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广东省肇庆市鼎湖中学2021年高三数学理模拟试题含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. (文)已知变量x,y具有线性相关关系,测得一组数据如下:(2,30),(4,40),(5,60),(6,50),(8,70),若所求的回归直线的斜率为6.5,则在这些样本点中任取一点,它在回归直线上方的概率为A.B.C.D.参考答案:A2. 已知,设函数的最大值为M,最小值为N,那么()A. 2020B. 2019C. 4040D. 4039参考答案:D【分析】通过分离分子可得,计算可得,利用函数的单调性计算可得结果【详解】解:,又是上的增函数,故选D【点睛】本题考查函数的单调性的判断和运用,注意解题方法的积累,考查运算能力,属于中档题3. 在平面直角坐标系中,直线与圆相交于两点,则弦的长等于( ) 参考答案:A略4. 已知集合,则()A B C D参考答案:B【知识点】集合的运算解:所以。故答案为:B5. 设A=,B=,从集合A到集合B的映射中,满足的映射有( )A.27个B.9个 C.21个D.12个参考答案:C6. 如果复数(其中为虚数单位,为实数)的实部和虚部互为相反数,那么= ( )A. B. C. D. 2 参考答案:C略7. 已知函数f(x)=cos(x+)(0,0)的最小正周期为,且f(x)+f(x)=0,若tan=2,则f()等于()ABCD参考答案:B【考点】三角函数的周期性及其求法;余弦函数的奇偶性【分析】依题意,可求得=,f(x)=cos(2x+)=sin2xtan=2?f()=sin2=,从而可得答案【解答】解:由=得:=2,又f(x)+f(x)=0,f(x)=cos(2x+)为奇函数,=k+,而0,=,f(x)=cos(2x+)=sin2x,tan=2,f()=sin2=,故选:B8. 已知全集为R,集合,则A?RB=( )Ax|x0Bx|2x4Cx|0x2或x4Dx|0x2或x4参考答案:C【考点】其他不等式的解法;交、并、补集的混合运算 【专题】计算题;不等式的解法及应用【分析】利用指数函数的性质可求得集合A,通过解一元二次不等式可求得集合B,从而可求得ACRB【解答】解:1=,x0,A=x|x0;又x26x+80?(x2)(x4)0,2x4B=x|2x4,?RB=x|x2或x4,A?RB=x|0x2或x4,故选C【点评】本题考查指数函数的性质与元二次不等式,考查交、并、补集的混合运算,属于中档题9. 已知集合,集合,则=ABCD参考答案:D略10. 已知x,yR,i是虚数单位,且(2x+i)(1i)=y,则y的值为()A1B1C2D2参考答案:D【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出【解答】解:y=(2x+i)(1i)=2x+1+(12x)i,解得y=2故选:D【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等,考查了计算能力,属于基础题二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数,则_;参考答案:-4略12. 若双曲线的一个焦点为(4,0),则双曲线的渐近线方程为参考答案:y=x考点:双曲线的简单性质.专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程分析:根据双曲线方程算出c=,结合一个焦点为(4,0)解关于a的方程得a=4,再由双曲线渐近线方程的公式即可求出该双曲线的渐近线方程解答:解:双曲线的方程为,c=又双曲线的一个焦点为(4,0),c=4,即=4,解之得a=4(2舍负)因此双曲线方程为,得a=b=4双曲线的渐近线方程为y=,即y=x故答案为:y=x点评:本题给出含有字母参数的双曲线方程,在已知焦点坐标的情况下求双曲线的渐近线,着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识,属于基础题13. 等腰三角形底角的正切值为,则顶角的正切值等于 参考答案:14. (5分)已知矩形ABCD的边AB=a,BC=3,PA平面ABCD,若BC边上有且只有一点M,使PMDM,则a的值为参考答案:1.5【考点】: 直线与平面垂直的判定【分析】: 连结AM,根据条件,要使PMMD,则DM面PAM,即DMAM即可然后利用圆的性质,只要保证以AB为直径的圆和BC相切即可解:PA平面ABCD,PADM,若BC边上存在点M,使PMMD,则DM面PAM,即DMAM,以AD为直径的圆和BC相交即可AD=BC=3,圆的半径为3,要使线段BC和半径为3的圆相切,则AB=1.5,即a=1.5,a的值是1.5故答案为:1.5【点评】: 本题主要考查线面垂直的性质的应用,将线面垂直转化为直线垂直进而利用圆的性质是解决本题的关键15. 