圆的方程()由得(b2+a2k2)x2a2b2=0设A(x1,y1),B(x2,y2)所以,依题意OMON知,四边形OMF2N为平行四边形,所以AF2BF2,因为,所以由此能求出k的取值范围【解答】解:()由题意得,得结合a2=b2+c2,解得a2=12,b2=3所以,椭圆的方程为()由得(b2+a2k2)x2a2b2=0设A(x1,y1),B(x2,y2)所以,依题意,OMON,易知,四边形OMF2N为平行四边形,所以AF2BF2,因为,所以即,将其整理为k2=1因为,所以,12a218所以,即(13分)【点评】本题考查椭圆方程的求法和直线与椭圆位置关系的综合运用,解题时要认真审题,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地进行等价转化21. (本小题满分13分)已知数列的前项和,(1)求的通项公式(2)求数列的前项和.参考答案:解:(1)当时,;当时,故-7分(2)由可知:当时,-8分当时,当时,-9分当时,-11分-13分22. (12分)某高校在2014年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩,按成绩分组,得到的频率分布表如下左图所示(1)请先求出频率分布表中、位置相应的数据,再在答题卷上完成下列频率分布直方图;(2)为了能选拔出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试,求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试? 组号分组频数频率第1组160,165)50.050第2组165,170)0.350第3组170,175)30第4组175,180)200.200第5组180,185)100.100合计1001.00参考答案:()由题可知,第2组的频数为人,第3组的频率为, 频率分布直方图如下: ()因为第3、4、5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组分别为:第3组:人,第4组:人,第5组:人,所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人。
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