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河北省邯郸市花官营乡屯庄中学2021年高一数学理期末试卷含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 数列an的通项公式为,则an的第5项是( )A13 B13 C15 D15参考答案:B当n=5时,=-13.故选B.2. 若且是,则是 ( )A第一象限角 B 第二象限角 C 第三象限角 D 第四象限角参考答案:C略3. 已知函数f(x)=,函数g(x)=bf(2x),其中bR,若函数y=f(x)g(x)恰有4个零点,则b的取值范围是( )A(,+)B(,)C(0,)D(,2)参考答案:D【考点】根的存在性及根的个数判断【专题】创新题型;函数的性质及应用【分析】求出函数y=f(x)g(x)的表达式,构造函数h(x)=f(x)+f(2x),作出函数h(x)的图象,利用数形结合进行求解即可【解答】解:g(x)=bf(2x),y=f(x)g(x)=f(x)b+f(2x),由f(x)b+f(2x)=0,得f(x)+f(2x)=b,设h(x)=f(x)+f(2x),若x0,则x0,2x2,则h(x)=f(x)+f(2x)=2+x+x2,若0x2,则2x0,02x2,则h(x)=f(x)+f(2x)=2x+2|2x|=2x+22+x=2,若x2,x2,2x0,则h(x)=f(x)+f(2x)=(x2)2+2|2x|=x25x+8即h(x)=,作出函数h(x)的图象如图:当x0时,h(x)=2+x+x2=(x+)2+,当x2时,h(x)=x25x+8=(x)2+,故当b=时,h(x)=b,有两个交点,当b=2时,h(x)=b,有无数个交点,由图象知要使函数y=f(x)g(x)恰有4个零点,即h(x)=b恰有4个根,则满足b2,故选:D【点评】本题主要考查函数零点个数的判断,根据条件求出函数的解析式,利用数形结合是解决本题的关键4. 下列各式不能化简为的是 ( )A BC D参考答案:C略5. 下列各项中,不可以组成集合的是( )A 所有的正数 B 等于的数 C 接近于的数 D 不等于的偶数参考答案:C6. 在ABC中,若,则( )A B C D参考答案:C 解析: 7. 若直线的倾斜角为,则( )A、0B、60?C、90D、180参考答案:B8. 已知函数(,)的最小正周期是,将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后所得的函数图象过点,则函数( )A. 有一个对称中心B. 有一条对称轴C. 在区间上单调递减D. 在区间上单调递增参考答案:B由题,平移后得到的函数是,其图象过点,,因为,,故选B.点睛:本题考查的是的图象及性质.解决本题的关键有两点:一是图象向左平移变换时要弄清是加还是减,是x加减,还是2x加减,另一方面是根据图象过点确定的值时,要结合五点及确定其取值,得到函数的解析式,再判断其对称性和单调性.9. 某大学中文系共有本科生5000人,其中一、二、三、四年级的学生比为5:4:3:1,要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为260的样本,则应抽二年级的学生()A100人B60人C80人D20人参考答案:C【考点】分层抽样方法【分析】要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为260的样本,根据一、二、三、四年级的学生比为5:4:3:1,利用二年级的所占的比数除以所有比数的和再乘以样本容量【解答】解:要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为260的样本,一、二、三、四年级的学生比为5:4:3:1,二年级要抽取的学生是=80故选C10. ( )A B C D参考答案:A二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. (5分)函数的定义域为 参考答案:(2k,2k),kZ考点:函数的定义域及其求法 专题:计算题;函数的性质及应用分析:要使函数有意义,则需2cosx0,由余弦函数的图象和性质,即可得到定义域解答:要使函数有意义,则需2cosx0,即有cosx,则有2kx2k,kZ则定义域为(2k,2k),kZ故答案为:(2k,2k),kZ点评:本题考查函数的定义域的求法,注意对数的真数大于0,考查余弦函数的图象和性质,属于基础题12. 已知数列成等差数列,且,则 参考答案:-略13. 某学生对函数的性质进行研究,得出如下的结论: 函数在上单调递增,在上单调递减;点是函数图像的一个对称中心;函数图像关于直线对称; 存在常数,使对一切实数均成立其中正确的结论是 .参考答案:略14. 