2022年湖北省荆州市马市中学高三数学理下学期期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设D为ABC所在平面内一点，则( )ABCD参考答案：A【考点】平行向量与共线向量【专题】平面向量及应用【分析】将向量利用向量的三角形法则首先表示为，然后结合已知表示为的形式【解答】解：由已知得到如图由=；故选：A【点评】本题考查了向量的三角形法则的运用；关键是想法将向量表示为2. 设是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：若，则 若，则若，则 若，则其中正确命题的序号是（ ）A. 和 B. 和 C. 和 D. 和参考答案：A3. 已知，若关于的方程恰好有4个不相等的实数根，则实数的取值范围为A. B. C. D.参考答案：C4. 设函数若，则关于x的方程的解的个数为 （ ）A1 B2 C3 D4参考答案：C略5. 复数为虚数单位)在复平面内所对应的点在_.A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限参考答案：B略6. 已知直线与圆交于两点，且（其中为坐标原点），则实数的值为KS*5U.C#O%A. B. C.或 D.或参考答案：7. 设函数f（x）=x32ex2+mxlnx，记g（x）=，若函数g（x）至少存在一个零点，则实数m的取值范围是（）A（，e2+B（0，e2+C（e2+，+D（e2，e2+参考答案：A【考点】6D：利用导数研究函数的极值【分析】由题意先求函数的定义域，再化简为方程x32ex2+mxlnx=0有解，则m=x2+2ex+，求导求函数m=x2+2ex+的值域，从而得m的取值范围【解答】解：f（x）=x32ex2+mxlnx的定义域为（0，+），又g（x）=，函数g（x）至少存在一个零点可化为函数f（x）=x32ex2+mxlnx至少有一个零点；即方程x32ex2+mxlnx=0有解，则m=x2+2ex+，m=2x+2e+=2（xe）+；故当x（0，e）时，m0，当x（e，+）时，m0；则m=x2+2ex+在（0，e）上单调递增，在（e，+）上单调递减，故me2+2?e?e+=e2+；又当x+0时，m=x2+2ex+，故me2+；故选A8. 若,其中则（ ）A. B. C. D.参考答案：C略9. 若，则复数 ()A2 B2 C2 D2参考答案：D10. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则=()（A） （B） （C） （D）参考答案：B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，那么角C的大小为_参考答案：【分析】由，可得角和再利用正弦定理即可得出的值和角，根据三角形的内角和定理可求的值【详解】解：，为钝角，可得，由正弦定理，可得为锐角，【点睛】本题考查了正弦定理，以及推理能力与计算能力，属于基础题12. 已知点为椭圆和双曲线的公共焦点，点P为两曲线的一个交点，且满足，设椭圆与双曲线的离心率分别为，则=_. 参考答案：213. 若圆C过点（0，1），（0，5），且圆心到直线xy2=0的距离为2，则圆C的标准方程为参考答案：x2+（y2）2=9或（x8）2+（y2）2=73【考点】J1：圆的标准方程【分析】由题意，设圆心为（a，2）则=2，求出a，可得圆心与半径，即可得出圆C的标准方程【解答】解：由题意，设圆心为（a，2）则=2，a=0或8，r=3或=，圆C的标准方程为x2+（y2）2=9或（x8）2+（y2）2=73，故答案为：x2+（y2）2=9或（x8）2+（y2）2=73【点评】本题考查圆的标准方程，考查点到直线距离公式的运用，属于中档题14. 函数，且，则的取值范围是_参考答案：由题得：，如图表示的可行域：则 可得，又b=1,a=0成立，此时，可得15. 已知函数对任意的恒成立，则 .参考答案：16. 如图，点D在ABC的边AC上，且，则的最大值为_参考答案：【分析】先计算出的值，利用可得，两边平方后整理可得，设，则，利用基本不等式可求的最大值.