典例 6(12 分)(2019 全国 )已知函数 f(x)sin xln(1x)， f(x)为 f(x)的导数，证明：(1)f(x)在区间1，2上存在唯一极大值点；(2)f(x)有且仅有2 个零点 .审题路线图1 设 g x f x 对 g x 求导 得出 g x 的单调性，得证2 对 x 进行讨论 分四个区间1，0， 0，2，2， ， ，根据用导数判断函数单调性来确定零点个数规 范 解 答 分 步 得 分构 建 答题 模 板证明(1)设 g(x)f(x)，则 g(x) cos x11x，g(x) sin x11x2. 2 分当 x 1，2时， g (x)单调递减， 3 分而 g(0)0，g20；当 x ，2时， g (x)0. 所以 g(x)在 (1， )上单调递增，在 ，2上单调递减， 4 分故 g(x)在 1，2上存在唯一极大值点，即 f(x)在 1，2上存在唯一极大值点. 5 分(2)f(x)的定义域为 (1， ). 6 分第一步求导数： 对复杂函数性质的讨论，可通过二次求导 . 第二步看性质： 通过导函数的符号确定函数的单调性，结合草图分析函数当 x(1,0时，由 (1)知， f(x)在 (1,0)上单调递增 .而 f(0)0，所以当 x(1,0)时， f (x)0，故 f(x)在(1,0)上单调递减 . 又 f(0)0，从而 x0 是 f(x)在(1,0上的唯一零点；7 分当 x 0，2时，由 (1)知，f(x)在(0， )上单调递增，在 ，2上单调递减，而 f(0)0，f20；当 x ，2时， f(x)0，所以当 x0，2时， f(x)0. 从而， f(x)在 0，2上没有零点； 9 分当 x2， 时， f(x)0，f( )1，所以 f(x)0，从而 f(x)在( ， )上没有零点 . 11 分综上， f(x)有且仅有2 个零点 . 12 分的零点、极值等性质 . 第三步找联系： 寻找要求结论和函数性质的联系，通过所得函数性质解决所求问题 . 第四步规范答： 审视思路，规划并书写规范步骤 . 评分细则第(1)问：对函数f(x)两次求导给2 分；判断出新函数g(x)的单调性给1 分；确定 g(x)存在唯一极大值点给1 分；结论给1 分. 第(2)问：求出f(x)定义域给1 分；确定区间(1,0上的零点个数给1 分；确定区间0，2上的零点个数给2 分，确定区间2，上的零点个数给1 分；确定区间( ， )上的零点个数给 1 分；结论给1 分. 线也是曲线yex的切线 .