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山西省太原市育才中学2021年高三数学理下学期期末试题含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 的展开式中的系数是 A18 B14 C10 D6参考答案:C2. 曲线f(x),g(x)2x以及直线x1所围成封闭图形的面积为A B1 C D2参考答案:B略3. 设M为实数区间,a0且a1,若“aM”是“函数在(0,1)上单调递增”的一个充分不必要条件,则区间M可以是 ( )A.(1,) B.(1,2) C. (0,) D. (0, 1) 参考答案:C4. 在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,点D是边BC的中点,且,则ABC的面积为( )A. B. C. 或D. 或 参考答案:D【详解】由题可知,则,或.因为,所以,即,当时,所以的面积为;当时,所以的面积为.故答案为:D.【点睛】这个题考查了三角函数两角和差公式的逆用,以及向量的模长的应用,三角函数的面积公式的应用,题型比较综合.5. 已知函数.若关于的方程有两个不同的实根,则实数的取值范围是()ABCD参考答案:B略6. “十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献. 十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为(A) (B)(C) (D)参考答案:D分析:根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列,利用等比数列的相关性质可解.详解:因为每一个单音与前一个单音频率比为 ,所以 ,又 ,则 故选D.7. 执行如图所示的程序框图,则输出的A的值为()A7B31C29D15参考答案:D【考点】程序框图【专题】算法和程序框图【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的A,i的值,当i=5时满足条件i5,退出循环,输出A的值为15【解答】解:模拟执行程序框图,可得A=0,i=1A=1,i=2不满足条件i5,A=3,i=3,不满足条件i5,A=7,i=4,不满足条件i5,A=15,i=5,满足条件i5,退出循环,输出A的值为15故选:D【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图,正确写出每次循环得到的A,i的值是解题的关键,属于基础题8. 若复数为纯虚数,则()A. B. 13C. 10D. 参考答案:A【分析】由题意首先求得实数a的值,然后求解即可。【详解】由复数的运算法则有:,复数为纯虚数,则,即.本题选择A选项.【点睛】复数中,求解参数(或范围),在数量关系上表现为约束参数的方程(或不等式).由于复数无大小之分,所以问题中的参数必为实数,因此,确定参数范围的基本思想是复数问题实数化.9. 已知双曲线(b0)的离心率等于b,则该双曲线的焦距为()A2B2C6D8参考答案:D【考点】双曲线的简单性质【专题】数形结合;定义法;圆锥曲线的定义、性质与方程分析:设双曲线=1(b0)的焦距为2c,根据双曲线的几何性质求出c的值即可得焦距解:设双曲线=1(b0)的焦距为2c,由已知得,a=2;又离心率e=b,且c2=4+b2,解得c=4;所以该双曲线的焦距为2c=8故选:D【点评】本题考查了双曲线的定义与简单几何性质的应用问题,是基础题目10. 设三位数n=,若以a,b,c为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则这样的三位数n有( ) A45个 B81个 C165个 D216个参考答案:C解:等边三角形共9个; 等腰但不等边三角形:取两个不同数码(设为a,b),有36种取法,以小数为底时总能构成等腰三角形,而以大数为底时,ba2ba=9或8时,b=4,3,2,1,(8种);a=7,6时,b=3,2,1(6种);a=5,4时,b=2,1(4种);a=3,2时,b=1(2种),共有20种不能取的值共有23620=52种方法,而每取一组数,可有3种方法构成三位数,故共有523=156个三位数即可取156+9=165种数选C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知定义域是的函数满足:(1)对任意成立;(2)当 给出下列结论:对任意;函数的值域为;存在;“函数在区间上单调递减”的充要条件是“.”其中正确结论的序号是_.