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2021年广东省汕头市潮阳五南中学高三数学理模拟试卷含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 已知f(x)是定义域为(,+)的奇函数,满足f (1x)= f (1+x)若f(1)=2,则f(1)+ f(2)+ f(3)+f(50)=A50B0C2D50参考答案:C因为f(x)是定义域为(,+)的奇函数,且 ,所以 ,因此 ,因为 ,所以 , ,从而 ,选C.2. 设向量,定义一运算:,已知,点Q在的图像上运动,且满足 (其中O为坐标原点),则的最大值及最小正周期分别是( )A B C D参考答案:B略3. 某食品的保鲜时间(单位:小时)与储存温度(单位:)满足函数关系(为自然对数的底数,为常数),若该食品在的保鲜时间是小时,在的保鲜时间是小时,则该食品在的保鲜时间是( )小时.A B C D参考答案:D4. 若集合,则A. B. C. D. 参考答案:5. 执行如图所示的程序框图,如果随机输入的t2,2,则事件“输出的S(1,7”发生的概率为()ABCD参考答案:B【分析】根据程序框图,分析程序的功能,结合输出自变量的范围条件,利用函数的性质即可得到输出S3,1(2,10,区间长为10,即可求出概率【解答】解:若0t2,则不满足条件输出S=t33,1,若2t0,则满足条件,此时t=2t2+2(2,10,此时不满足条件,输出S3,1(2,10,区间长为10,事件“输出的S(1,7”发生的概率为=故选B6. 已知,则( )(A)(B) (C)(D)参考答案:C略7. 不等式组表示的平面区域为( )A四边形及内部 B等腰三角形及内部C在第一象限内的一个无界区域 D不含第一象限内的点的一个有界区域参考答案:B8. 已知MOD函数是一个求余函数,其格式为MOD(n,m),其结果为n除以m的余数,例如MOD(8,3)=2下面是一个算法的程序框图,当输入的值为36时,则输出的结果为()A4B5C6D7参考答案:D【考点】EF:程序框图【分析】模拟执行程序框图,根据题意,依次计算MOD(n,i)的值,由题意N*,可得i=2,3,4,6,9,12,18,共要循环7次,从而得解【解答】解:模拟执行程序框图,可得:n=36,i=2,MOD(36,2)=0,j=1,i=3满足条件in,MOD(36,3)=0,j=2,i=4满足条件in,MOD(36,4)=0,j=3,i=5满足条件in,MOD(36,5)=1,i=6N*,可得i=2,3,4,6,9,12,18,共要循环7次,故j=7故选:D【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图,依次正确写出每次循环得到的MOD(n,i)的值是解题的关键,属于基础题9. 函数的图像可能是( ) 参考答案:B略10. 已知函数的部分图像如图,当 ,满足的的值为 ( ) A B C D 参考答案:D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知动点P在棱长为1的正方体的表面上运动,且线段,记点P的轨迹长度为.给出以下四个命题:;函数在上是增函数,在上是减函数.其中为真命题的是(写出所有真命题的序号)参考答案:本题考查空间几何体的结构特征,点的轨迹.如图所示,当时,所以,即正确;当时,如图,求得,所以,所以,即错误;,即错误;而,所以函数在上是增函数,在上是减函数,即正确;所以真命题的是.12. 已知向量、满足,则_.参考答案:5略13. 参考答案:x=0或x=略14. 已知则的值等于_ 参考答案:略15. 三棱锥中,平面且,是边长为的等边三角形,则该三棱锥外接球的表面积为 参考答案:16. = _.参考答案:217. 已知命题: 。参考答案:三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. (本小题满分14分)已知函数.求函数的零点及单调区间;求证:曲线存在斜率为6的切线,且切点的纵坐标.参考答案:(1)的单调递减区间为,单调递增区间为(2)见解析【知识点】导数的综合运用利用导数研究函数的单调性【试题解析】(1)函数的定义域为令,得,故的零点为()令 ,解得 当变化时,的变化情况如下表:所以 的单调递减区间为,单调递增区间为(2)令则因为 ,且由(1)得,在内是减函数,所以 存在唯一的,使得当时,所以 曲线存在以为切点,斜率为6的切线由得:所以 因为 ,所以 ,所以 19. 如图所示,一座小岛距离海岸线上最近的点的距离是,从点沿海岸正东处有一个城镇。假设一个人驾驶的小船的平均速度为,步行的速度是,用(单位:)表示他从小岛到城镇的时间,(单位:)表示此人将船停在海岸处距点的距离。(1)请将表示为的函数.(2)将船停在海岸处距点多远时从小岛到城镇所花时间最短?最短时间是多少?解:参考答案:(1) (2) 时,最小,且最短时间为.解析:解:(1) 5分(2) 7分 , 令得. 9分 当时,单调递减; 当时,单调递增. 11分 故当时,最小,且最短时间为. 13分略20. 本题满分12分) 如图,三棱锥ABPC中,APPC,ACBC,M为AB中点,D为PB中点,且PMB为正三角形()求证:DM/平面APC;()求 证:平面ABC平面APC;()若BC=4,AB=20,求三棱锥DBCM的体积参考答案:本题满分12分) 解:()M为AB中点,D为PB中点, MD/AP, 又MD平面ABC DM/平面APC 3分 ()PMB为正三角形,且D为PB中点。MDPB又由()知MD/AP, APPB又已知APPC AP平面PBC,APBC, 又ACBCBC平面APC, 平面ABC平面PAC 8分()AB=20MB=10 PB=10又BC=4,又MDVD-BCM=VM-BCD=12分21. (本小题满分12分)某学校为准备参加市运动会,对本校甲、乙两个田径队中30名跳高运动员进行了测试,并用茎叶图表示出本次测试30人的跳高成绩(单位:cm)跳高成绩在175cm以上(包括175cm)定义为“合格”,成绩在175cm以下(不包括175cm)定义为“不合格” 鉴于乙队组队晚,跳高成绩相对较弱,为激励乙队队员,学校决定只有乙队中“合格”者才能参加市运动会开幕式旗林队()求甲队队员跳高成绩的中位数; ()如果用分层抽样的方法从甲、乙两队所有的运动员中共抽取5分,则5人中“合格”与“不合格”的人数各为多少()若从所有“合格”运动员中选取2名,用X表示所选运动员中能参加市运动会开幕式旗林队的认输,试写出X的分布列,并求X的数学期望参考答案:()中位数cm. .2分()根据茎叶图,有“合格”12人,“不合格”18人,用分层抽样的方法,每个运动员被抽中的概率是,所以选中的“合格”有人, .4分“不合格”有人 .6分()依题意,X的取值为则,因此,X的分布列如下:XP .10分 .12分备注:一个概率1分,表格1分,共4分22. 已知函数.(1)当时,判断是否为的极值点,并说明理由;(2)记.若函数存在极大值,证明:.参考答案:(1)由,可得,故 不是的极值点.理由如下:记,则.由,解得;由,解得, 所以在单调递减,在单调递增,故,即在恒单调递增,故不是的极值点(2)依题意,则时,在恒成立,在恒成立,所以在上先减后增,故在上有极小值,无极大值,应舍去时,在恒成立,在恒成立,所以在上先减后增,故在上有极小值,无极大值,应舍去时,由得和,大于小于大于单调递增单调递减单调递增因为,故有下列对应关系表:故,记,因为在上单调递减,所以当时,因为,故大于小于大于单调递增单调递减单调递增故,设,记,则,令得和(舍去),小于大于单调递减单调递增故
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