【详解】因为，所以因为，所以即，整理得到，两边平方后有，所以即，整理得到，设，所以，因为，所以，当且仅当，时等号成立，故填.【点睛】三角形中可根据点分线段成比例得到向量之间的关系，从而得到所考虑的边的长度之间的关系.三角形中关于边的和的最值问题，可通过基本不等式来求，必要时需代数变形构造所需的目标代数式.17. 已知2=（1，），=（1，）且，|=4，则与的夹角为 参考答案：60【考点】数量积表示两个向量的夹角；向量的模；平面向量数量积的运算 【专题】计算题【分析】利用向量的数量积的坐标形式的公式求出，利用向量数量积的运算律展开，将已知代入求出，再利用向量的数量积公式求出两向量夹角的余弦，求出夹角【解答】解：设的夹角为即=60故答案为60【点评】本题考查向量数量积的坐标公式、向量数量积的运算律、利用向量的数量积求向量的夹角三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知函数，数列满足，, 1. 求，的值； 2. 求证：数列是等差数列； 3. 设数列满足， 若对一切成立，求最小正整数的值.参考答案：1）由，得 3分（2）由 得 8分所以，是首项为1，公差为的等差数列 9分（3）由（2）得 11分当时 ，当时，上式同样成立， 13分所以因为，所以对一切成立， 16分又随递增，且，所以，所以， 18分19. （本小题满分12分）已知某年级1000名学生的百米跑成绩全部介于13秒与18秒之间，为了了解学生的百米跑成绩情况，随机抽取了若干学生的百米跑成绩，并按如下方式分成五组：第一组13，14）；第二组14，15）；第五组17，18按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前3个组的频率之比为1410，且第二组的频数为8（）请估计该年级学生中百米跑成绩在16，17）内的人数；（）求调查中随机抽取了多少个学生的百米成绩；（）若从第一和第五组所有成绩中随机取出2个，求这2个成绩差的绝对值大于1秒的概率参考答案：命题意图：本题考察频率分布直方图、古典概型，中等题（）百米成绩在16,17)内的频率为0.321=0.32 0.321000=320估计该年段学生中百米成绩在16,17)内的人数为320人 3分（）设图中从左到右前3个组的频率分别为x，4x ，10x 依题意，得 x+4x+10x+0.321+0.081=1 ，x=0.04 4分设调查中随机抽取了n 个学生的百米成绩，则 n=50调查中随机抽取了50个学生的百米成绩 6分（）百米成绩在第一组的学生数有10.04150=2，记他们的成绩为a，b百米成绩在第五组的学生数有0.08150= 4，记他们的成绩为m，n，p，q则从第一、五组中随机取出两个成绩包含的基本事件有a,b,a,m,a,n,a,p,a,q,b,m,b,n,b,p,b,q,m,n,m,p,m,q,n,p,n,q,p,q，共15个 9分设事件A为满足成绩的差的绝对值大于1秒，则事件A所包含的基本事件有a,m,a,n,a,p,a,q，b,m,b,n,b,p,b,q，共8个， 10分所以P(A )= 12分本试题主要考查样本估计总体，考查古典概型的概率公式，考查频率分布直方图等知识，考查数据处理能力和分析问题、解决问题的能力20. 在锐角中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知（1）求A的大小；（2）求的取值范围。参考答案：略21. (本题满分12分 )如图，在等腰直角中， ， 为垂足沿将对折，连结、，使得（1）对折后，在线段上是否存在点，使？若存在，求出的长；若不存在，说明理由； （2）对折后，求二面角的平面角的大小参考答案：（本小题满分12分）解：（1）在线段上存在点，使 由等腰直角可知，对折后，在中， 过作的垂线，与的交于点，点就是 满足条件的唯一点理由如下：连结，平面，即在线段上存在点，使 4分 在中，得6分（2）对折后，作于，连结，平面，平面平面 ，且平面平面，平面而，所以平面，即为二面角的平面角 9分在中，得，在中，得 在中， 所以二面角的大小为 12分 略22. 等比数列的前n项和为， 已知对任意的 ，点，均在函数且均为常数)的图像上. （1）求r