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浙江省台州市仙居县白塔中学2021年高二数学文下学期期末试卷含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 已知曲线y=x2+2x2在点M处的切线与x轴平行,则点M的坐标是()A(1,3)B(1,3)C(2,3)D(2,3)参考答案:B【考点】6H:利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】设出M(m,n),求出导数,求得切线的斜率,由题意可得2m+2=0,解得m,进而得到n,即可得到切点坐标【解答】解:y=x2+2x2的导数为y=2x+2,设M(m,n),则在点M处的切线斜率为2m+2,由于在点M处的切线与x轴平行,则2m+2=0,解得m=1,n=122=3,即有M(1,3)故选B【点评】本题考查导数的运用:求切线的斜率,同时考查两直线平行的条件,正确求导是解题的关键2. 已知a,b为两个单位向量,那么( ) A. ab B.若ab,则ab C. ab1 D. a2b2参考答案:D3. 双曲线的两条渐近线所成的锐角是( ) A30 B45 C60 D75参考答案:C4. 设A,B为椭圆+=1(ab0)的长轴两端点,Q为椭圆上一点,使AQB=120,则椭圆离心率e的取值范围为()A,1)B,1)C(0,D(0,参考答案:B【考点】椭圆的简单性质【分析】由题意可知:则tanAQB=,即=,求得=,由y0=a2(1),代入求得y0,由0y0b,代入即可求得椭圆离心率e的取值范围【解答】解:由对称性不防设Q在x轴上方,Q坐标为(x0,y0),则tanAQB=,即=,整理得: =,Q在椭圆上,即y0=a2(1),代入得y0=,0y0b,0b,由b2=a2c2,化简整理得:3e4+4e240,解得:e2,或e2(舍去),由0e1,e1,故选B5. 已知直线l1:4x3y+6=0和直线l2:x=1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )AB2CD3参考答案:B【考点】点到直线的距离公式【专题】计算题【分析】设出抛物线上一点P的坐标,然后利用点到直线的距离公式分别求出P到直线l1和直线l2的距离d1和d2,求出d1+d2,利用二次函数求最值的方法即可求出距离之和的最小值【解答】解:设抛物线上的一点P的坐标为(a2,2a),则P到直线l2:x=1的距离d2=a2+1;P到直线l1:4x3y+6=0的距离d1=则d1+d2=a2+1=当a=时,P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2故选B【点评】此题考查学生灵活运用抛物线的简单性质解决实际问题,灵活运用点到直线的距离公式化简求值,是一道中档题6. 点P是曲线x2y2ln=0上任意一点,则点P到直线4x+4y+1=0的最小距离是()ABCD参考答案:B【考点】导数的运算;两条直线平行的判定;两条平行直线间的距离【分析】求出函数的导函数,令导函数等于已知直线的斜率求出x的值,即与直线4x+4y+1=0平行的切线的切点横坐标,代入曲线方程求出切点坐标,利用点到直线的距离公式求出切点到直线的距离,即最小距离【解答】解:即又4x+4y+1=0即为y=x令得与直线4x+4y+1=0平行的切线的切点为点P到直线4x+4y+1=0的最小距离是故选B7. 双曲线C:=1(a0,b0)的离心率为2,焦点到渐近线的距离为,则C的焦距等于( )A2B2C4D4参考答案:C【考点】双曲线的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式,建立方程组即可得到结论【解答】解:=1(a0,b0)的离心率为2,e=,双曲线的渐近线方程为y=,不妨取y=,即bxay=0,则c=2a,b=,焦点F(c,0)到渐近线bxay=0的距离为,d=,即,解得c=2,则焦距为2c=4,故选:C【点评】本题主要考查是双曲线的基本运算,利用双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式,建立方程组是解决本题的关键,比较基础8. 若是奇函数,在()内是增函数,则不等式的解集( ) A B C D参考答案:A9. 