教师学科教案20 -20学年度第一学期任教学科:任教年级:任教老师:xx市实验学校一、知识概要1 .等差数列的概念(1)定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差都等于同一常数，这样的数列叫等差数列.首项记为a1,公差记为d .(2)表示形式：an 1 an d ,an2Hn1an1 Hn ,2an1HnHn 2( n N )(3)等差中项：如果三个数a, A,b成等差数列，则 A叫a与b的等差中项.则A b22 .通项公式：ana1 (n 1)d = am+ (n m)dn(a1 an)n(n 1),3 .刖 n 项和公式： Sn 1=na1 d22推导方法为：倒序相加法4 .函数的观点认识等差数列(1) an kn b是关于项数n的一次函数(一般情况下)(2) Sn An2 Bn是关于项数n的二次函数且缺常数项(一般情况下)5 .等差数列的判定方法(1)定义法：an 1 an d (常数)an是等差数列(2)中项公式法：2an 1 an an 2(n N ) 不是等差数列(3)通项公式法：an pn q ( p,q为常数)an是等差数列2 _(4)前n项和公式法：Sn An Bn ( A,B为常数)an是等差数列6 .常用性质(1)若数列an,bn为等差数列，则数列ank , kan,anbn,kanb(k,b为非零常数)均为等差数列；(2)对任何m,n N ,在等差数列an中，有an am (n m)d ,特别的，当m 1时，便得到等差数列的通项公式。另外可得公差dan a1n 1anamn m(3)若 m n p q(m,n,p, q N ),则 an am=ap aq.特别的，当n m 2k时，得小am 2ak(4)若an是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项 之和，即 ai % a? an i a3 an 2ai 1 an i 。(5)在等差数列an中，每隔k(k N )项取出一项，按原来的顺序排列，所得的数列仍为等差数列，且公差为(k 1)d (例如：a，a,，a7,知 仍为公差为3d的 等差数列)(6)如果a。是等差数列，公差为 d ,那么an , % i，a2, ai也是等差数列，其公差为 d .(7 )若数列an为等差数列，则记Sk ai a2ak ,S2k Sk ak 1 ak 2a2k ,S3kS2ka2k 1a2k2a3k ,则Sk ,S2kSk,S3kS2k 仍成等差数列，且公差为k2d7 .前n项和Sn常用的基本性质S -(1)若Sn为等差数列an的前n项和，则数列也为等差数列.n(2)记等差数列an的前n项和为Sn:an 0若a10 ,公差d 0 ,则当时，则Sn有最大值；an 104an 0若a10 ,公差d 0,则当时，则Sn有最小值。an 10求Sn最值的方法也可先求出 Sn,再用配方法求解。二、知识运用(一)熟用 an a1(ni)dam(nm)d ,danam问题n m1 .等差数列 an 中，a350, as30,则 ag (10)2 .等差数列 an中，a3as24,a23,则a6(空)3 .已知等差数列an中，a2与a6的等差中项为 5, a3与a7的等差中项为 7 ,则an(2n 3)4 . 一个等差数列中 ais 33 , a25 66 ,则 a35( 99)5 .已知等差数列 an中，ap q , aqp ,则ap q(_0)(二)an与Sn的关系问题21.数列an的刖n项和Sn= 3n n，则an = ( 4 2n)23 (n 1)2.数列an的前项n和Sn= nn 1,则an =()n2n (n 2)2 一, 一3 .数列an的刖n项和Sn= n 2n ,则an = ( 4n 3)24 .数列an的刖n项和Sn= 3n 4n，则an = ( 6n 1)5 .数列an的前n项和Sn= 2n 1,则an= ( 2n D26 .数列4n 2的前n项和Sn= ( 2n )2_7 .数列 4n 8的前n项和Sn= ( 2n 6n)8 .数列an的前 n项和 Sn 8n2 10 ,则 an(2 (n 1)16n 8 (n 2)(三)巧设问题一般情况，三个数成等差数列可设：a d,a,a d四个数成等差数列可设：a 3d,a d,a d,a 3d1 .三个数成等差数列，和为 18,积为66,求这三个数。(1,6,11)2 .三个数成等差数列，和为 18,平方和为126,求这三个数。（3,6,9 ）3 .四个数成等差数列，和为 26,第二个数和第三个数的积为40,求这四个数。（2,5,8,11）4.四个数成等差数列,中间两个数的和为13,首末两个数的积为 22,求这四个数。（2,5,8,11）5. 一个等差数列的前12项之和为354,前12项中偶数项与奇数项之比为 32: 27,求公差。（d 5）（四）最值问题1.等差数列an中，a1 80, d6 ,求Sn的最大值。（S14 574 ）2 .等差数列an中，a1 80,d5 ,求 Sn 的最大值。(S16S17 680 )3 .等差数列an中，a180, d 6 ,求 Sn 的最小值。(S14574 )4.等差数列an中，a180, d 5 ,求 Sn 的最小值。(S16 S17680)育人犹如春风化雨，授业不惜蜡炬成灰S6S)5 .等差数列 an中，a1 0,S4 S9 ,则n的取值为多少时，Sn最大?6 .等差数列 an中，a414,公差d 3,求数列 an的前n项和Sn的最小值。(S999)49)7 .等差数列an中，a113且S3S11,那么n取何值时，Sn取最大值？（S78 .在等差数列小中，若a3a9 ,公差d0 ,使其前n项和Sn为最大值的自然数n值为（5或6）(五)m n s tamanasat性质的应用1 .等差数列 an中，若a3a4a5 a6 a7 450，贝U a2 a81802 .等差数列an中，若ada5a6 a7450 ,则 S1011253 .等差数列 an中，若S1320,则a720134 .等差数列 an中，若an 10,则S212105 .等差数列an 中，右 a3 a1i40,则 aa5a6a7a8a9a0606 .等差数列an 中，a a2 a324,a18a19a2。78,则S201807 .等差数列 an中，Sn为其前n项和：(1)若 a3 ai0 而 60 ,求 9; ( S19 380 )(2)若 ani a2n 100,求 Sn； ( S3n 150n)1058 .等差数列 an中，a2 a44, a3 a 10,则60（六）方程思想的应用1.已知等差数列 an中，&21, S6 24,求数列an的前n项和Sn【答案】a1 9,d_22 Sn 10n n2.已知等差数列 an中，a3a716, a4 a6 0,求数列 an的前n项和Sn【答案】a1 8,d2Sn 9n n2或a128,d2Snn 9n（七）累加法的应用1 .求数列1,2,4,7,11,16.的通向公式an.1 01【答案】an -n2 -n 1 222 .已知数列an满足：an an 12n1,a11,求an.【答案】ann2 2n 23 .已知数列an满足：an 1 an4n1,a11,求an.【答案】an 2n2 3n 22n 1,a14 ,求 a20.3574 .已知数列 an满足：an 1 an2【答案】an n 2n 3 a205.在数列 an中，a12, an1an1,、ln（1 一），求 an1 已知等差数列2已知等差数列3在等差数列an ln n 2Sn, S2nSn,S3nan中，an中，S2 n也成等差数列的应用S34,S9 12,求 Sl5 的值.a1 a2 a32,a4 a5 a64, 则 a16a17a18 的值 . 【答an 中，S41,S83 ，求a17a18a19a20 的值 .育人犹如春风化雨，授业不惜蜡炬成灰