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2020年福建省宁德市福鼎龙安中学高三数学文模拟试题含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 设,则函数的零点位于区间( )A B C D参考答案:C2. 已知非零向量,满足|=1,且与的夹角为30,则|的取值范围是()A(0,)B,1)C1,+)D,+)参考答案:考点:平面向量数量积的运算专题:平面向量及应用分析:在空间任取一点C,分别作,则,并且使A=30从而便构成一个三角形,从三角形中,便能求出的取值范围解答:解:根据题意,作;,且A=30;过C作CDAB,垂足为D,则CD的长度便是的最小值;在RtCDA中,CA=1,A=30,CD=;的取值范围是,+)故选D点评:把这三个向量放在一个三角形中,是求解本题的关键3. 已知实数x,y满足axay(0a1),则下列关系式恒成立的是AB. C D参考答案:A【知识点】指数函数的图像与性质实数x,y满足axay(0a1),xy,A当xy时,恒成立,B当x=,y=时,满足xy,但不成立C若,则等价为x2y2成立,当x=1,y=1时,满足xy,但x2y2不成立D若,则等价为x2+1y2+1,即x2y2,当x=1,y=1时,满足xy,但x2y2不成立故选:A【思路点拨】本题主要考查不等式的大小比较,利用函数的单调性的性质是解决本题的关键4. 函数有且仅有一个正实数的零点,则实数的取值范围是( )A. B. C. D.参考答案:B5. 已知不等式组表示的平面区域为M,若直线ykx3k与平面区域M有公共点,则k的取值范围是( )A. B. C. D.参考答案:C略6. 设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题是真命题的是()A若m,m,则B若m,则mC若m?,m,则D若m?,则m参考答案:C【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】在A中,与相交或平行;在B中,m或m?;在C中,由面面垂直的判定定理得;在D中,m与相交、平行或m?【解答】解:由m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,知:在A中,若m,m,则与相交或平行,故A错误;在B中,若m,则m或m?,故B错误;在C中,若m?,m,则由面面垂直的判定定理得,故C正确;在D中,若m?,则m与相交、平行或m?,故D错误故选:C7. 已知函数为偶函数,则m+n= ( ) A1 B-1 C2 D-2参考答案:B8. 已知函数,若,则实数的值等于( )A-3 B-1 C1 D3参考答案:A9. 下列函数在定义域中既是奇函数又是增函数的是( )A.B.C.D.参考答案:D10. 下列几个命题: 方程有一个正实根,一个负实根,则a0; 函数是偶函数,但不是奇函数;函数的定义域是-2,2,则函数的定义域为-1,3; 一条曲线和直线y=a(a)的公共点个数是m,则m的值不可能是1.其中真命题的个数是(A)1 (B)2 (C)3 (D)4参考答案:B略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知向量|=l,|=,且?(2+)=1,则向量,的夹角的余弦值为参考答案:【考点】9R:平面向量数量积的运算【分析】利用向量的数量积运算法则和夹角公式即可得出【解答】解:?(2+)=1,化为=故答案为:12. 下列说法: “若,则是锐角三角形”是真命题; “若,则”的逆命题为真命题; ; 函数的最小正周期是; 在ABC中,是的充要条件; 其中错误的是 参考答案:13. 若实数x,y满足不等式组,则z=2|x|+y的最大植为参考答案:11【考点】7C:简单线性规划【分析】将z=2|x|+y转化为分段函数,利用数形结合即可得到结论【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:由,解得B(6,1),由解得C(2,1),当x0时,z=2x+y,即y=2x+z,x0,当x0时,z=2x+y,即y=2x+z,x0,当x0时,平移直线y=2x+z,(红线),当直线y=2x+z经过点A(0,1)时,直线y=2x+z的截距最小为z=1,当y=2x+z经过点B(6,1)时,直线y=2x+z的截距最大为z=11,此时1z11当x0时,平移直线y=2x+z,(蓝线),当直线y=2x+z经过点A(0,1)时,直线y=2x+z的截距最小为z=1,当y=2x+z经过点C(2,1)时,直线y=2x+z的截距最大为z=41=3,此时1z3,综上1z11,故z=2|x|+y的取值范围是1,11,故z的最大值为11,故答案为:1114. 若集合A1,A2满足A1A2=A,则称(A1,A2)为集合A的一种分析,并规定:当且仅当A1=A2时,(A1,A2)与(A2,A1)为集合A的同一种分析,则集合A=a1,a2,a3的不同分析种数是参考答案:27【考点】交、并、补集的混合运算【分析】考虑集合A1为空集,有一个元素,2个元素,和集合A相等四种情况,由题中规定的新定义分别求出各自的分析种数,然后把各自的分析种数相加,利用二次项定理即可求出值【解答】解:当A1=?