湖南省常德市韩公渡中学2022年高二数学理期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 柜子里有3双不同的鞋，随机地取2只，下列叙述错误的是（）A取出的鞋不成对的概率是B取出的鞋都是左脚的概率是C取出的鞋都是同一只脚的概率是D取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但它们不成对的概率是参考答案：D【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】利用等可能事件概率计算公式分别求解，能求出结果【解答】解：柜子里有3双不同的鞋，随机地取2只，基本事件总数n=15，在A中，取出的鞋是成对的取法有3种，取出的鞋不成对的概率是：1=，故A 正确；在B中，取出的鞋都是左脚的取法有=3种，取出的鞋都是左脚的概率为：，故B正确；在C中，取出的鞋都是同一只脚的取法有： =6，取出的鞋都是同一只脚的概率是p=；在D中，取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，由题意，可以先选出左脚的一只有=3种选法，然后从剩下两双的右脚中选出一只有=2种选法，所以一共6种取法，取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但它们不成对的概率是，故D错误故选：D2. 在 ABC中，则ABC一定是（ ）A 直角三角形 B 钝角三角形 C 等腰三角形 D 等边三角形参考答案：D略3. 已知，是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，则下面的命题中不正确的是（）A若ab，a，则bB若a，a，则C若a，a?，则D若a，=b，则ab参考答案：D【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系；LQ：平面与平面之间的位置关系【分析】根据空间线面位置关系的判定与性质进行判断【解答】解：对于A，设m，n为内的两条相交直线，a，am，an，又ab，bm，bn，b故A正确；对于B，由“垂直与同一条直线的两个平面互相平行”可知B正确；对于C，由面面垂直的判定定理可知C正确对于D，由线面平行的性质可知只有当a?时才有ab，故D错误故选D4. 如图，在三棱锥ABCD中，侧面ABD底面BCD，BCCD，AB=AD=4，BC=6，BD=4，直线AC与底面BCD所成角的大小为（）A30B45C60D90参考答案：A【考点】直线与平面所成的角【分析】面ABD底面BCD，AB=AD，取DB中点O，则AO面BCD，即ACO就是直线AC与底面BCD所成角，解三角形即可求得角的大小【解答】解：面ABD底面BCD，AB=AD，取DB中点O，则AO面BCD，ACO就是直线AC与底面BCD所成角BCCD，BC=6，BD=4，CO=2，在RtADO中，OD=，在RtAOC中，tanACO=直线AC与底面BCD所成角的大小为30故选：A【点评】本题考查了直线与平面所成角的求解，找到所求的角是关键，属于中档题5. 已知双曲线的一条渐近线方程为y=x，则双曲线的离心率为 （ ）A. B. C. D. 参考答案：A略6. 如图，已知直线l：y=k（x+1）（k0）与抛物线C：y2=4x相交于A、B两点，且A、B两点在抛物线C准线上的射影分别是M、N，若|AM|=2|BN|，则k的值是（）ABCD2参考答案：C【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【专题】空间向量及应用【分析】直线y=k（x+1）（k0）恒过定点P（1，0），由此推导出|OB|=|AF|，由此能求出点B的坐标，从而能求出k的值【解答】解：设抛物线C：y2=4x的准线为l：x=1直线y=k（x+1）（k0）恒过定点P（1，0）如图过A、B分别作AMl于M，BNl于N，由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，则|OB|=|AF|，|OB|=|BF|，点B的横坐标为，点B的坐标为B（，），把B（，）代入直线l：y=k（x+1）（k0），解得k=故选：C【点评】本题考查直线与圆锥曲线中参数的求法，考查抛物线的性质，是中档题，解题时要注意等价转化思想的合理运用7. 已知的周长是16，B, 则动点C的轨迹方程是( )A B C D参考答案：B略8. 在样本频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其它8个长方形的面积和的，且样本容量为140，则中间一组的频数为( )A.28 B.40 C.56 D.60参考答案：B9. 下列命题正确的是( )A. B对任意的实数x,恒成立.C. 的最小值为2D. 的最大值为2参考答案：C10. 下列求导运算正确的是 ( )A . B .C . D.参考答案：B略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数的定义域是 参考答案：12. 若关于x的不等式的解集为R，则实数a的取值范围是 .参考答案：13. 有六根细木棒，其中较长的两根分别为，其余四根均为a，用它们搭成三棱锥， 则其中两条较长的棱所在的直线的夹角的余弦值为 ；参考答案：14. 观察下列式子：，根据以上规律，第个不等式是_.参考答案：不等式左边共有项相加，第项是，不等式右边的数依次是15. 若曲线表示椭圆，则的取值范围是 参考答案：k0略16. 若则 参考答案：-417. 计算定积分（+3x）dx=参考答案：【考点】定积分【专题】计算题；转化思想；导数的概念及应用【分析】根据定积分的运算法则以及几何意义求定积分【解答】解：（+3x）dx=（dx+3xdx=+=；故答案为：【点评】本题考查了定积分的计算；计算定积分有的利用微积分基本定理，有的利用几何意义三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 求两个底面半径分别为1和4，且高为4的圆台的表面积及体积，写出该问题的一个算法，并画出流程图参考答案：算法设计如下：S1r11，r24，h4；S2l；S3S1r，S2r，S3(r1r2)l；S4SS1S2S3，V (S1S2)h；S5输出S和V.该算法的流程图如下：19. （本小题满分10分）如图，正方体（1）求二面角的大小；（2）求与平面所成角的正弦值参考答案：（1）设正方体棱长为1.在平面内，过作,交于，连接 5分（2） 10略20. 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB=60,AB=2AD,PD底面ABCD.()证明：PABD；()若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。参考答案：解析1：（）因为, 由余弦定理得从而BD2+AD2= AB2，故BD AD;又PD 底面ABCD，可得BD PD所以BD 平面PAD. 故 PABD（）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为轴的正半轴建立空间直角坐标系D-，则,。设平面PAB的法向量为n=（x,y,z），则,即 因此可取n=设平面PBC的法向量为m，则 可取m=（0，-1，） 故二面角A-PB-C的余弦值为 21. 已知椭圆的左右焦点分别为F1,F2,抛物线与椭圆C有相同的焦点，且椭圆C过点（1）求椭圆的标准方程；（2）若椭圆C的右顶点为A，直线l交椭圆C于E，F两点(E，F与点A不重合)，且满足，若点P为EF中点，求直线AP斜率的最大值。 参考答案：（1）（2）若从直线出发分析，若斜率不存在则假设存在设联立，整理得，或（舍去）设取等号其他方法（略）22. （本小题满分12分）已知椭圆的焦点为和，椭圆上一点到两焦点的距离之和为.（）求椭圆的标准方程；（）若直线与椭圆交于两点.当变化时，求面积的最大值（为坐标原点）.参考答案：（）设椭圆的标准方程为， 长轴长，半焦距，. 2分 椭圆的标准方程为. 3分（），消去并整理，得. 5分判别式，解得.由题意，知. 6分 设，由韦达定理，得，. 7分设直线与轴的交点为，则.所以面积. 9分 11分所以，当，即时，面积取得最大值. 12分