在中,则( )A、 B. C. D. 参考答案:A试题分析:,选A.考点:余弦定理【名师点睛】1选用正弦定理或余弦定理的原则在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更适合,或是两个定理都要用,要抓住能够利用某个定理的信息2(1)运用余弦定理时,要注意整体思想的运用(2)在已知三角形两边及其中一边的对角,求该三角形的其它边角的问题时,首先必须判断是否有解,如果有解,是一解还是两解,注意“大边对大角”在判定中的应用10. 已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P,使ABP的最大边是AB”发生的概率为,则等于( )A B C D 参考答案:D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设A是双曲线=1(a0,b0)在第一象限内的点,F为其右焦点,点A关于原点O的对称点为B,若AFBF,设ABF=,且,则双曲线离心率的取值范围是参考答案:, +1【考点】双曲线的简单性质【分析】先求出e2=,再根据,即可求出双曲线离心率的取值范围【解答】解:设左焦点为F,令|AF|=r1,|AF|=r2,则|BF|=|FA|=r2,r2r1=2a,点A关于原点O的对称点为B,AFBF,|OA|=|OB|=|OF|=c,=4c2,r1r2=2(c2a2)SABF=2SAOF,r1r22?c2sin2,r1r22c2sin2c2sin2=c2a2e2=,sin2,e2=e, +1故答案为:, +112. (文科)如图,二面角的大小是60,线段., 与所成的角为30.则与平面所成的角的正弦值是 参考答案:略13. 已知数列an的前n项和,那么它的通项公式为an=_ 参考答案: 14. 已知四棱椎PABCD的底面是边长为6 的正方形,侧棱底面,且,则该四棱椎的体积是 。 参考答案:96略15. 设数列的前n项和为,令=,称为数列a1,a2,an的“理想数”,已知数列a1,a2,a100的“理想数”为101,那么数列2,a1,a2,a100的“理想数”为_。参考答案:10216. 已知直线与圆相切,且在轴、轴上的截距相等,则直线的方程为_.参考答案:17. 观察下列各式:941=3604345=1220655=3025883=6424732=2106根据规律,计算(574)(745)= 参考答案:708 三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. (本小题满分14分)在中,()证明:; ()若,求的值参考答案:19. (本题满分16分)已知函数,其中(1)判断并证明在上的单调性;(2)若存在,使,则称为函数的不动点,现已知该函数有且仅有一个不动点,求实数的值,并求出不动点;(3)若存在使成立 , 求实数的取值范围参考答案:解:(1)在上增函数 2分证明:,设 ,函数在上单调递增5分(2)令, 令(负值舍去) 7分将代入得 10分(3)由题意存在使成立,即 存在使成立,也就要存在使成立,化简得 , 13分由于,时取等号所以且解得16分20. (1)求y=x+(x-2)的最小值(2)已知(x,y均为正),求x+y的最小值参考答案:(1)y=x+2+-20 当且仅当x=-1时,ymin=0(2)x+y=(x+y) 当且仅当x=4,y=12时,x+y最小值为16略21. 求不等式ax1a2x(aR)的解集参考答案:解:将原不等式化为(a1)xa21.当a10,即a1时,xa1.当a10,即a1时,xa1.当a10,即a1时,不等式无解综上所述,当a1时,不等式的解集为x|xa1; 当a1时,不等式的解集为x|xa1;当a1时,不等式的解集为?.略22. 已知椭圆的两焦点、,离心率为,直线: 与椭圆交于两点,点在轴上的射影为点()求椭圆的标准方程;()求直线的方程,使的面积最大,并求出这个最大值参考答案:解:()设椭圆方程为,则 1分 , 3分所以,所求椭圆方程为: 4分()解法一:由得:, 6分 8分 10分当且仅当即时取等号, 11分此时,直线的方程为:,的面积的最大值为12分解法二:利用导数求的最值.解法三:设,则 当且仅当时取等号,此时.解法四:利用三角代换求的最值,设,.略
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