时必须A2=A,分析种数为1;当A1有一个元素时,分析种数为C31?2;当A1有2个元素时,分析总数为C32?22;当A1=A时,分析种数为C33?23所以总的不同分析种数为1+C31?21+C32?22+C33?23=(1+2)3=27故答案为:2715. 已知函数,则f(x)的最小值是 参考答案:化简:当时,函数取得最小值,最小值是16. 已知三棱柱的侧棱垂直于底面,侧棱与底面边长均为2,则该三棱柱的外接球的表面积为_.参考答案:【分析】先找到球心的位置,然后计算出球的半径,进而求得外接球的表面积.【详解】画出图像如下图所示,设是底面的外心,则球心在其正上方,也即中点的位置.故外接球的半径,故外接球的表面积为.【点睛】本小题主要考查几何体外接球表面积的求法,考查数形结合的数学思想方法,考查空间想象能力,属于中档题.17. 若三个互不相等的实数成等差数列,适当交换这三个数的位置后变成一个等比数列,则此等比数列的公比为 (写出一个即可)参考答案:设三个互不相等的实数为。(d0)交换这三个数的位置后:若是等比中项,则,解得d=0,不符合;若是等比中项则,解得,此时三个数为,公比为2或三个数为,公比为若a+d是等比中项,则同理得到公比为,或公比为所以此等比数列的公比是或三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. (本小题满分12分)某青少年研究中心为了统计某市青少年(18岁以下)2014年春节所收压岁钱的情况进而研究青少年的消费去向,随机抽查了该市60名青少年所收压岁钱的情况,得到如下数据统计表(如图(1):已知“超过2千元的青少年”与“不超过2千元的青少年”人数比恰好为2:3()试确定x,y,p,q的值,并补全频率分布直方图(如图(2))()该机构为了进一步了解这60名青少年压岁钱的消费去向,从“超过2千元的青少年”、“不超过2千元的青少年”中用分层抽样的方法确定10人,若需从这10人中随机选取3人进行问卷调查设为选取的3人中“超过2千元的青少年”的人数,求的分布列和数学期望()若以频率估计概率,从该市青少年中随机抽取15人进行座谈,若15人中“超过2千元的青少年”的人数为,求的期望.参考答案:19. 在直四棱柱ABCD - A1B1C1D1中,已知,E为DC上一点,且.(1)求证:平面;(2)求二面角的正弦值.参考答案:(1)证明见解析;(2)【分析】(1)先证明,再利用线面平行的判定即可得证;(2)建立空间直角坐标系,求出面和面的法向量,利用向量的夹角公式求解即可.【详解】解:(1)证明:由题意可知,且,故四边形为平行四边形,四边形为平行四边形,平面,平面,平面.(2)由已知直四棱柱,且,则两两垂直,如图建立空间直角坐标系:则设面的法向量为,又则,令,可得;设面的法向量为,又则,令,可得,设二面角的平面角的大小为,由图可知为锐角,则,二面角的正弦值为.【点睛】本题考查线面平行的证明,考查向量法求二面角,是中档题.20. 如图,曲线由曲线C1:和曲线C2:组成,其中点F1,F2为曲线C1所在圆锥曲线的焦点,点F3,F4为曲线C2所在圆锥曲线的焦点,(1)若F2(2,0),F3(6,0),求曲线的方程;(2)如图,作直线l平行于曲线C2的渐近线,交曲线C1于点A、B,求证:弦AB的中点M必在曲线C2的另一条渐近线上;(3)对于(1)中的曲线,若直线l1过点F4交曲线C1于点C、D,求CDF1面积的最大值参考答案:【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】(1)由F2(2,0),F3(6,0),可得,解出即可;(2)曲线C2的渐近线为,如图,设点A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),设直线l:y=,与椭圆方程联立化为2x22mx+(m2a2)=0,利用0,根与系数的关系、中点坐标公式,只要证明,即可(3)由(1)知,曲线C1:,点F4(6,0)设直线l1的方程为x=ny+6(n0)与椭圆方程联立可得(5+4n2)y2+48ny+64=0,利用根与系数的关系、弦长公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质即可得出【解答】(1)解:F2(2,0),F3(6,0),解得,则曲线的方程为和(2)证明:曲线C2的渐近线为,如图,设直线l:y=,则,化为2x22mx+(m2a2)=0,=4m28(m2a2)0,解得又由数形结合知设点A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),则x1+x2=m,x1x2=,=,即点M在直线y=上(3)由(1)知,曲线C1:,点F4(6,0)设直线l1的方程为x=ny+6(n0),化为(5+4n2)y2+48ny+64
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