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浙江省丽水市龙泉育才中学高三数学理上学期期末试题含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 函数的定义域为,则的定义域为( )ABC D参考答案:A2. 已知函数f(x)=,则f(f(2)等于()AB2C1D1参考答案:A【考点】对数的运算性质;函数的值【分析】先由解析式求得f(2),再求f(f(2)【解答】解:f(2)=,f(1)=21=,所以f(f(2)=f(1)=,故选A3. 已知双曲线x2=1与抛物线y2=8x的准线交于点P,Q,抛物线的焦点为F,若PQF是等边三角形,则双曲线的离心率为()ABCD参考答案:B【考点】双曲线的简单性质【分析】由题意,x=2,等边三角形的边长为,将(2,)代入双曲线,可得方程,即可求出m的值【解答】解:由题意,x=2,等边三角形的边长为,将(2,)代入双曲线,可得=1,故选:B4. 在的展开式中,所有项的二项式系数和为4096,则其常数项为 A. B. C. D.参考答案:A5. 设全集U=R,集合A=x|x2+x0,则集合Cu A= ( ) A-1,0 B(-1,0) C(-,-1 0,+)D0,1参考答案:B略6. 下列四个函数中,在(0,1)上为增函数的是 ( ) A B C D参考答案:B7. 记集合, M=,将M中的元素按从大到小排列,则第2013个数是( )A. B. C. D. 参考答案:A8. 已知集合,集合,则等于ABCD参考答案:B略9. ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若cos A,则ABC为A钝角三角形 B直角三角形 C锐角三角形 D等边三角形参考答案:A10. 已知函数则满足不等式的的取值范围为( )A. B. (-3,1) C. -3,0) D. (-3,0)参考答案:D当时,满足,无解;当时,满足,解得;当时,满足,解得.综上可知,的范围为.二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 过点(-1,2)的直线l被圆 截得的弦长为,则直线l的斜率为_。参考答案:本题主要考查了直线与圆的位置关系以及圆心距与弦长之间的关系.同时也考查了理解能力、应用能力和转化与化归的数学思想.属中等题。设直线方程为:,又因为圆是以(1,1)为圆心1为半径的圆,弦长为,所以.12. 数列an满足,则an=参考答案:【考点】8H:数列递推式【分析】由题意可知数列是以为首项,以5为公差的等差数列,根据等差数列通项公式即可求得=,即可求得an【解答】解:由=5, =,则数列是以为首项,以5为公差的等差数列,=+5(n1)=,an=,数列an的通项公式为:an=,故答案为:13. 抛物线上的动点到两定点(0,-1)、(1,-3)的距离之和的最小值为_.参考答案:414. 若函数()的图像过定点,点在曲线 上运动,则线段中点轨迹方程是 参考答案:15. 函数f(x)Asin(x)(A,为常数,A0,0,0)的图象如下图所示,则f()的值为 参考答案:16. 在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知。若,则_.参考答案:略17. 函数的部分图像如图所示, .参考答案:三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 已知曲线C的极坐标方程是=1,以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为为参数)(1)写出直线l与曲线C的直角坐标方程;(2)设曲线C经过伸缩变换得到曲线C,设曲线C上任一点为M(x,y),求的最小值参考答案:【考点】QH:参数方程化成普通方程;O7:伸缩变换;Q4:简单曲线的极坐标方程;Q8:点的极坐标和直角坐标的互化【分析】(1)利用2=x2+y2,将=1转化成直角坐标方程,然后将直线的参数方程的上式化简成t=2(x1)代入下式消去参数t即可;(2)根据伸缩变换公式求出变换后的曲线方程,然后利用参数方程表示出曲线上任意一点,代入,根据三角函数的辅助角公式求出最小值【解答】解:(1)直线l的参数方程为为参数)由上式化简成t=2(x1)代入下式得根据2=x2+y2,进行化简得C:x2+y2=1(2)代入C得设椭圆的参数方程为参数)则则的最小值为419. 