参考答案:【知识点】抽象函数及其应用B1 【答案解析】解析:对任意,恒有成立,当f(3m)=f(3?3m1)=3f(3m1)=3m1f(3)=0,故正确;取x(3m,3m+1,则(1,3,f()=3,f()=3mf()=3m+1x,从而函数f(x)的值域为0,+);即正确;x(1,3时,f(x)=3x,对任意x(0,+),恒有f(3x)=3f(x)成立,nZ,f(3n+1)=3nf(1+)=3n3(1+)=3n(2)0,故错误;令3kab3k+1,则13,f(a)f(b)=f(3k?)f(3k?)=3kf()f()=3k(3)(3)=3k()=ba0,函数f(x)在区间(a,b)?(3k,3k+1)上单调递减,故正确;综上所述,正确结论的序号是故答案为:【思路点拨】依据题中条件注意研究每个选项的正确性,连续利用题中第(1)个条件得到正确;连续利用题中第个条件得到正确,错误;对于,令3kab3k+1,利用函数单调性的定义判断即可12. 某学员在一次射击测试中射靶10次,命中环数如下:7,8,7,9,5,4,9,10,7,4, 则命中环数的方差为 . (注:方差,其中为的平均数)参考答案:4略13. 已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数,当x0,3)时,f(x)=|x22x+|,若函数y=f(x)a在区间3,4上有10个零点(互不相同),则实数a的取值范围是参考答案:(0,)【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】在同一坐标系中画出函数的图象与直线y=a的图象,利用数形结合判断a的范围即可【解答】解:f(x)是定义在R上且周期为3的函数,当x0,3)时,f(x)=|x22x+|,若函数y=f(x)a在区间3,4上有10个零点(互不相同),在同一坐标系中画出函数f(x)与y=a的图象如图:由图象可知故答案为:(0,)【点评】本题考查函数的图象以函数的零点的求法,数形结合的应用14. 已知全集,在中任取四个元素组成的集合记为,余下的四个元素组成的集合记为,若,则集合的取法共有 种.参考答案:31略15. 若,则实数m的取值范围是_.参考答案:略16. 中心在坐标原点,焦点在轴上的双曲线的一条渐近线方程为,则该双曲线的离心率为_. 参考答案:略17. 若以连续掷两次骰子分别得到的点数作为点的横、纵坐标,则点在直线上的概率为 .参考答案:略三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(1)求B;(2)若,求sinA的值参考答案: 19. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为. ()把的参数方程化为极坐标方程;()求与交点的极坐标()。参考答案:()曲线的参数方程为(为参数)普通方程为将代入上式化简得即的极坐标方程为 (5分)()曲线的极坐标方程化为平面直角坐标方程为将代入上式得,解得(舍去)当时,所以与交点的平面直角坐标为,故与交点的极坐标 (10分) 20. (16分)已知椭圆C:(ab0)的离心率为,且点(,)在椭圆C上(1)求椭圆C的方程;(2)直线l与椭圆C交于点P,Q,线段PQ的中点为H,O为坐标原点且OH=1,求POQ面积的最大值参考答案:【考点】直线与椭圆的位置关系;椭圆的标准方程【分析】(1)由椭圆的离心率为,且点(,)在椭圆C上,列出方程组求出a,b,由此能求出椭圆C的方程(2)设l与x轴的交点为D(n,0),直线l:x=my+n,联立,得(4+m2)x2+2mny+n24=0,由此利用韦达定理、弦长公式、均值定理,结合已知条件能求出POQ面积的最大值【解答】解:(1)椭圆C:的离心率为,且点(,)在椭圆C上解得a2=4,b2=1,椭圆C的方程为(2)设l与x轴的交点为D(n,0),直线l:x=my+n,与椭圆交点为P(x1,y1),Q(x2,y2),联立,得(4+m2)x2+2mny+n24=0,y1,2=,=,即H(),由OH=1,得,则SPOQ=?OD?|y1y2|=|n|y1y2|,令T=12?16?,设t=4+m2,则t4, =,当且仅当t=,即t=12时,(SPOQ)max=1,POQ面积的最大值为1【点评】本题考查椭圆方程的求法,考查三角形面积的最大值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意韦达定理、弦长公式、均值定理、椭圆性质的合理运用21. (本小题满分12分)已知椭圆(ab0)的离心率为,且过点() ()求椭圆E的方程;()设直线l:y=kx+t 与圆(1R2)相切于点A,且l与椭圆E只有一个公共点B.求证:; 当R为何值时,取得最大值?并求出最大值参考答案:() ;()证明见解析;时,取得最大值为1() 因为直线与圆C: 相切于A, 得, 即 . . . . . . . .5分 又因为与椭圆E只有一个公共点B, 由 得 ,且此方程有唯一解. 则 即 由,得 . . . . .
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