已知的定义域为是奇函数且是减函数,若,那么实数的取值范围是 。参考答案:略16. 已知直线l过点,且与曲线相切,则直线的方程为_。参考答案:略17. 已知,则的夹角为 .参考答案: 三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 己知抛物线的顶点M到直线(t为参数)的距离为1(I)求m:(II)若直线与抛物线相交于A,B两点,与y轴交于N点,求的值参考答案:略19. (本小题满分12分)某校在规划课程设置方案的调研中,随机抽取50名文科学生,调查对选做题倾向得下表:()从表中三种选题倾向中,选择可直观判断“选题倾向与性别有关系”的两种,作为选题倾向变量的取值,分析有多大的把握认为“所选两种选题倾向与性别有关系”.(只需要做出其中的一种情况)()按照分层抽样的方法,从倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的学生中抽取8人进行问卷.()分别求出抽取的8人中倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的人数;()若从这8人中任选3人,记倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的人数的差为,求的分布列及数学期望.参考答案:()可直观判断:倾向“坐标系与参数方程”或倾向“不等式选讲”,与性别无关;倾向“坐标系与参数方程”或倾向“平面几何选讲”,与性别有关;倾向“平面几何选讲”或倾向“不等式选讲”,与性别有关. (正确选择一组变量并指出与性别有关即给1分) 1分选择一:选择倾向“平面几何选讲”和倾向“坐标系与参数方程”作为选题倾向变量的值.作出如下22列联表:平面几何选讲坐标系与参数方程合计男生16420女生4812合计2012322分由上表,可直观判断: 因为 , 4分所以可以有99%以上的把握,认为“坐标系与参数方程和平面几何选讲这两种选题倾向与性别有关”. 6分选择二:选择倾向“平面几何选讲”和倾向“不等式选讲”作为分类变量的值.作出如下22列联表:平面几何选讲不等式选讲合计男生16622女生41216合计201838 2分因为, 4分所以可以有99.9%以上的把握,认为“不等式选讲和平面几何选讲这两种选题倾向与性别有关”. 6分()()倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的人数比例为20:125:3,所以抽取的8人中倾向“平面几何选讲”的人数为5,倾向“坐标系与参数方程”的人数为3. 7分()依题意,得, 8分 , , . 10分故的分布列如下:3113所以. 12分20. 在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为2cos(+),直线l的参数方程为 (t为参数),直线l和圆C交于A,B两点,P是圆C上不同于A,B的任意一点.(1)求圆心的极坐标;(2)求PAB面积的最大值.参考答案:(1)圆C的普通方程为x2y22x2y0,即(x1)2(y1)22.所以圆心坐标为(1,1),圆心极坐标为 ;(2)直线l的普通方程:2 xy10,圆心到直线l的距离d ,所以|AB| ,点P到直线AB距离的最大值为rd ,Smax. 21. 已知对函数总有意义,函数在1,+)上是增函数;若命题“”为真,“”为假,求a的取值范围.参考答案:解:当p为真时,解得,当q为真时,在上恒成立,即对恒成立,所以,当真假 :当假真:,综上,或或.22. 四棱锥PABCD的底面ABCD是直角梯形,DAB=ABC=90,PA底面ABCD,PA=AD=2,BC=AB=1,E为PD的中点()求证:CE平面PAB;()求PA与平面ACE所成角的正弦值参考答案:【考点】直线与平面所成的角;直线与平面平行的判定【专题】转化思想;分析法;空间位置关系与距离;空间角【分析】(1)要证CE平面PAB,只要证明CE平行于平面PAB内的一条直线即可,由E为PD的中点,可联想找PA的中点F,连结EF、BF后,证明BCEF是平行四边形即可证得答案;()取AD的中点G,连接EG,则EGAP,问题转化为求EG与平面ACE所成的角的正弦连接BG交AC于O,连接OE,证得平面ACE平面OEG,交于直线OE,过G作GHOE,交OE于H,可得GEH为EG与平面ACE所成的角,即GEO,运用解直角三角形,即可得到所求值【解答】解:()证明:如图,取PA的中点F,连结FE、FB,
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