设函数f(x)=lnx+x()在f(x)=lnx+x(0x2)图象上任意一点P(x0,y0)处切线的斜率k恒成立,求实数a的取值范围;()不等式f(x)a+1,对x1,+)恒成立,求实数a的取值范围参考答案:【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性【分析】()求出函数的导数,问题转化为a,x0(0,2,根据二次函数的性质求出a的范围即可;()求出函数f(x) 的导数,令g(x)=x2+xa,(x1),通过讨论a的范围,求出函数的单调区间,结合函数的单调性求出a的范围即可【解答】解:()依题意,知f(x)的定义域为(0,+),f(x)=+1,x(0,2,则有k=f(x0)=,在x0(0,2上恒成立,所以a,x0(0,2,当x0=2时, +x0取得最大值4,所以a4;()由不等式f(x)a+1,对x1,+)恒成立,f(x)=,令g(x)=x2+xa,(x1),则g(x)是x1,+)上的增函数,即g(x)2a,当a2时,g(x)0,所以f(x)0,因此f(x)是x1,+)上的增函数,则f(x)f(1)=0,因此a2时,不等式成立; 当a2时,即对x1,+),f(x)=0时,g(x)=0,求得x1=,(由于x1,所以舍去x2=1)当x1,)时,f(x)0,则f(x)是x1,)上的减函数,当x,+)时,f(x)0,则f(x)是x(,+)上的增函数,所以当x(1,)时,f(x)f(1)=0,因此a2时,不等式不成立;综合上述,所求范围是a2【点评】本题考查了函数的单调性问题,考查导数的应用以及函数恒成立问题,是一道中档题20. 已知椭圆的左顶点为,离心率为(1)求椭圆C的方程;(2)过点的直线l交椭圆C于A,B两点,当取得最大值时,求的面积参考答案:(1);(2)【分析】(1)由左顶点M坐标可得a=2,再由可得c,进而求得椭圆方程。(2)设l的直线方程为,和椭圆方程联立,可得,由于,可用t表示出两个交点的纵坐标 和,进而得到的关于t的一元二次方程,得到取最大值时t的值,求出直线方程,而后计算出的面积。【详解】(1) 由题意可得:,得,则.所以椭圆的方程: (2) 当直线与轴重合,不妨取,此时当直线与轴不重合,设直线的方程为:,设,联立得,显然,.所以当时,取最大值.此时直线方程为,不妨取,所以.又,所以的面积【点睛】本题考查椭圆的基本性质,运用了设而不求的思想,将向量和圆锥曲线结合起来,是典型考题。21. 选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系中以为极点,轴正半轴为极轴建立坐标系.圆,直线的极坐标方程分别为.(I)(II)参考答案:(I)圆C的直角坐标方程为 直线C的直角坐标方程为x+y-4=0. 解 所以交点的极坐标为,注:极坐标系下点的表示不唯一.(II)(II)由(I)可得,P点与Q点的直角坐标分别为(0,2),(1,3).故直线PQ的直角坐标方程为x-y+2=0.由参数方程可得y=.所以 解得,22. (14分)如图,在三棱锥PABC中,ABBC,ABBCkPA,点O、D分别是AC、PC的中点,OP底面ABC()求证:OD平面PAB;()当k时,求直线PA与平面PBC所成角的大小; () 当k取何值时,O在平面PBC内的射影恰好为PBC的重心?参考答案:解析:解法一()O、D分别为AC、PC的中点:ODPA,又AC平面PAB,OD平面PAB.()ABBC,OA=OC,OA=OC=OB,又OP平面ABC,PA=PB=PC.取BC中点E,连结PE,则BC平面POE,作OFPE于F,连结DF,则OF平面PBCODF是OD与平面PBC所成的角.又ODPA,PA与平面PBC所成角的大小等于ODF.在RtODF中,sinODF=,PA与平面PBC所成角为arcsin()由()知,OF平面PBC,F是O在平面PBC内的射影.D是PC的中点,若F是PBC的重心,则B、F、D三点共线,直线OB在平面PBC内的射影为直线BD,OBPC.PCBD,PB=BC,即k=1.反之,当k=1时,三棱锥O-PBC为正三棱锥,O在平面PBC内的射影为PBC的重心.解法二:OP平面ABC,OA=OC,AB=BC,OAOB,OAOP,OBOP.以O为原点,射线OP为非负x轴,建立空间坐标系O-xyz如图),设AB=a,则A(a,0,0).B(0, a,0),C(-a,0,0).设OP=h,则P(0,0,h). ()D为PC的中点,又,OD平面PAB.()k=则PA=2a,h=可求得平面PBC的法向量cos.设PA与平面PBC所成角为,刚sin=|cos()|=.PA与平面PBC所成的角为arcsin.()PBC的重心G(),=().OG平面PBC,又,h=,PA=,即k=1,反之,当k=1时,三棱锥O-PBC为正三棱锥.O为平面PBC内的射影为PBC的重心.
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