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广东省河源市啸仙中学2021年高三数学理模拟试卷含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 已知集合,则“”是“”的( )A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件参考答案:A略2. 已知为常数,函数有两个极值点,则 ( ) A. B. C. D. 参考答案:D略3. cos()的值为()A BCD参考答案:考点:运用诱导公式化简求值专题:三角函数的求值分析:原式中角度变形后,利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果解答:解:cos()=cos(670+)=cos=cos(+)=cos=,故选:C点评:此题考查了运用诱导公式化简求值,熟练掌握诱导公式是解本题的关键4. 定义在R上的函数满足为的导函数,已知函数的图象如下图所示。若两正数满足,则的取值范围是A、 B、 C、 D)、参考答案:答案:C 5. 函数f (x)= ex的图象大致为()ABCD参考答案:A【考点】函数的图象【分析】直接利用函数的解析式,判断x0时,函数值,判断即可【解答】解:函数f (x)=,当x0时,f (x)=0,看着函数的图象在x轴上方,考察选项,只有A满足题意,故选:A6. 设,则A. B. C. D.参考答案:A略7. 已知全集U=R,集合,则()A. B. C. D. 参考答案:B【分析】由补集的运算求得,再根据集合的并集运算,即可求解,得到答案【详解】由题意,集合,则,根据集合的并集运算,可得,故选B【点睛】本题主要考查了集合混合运算,其中解答中熟记集合的并集和补集的概念及运算是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题8. 下列函数中,既是偶函数又在单调递增的函数是( )A B C D参考答案:B略9. 设、都是非零向量,下列四个条件中,使成立的充分条件是( )A B. C D且参考答案:C10. 在锐角中,角所对的边长分别为.若 ( )A. B. C. D.参考答案:A二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知,则 .参考答案:1 由已知得:满足,所以12. 若,则f(x)的定义域为_参考答案: 【分析】根据幂函数和对数函数的性质即可求得。【详解】由题解得【点睛】本题考查函数定义域,属于基础题。13. 不等式的解为参考答案:x|0x1【考点】一元二次不等式的解法【专题】计算题【分析】利用两个数的商是正数等价于两个数同号;将已知的分式不等式转化为整式不等式组,求出解集【解答】解:同解于x(x1)0所以不等式的解集为x|0x1故答案为x|0x1【点评】本题考查解分式不等式时,利用等价变形转化为整式不等式解14. 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表:广告费x(万元)2345利润y(万元)264956根据表格已得回归方程为=9.4x+9.1,表中有一数据模糊不清,请推算该数据的值为参考答案:37【考点】线性回归方程【专题】计算题;方程思想;综合法;概率与统计【分析】设数据的值为a,利用回归直线方程恒过样本中心点,求出a【解答】解:设数据的值为a,依题意知, =3.5, =(131+a),利用回归直线方程恒过样本中心点,(131+a)=3.59.4+9.1,a=37,故答案为:37【点评】本题考查数据的回归直线方程,利用回归直线方程恒过样本中心点是关键15. 已知为单位向量,当的夹角为时,在上的投影为 .参考答案:16. 已知三棱柱的侧棱垂直底面,所有顶点都在球面上, AC=1,则球的表面积为_.参考答案:8略17. 已知f(x)=cosx,g(x)=sinx,记Sn=2,Tm=S1+S2+Sm,若Tm11,则m的最大值为参考答案:5略三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 已知函数,若函数的图象恒在轴上方,求实数的取值范围参考答案:19. 设函数f(x)=2|x1|+x1,g(x)=16x28x+1记f(x)1的解集为M,g(x)4的解集为N()求M;()当xMN时,证明:x2f(x)+xf(x)2参考答案:【考点】其他不等式的解法;交集及其运算 【专题】不等式的解法及应用【分析】()由所给的不等式可得 ,或 ,分别求得、的解集,再取并集,即得所求()由g(x)4,求得N,可得MN=0,当xMN时,f(x)=1x,不等式的左边化为,显然它小于或等于 ,要证的不等式得证【解答】解:()由f(x)=2|x1|+x11 可得 ,或 解求得1x,解求得 0x1综上,原不等式的解集为0,()证明:由g(x)=16x28x+14,求得x,N=,MN=0,当xMN时,f(x)=1x,x2f(x)+xf(x)2 =xf(x)x+f(x)=,故要证的不等式成立【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法,体现了分类讨论、等价转化的数学思想,属于中档题20. (本小题满分12分)国家环境标准制定的空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表:空气质量指数0-5051-100101-150151-200201-300 300以上空气质量等级1级优2级良3级轻度污染4级中度污染5级重度污染6级严重污染由全国重点城市环境监测网获得2月份某五天甲城市和乙城市的空气质量指数,数据用茎叶图表示如下:() 试根据上面的统计数据,判断甲、乙两个城市的空气质量指数的方差的大小关系(只需写出结果);() 试根据上面的统计数据,估计甲城市某一天空气质量等级为2级良的概率;() 分别从甲城市和乙城市的统计数据中任取一个,试求这两个城市空气质量等级相同的概率。(注: ,其中为数据的平均数.)参考答案:21. (本题满分12分) 如图,已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,它的一个顶点为,且离心率等于,过点的直线与椭圆相交于不同两点,点在线段上。 (1)求椭圆的标准方程; (2)设,若直线与轴不重合,试求的取值范围。参考答案:略22. (本小题满分14分) 如图,已知正方体的棱长为2,E、F分别是、的中点,过、E、F作平面交于G.()求证:;()求二面角的余弦值;()求正方体被平面所截得的几何体的体积.参考答案:()证明:在正方体中,平面平面 平面平面,平面平面 .-3分()解:如图,以D为原点分别以DA、DC、DD1为x、y、z轴,建立空间直角坐标系,则有D1(0,0,2),E(2,1,2),F(0,2,1), 设平面的法向量为 则由,和,得, 取,得,-6分又平面的法向量为(0,0,2)故; 截面与底面所成二面角的余弦值为. -9分()解:设所求几何体的体积为V, , , ,-11分故V棱台 V=V正方体-V棱台. -14分略
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