设偶函数f(x)的定义域为5,5当x0,5时,f(x)的图象如图,则不等式f(x)0的解集为 参考答案:(2,0)(0,2)先求得不等式f(x)0在0,5上的解集,再根据它的图象关于y轴对称,可得可得不等式f(x)0在5,0上的解集,综合可得结论解:结合函数f(x)在0,5上的图象,可得不等式f(x)0在0,5上的解集为(0,2)再根据f(x)为偶函数,它的图象关于y轴对称,可得可得不等式f(x)0在5,0上的解集为(2,0)综上可得,不等式f(x)0的解集为 (2,0)(0,2),故答案为 (2,0)(0,2)15. 已知一个样本x,1,y,5的平均数为2,方差为5,则xy=参考答案:4【考点】极差、方差与标准差;众数、中位数、平均数【专题】计算题;转化思想;综合法;概率与统计【分析】利用平均数和方差公式列出方程组,由此能求出xy的值【解答】解:一个样本x,1,y,5的平均数为2,方差为5,解得xy=4故答案为:4【点评】本题考查代数式求值,是基础题,解题时要认真审题,注意方差、平均数的性质的合理运用16. 若x, y为非零实数,代数式的值恒为正,对吗?参考答案:对 .17. 如图,在ABCD中,AB3,AD4,ABC60,过BC的中点E作EFAB,垂足为点F,与DC的延长线相交于点H,则DEF的面积是 .参考答案:三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. (本题12分) 如图所示,正三棱柱的底面边长是2,侧棱长是,D是AC的中点。(1) 求证:平面;(2) 求三棱锥的体积。参考答案:(1)证明:连结AB1交A1B于点0,连结OD.因为O、D分别为中点所以OD是ACB1的中位线所以ODCB1又平面,平面所以平面(2)因为正三棱柱的底面边长是2,侧棱长是,D是AC的中点。所以,所以=略19. 对于两个定义域相同的函数f(x),g(x),若存在实数m、n使h(x)=mf(x)+ng(x),则称函数h(x)是由“基函数f(x),g(x)”生成的(1)若f(x)=x2+3x和个g(x)=3x+4生成一个偶函数h(x),求h(2)的值;(2)若h(x)=2x2+3x1由函数f(x)=x2+ax,g(x)=x+b(a、bR且ab0)生成,求a+2b的取值范围;(3)试利用“基函数f(x)=log4(4+1)、g(x)=x1”生成一个函数h(x),使之满足下列件:是偶函数;有最小值1;求函数h(x)的解析式并进一步研究该函数的单调性(无需证明)参考答案:【考点】奇偶性与单调性的综合;函数的单调性及单调区间;函数的值【专题】计算题;新定义【分析】(1)先用待定系数法表示出偶函数h(x),再根据其是偶函数这一性质得到引入参数的方程,求出参数的值,即得函数的解析式,代入自变量求值即可(2)先用待定系数法表示出偶函数h(x),再根据同一性建立引入参数的方程求参数,然后再求a+2b的取值范围;(3)先用待定系数法表示出函数h(x),再根据函数h(x)的性质求出相关的参数,代入解析式,由解析研究出其单调性即可【解答】解:(1)设h(x)=m(x2+3x)+n(3x+4)=mx2+3(m+n)x+4n,h(x)是偶函数,m+n=0,h(2)=4m+4n=0;(2)设h(x)=2x2+3x1=m(x2+ax)+n(x+b)=mx2+(am+n)x+nb得a+2b=由ab0知,n3,a+2b(3)设h(x)=mlog4(4x+1)+n(x1)h(x)是偶函数,h(x)h(x)=0,即mlog4(4x+1)+n(x1)mlog4(4x+1)n(x1)=0(m+2n)x=0得m=2n则h(x)=2nlog4(4x+1)+n(x1)=2nlog4(4x+1)=2nlog4(2x+)+h(x)有最小值1,则必有n0,且有2n=1m=1n=h(x)=log4(2x+)+h(x)在0,+)上是增函数,在(,0上是减函数【点评】本题考点是函数的奇偶性与单调性综合,考查了利用偶函数建立方程求参数以及利用同一性建立方程求参数,本题涉及到函数的性质较多,综合性,抽象性很强,做题时要做到每一步变化严谨,才能保证正确解答本题20. 在四棱锥PABCD中,底面ABCD为矩形,PA面ABCD,PA=AD=4,AB=2,以AC为直径的球面交PD于M点(I)求证:面ABM面PCD;(II)求点D到平面ACM的距离参考答案:【考点】点、线、面间的距离计算;平面与平面垂直的判定【分析】(I)推导出PAAB,ABAD,从而ABPD,由BMD=90,得PDBM,从而PD平面ABM,由此能证明平面ABM平面PCD(II)设h为D到面ACM的距离,由VMACD=VDACM,能求出D到面ACM的距离【解答】(本小题12分)证明:(I)PA平面ABCD,AB?平面ABCD,PAAB,又ABAD,PAAD=A,AB平面PAD,ABPD,以AC为直径的球面交PD于M点,底面ABCD为矩形,由题意得BMD=90,PDBM,又ABBM=B,PD平面ABM,又PD?平面PCD,平面ABM平面PCD解:(II)依题设知,AC是所作球面的直径,则AMMC又PA平面ABCD,则PAC
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