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2020-2021学年广东省茂名市电白第六高级中学高三数学理测试题含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 如图,在四边形中,已知,则( )A64 B 42 C. 36 D28参考答案:C2. 设函数f(x)=,若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是()Aa2Ba1Ca1Da2或a1参考答案:D【考点】函数的零点与方程根的关系【专题】综合题;函数的性质及应用【分析】分别设h(x)=2xa,g(x)=4(xa)(x2a),分两种情况讨论,即可求出a的范围【解答】解:设h(x)=2xa,g(x)=4(xa)(x2a)若在x1时,h(x)=2xa与x轴有一个交点,所以a0,并且当x=1时,h(1)=2a0,所以0a2,而函数g(x)=4(xa)(x2a)有一个交点,所以2a1,且a1,所以a1,若函数h(x)=2xa在x1时,与x轴没有交点,则函数g(x)=4(xa)(x2a)有两个交点,当a0时,h(x)与x轴无交点,g(x)无交点,所以不满足题意(舍去),当h(1)=2a时,即a2时,g(x)的两个交点满足x1=a,x2=2a,都是满足题意的,综上所述a的取值范围是a1,或a2故选:D【点评】本题考查了分段函数的问题,以及函数的零点问题,培养了学生的转化能力和运算能力以及分类能力,属于中档题3. 设非零向量a,b满足则A. ab B. C. ab D. 参考答案:A由平方得,即,则,故选A.4. 某公司位员工的月工资(单位:元)为,其均值和方差分别为和,若从下月起每位员工的月工资增加元,则这位员工下月工资的均值和方差分别为( )A. , B., C., D. ,参考答案:A5. 若圆C经过(1,0),(3,0)两点,且与y轴相切,则圆C的方程为 (A) (B) (C) (D) 参考答案:D6. 若实数、满足,则当取到最大值时,的值为( ) A. 有无穷多个值 B. C. 4 D. 0参考答案:答案:D 解析:如图点,点,点, 点,最大, 7. 若函数(),则是( )A.最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为的奇函数 C.最小正周期为的偶函数 D.最小正周期为的偶函数参考答案:D略8. 函数的零点个数为()A1B2C3D4参考答案:B【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式,通过函数为0,转化为两个函数的图象交点个数问题【解答】解由已知得=cos2xlog2|x|,令f(x)=0,即cos2x=log2|x|,在同一坐标系中画出函数y=cos2x和y=log2|x|的图象,如图所示,两函数图象有两个不同的交点,故函数f(x)的零点个数为2,故选B9. 已知,则函数的零点的个数为( )A1 B2 C3 D4参考答案:B10. 已知幂函数是定义在区间上的奇函数,则( )A8B4C2D1参考答案:A略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如果将函数f(x)=sin(3x+)(0)的图象向左平移个单位所得到的图象关于原点对称,那么=参考答案:【考点】函数y=Asin(x+)的图象变换【分析】利用y=Asin(x+)的图象变换规律,正弦函数的图象的对称性,求得的值【解答】解:将函数f(x)=sin(3x+)(0)的图象向左平移个单位,所得到y=sin3(x+)+=sin(3x+)的图象,若所得图象关于原点对称,则+=k,kZ,又0,=,故答案为:【点评】本题主要考查y=Asin(x+)的图象变换规律,正弦函数的图象的对称性,属于基础题12. 设数列1,1+2,1+2+22,1+2+22+2n1,的前n项和为Sn,则S10= 参考答案:2036【考点】数列的求和【专题】等差数列与等比数列【分析】由1+2+22+2n1=2n1,得Sn=(2+22+23+2n)n,由此能求出S10【解答】解:1+2+22+2n1=2n1,Sn=(2+22+23+2n)n=n=2n+12n,S10=211210=2036故答案为:2036【点评】本题考查数列的前n项和的求法,是中档题,解题时要注意分组求和法的合理运用13. 设双曲线的渐近线方程为,则正数的值为_参考答案:214. 若实数满足约束条件则的最大值是 参考答案:215. 命题“”的否定为 参考答案:,略16. ABC中,AB=,cosB=,点D在边AC上,BD=,且=(+)(0)则sinA的值为参考答案:【考点】平面向量数量积的运算【专题】数形结合;向量法;平面向量及应用【分析】根据=(+),容易判断点D为AC的中点,由三角形的中线长定理和余弦定理,可得AC,BC的长,再由正弦定理,可得sinA【解答】解:如图,过B作BEAC,垂足为E,取AC中点F,连接BF,则=(+)(0)=(+)=;和共线,D点和F点重合,D是AC的中点,由中线长定理可得,BD=,又AC2=AB2+BC22AB?BC?cosB,即为AC2=+BC2?BC?,解方程可得BC=2,AC=,由正弦定理可得=,可得sinA=故答案为:【点评】本题考查向量加法的平行四边形法则,共线向量基本定理,余弦定理的运用,考查运算能力,属于中档题17. 已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产(单位:万件)的函数关系式为,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 万件参考答案:9三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. (本小题满分12分)已知等差数列中,(1)求数列的通项公式;(2)若数列的前项和,求的值参考答案:解:(1)设等差数列的公差,则,由题设,所以 6分(2)因为,所以,解得或因为,所以12分19. (本小题满分12分)春节期间,某商场进行促销活动,方案是:顾客每买满200元可按以下方式摸球兑奖:箱内装有标着数字20,40,60,80,100的小球各两个,顾客从箱子里任取三个小球,按三个小球中最大数字等额返还现金(单位:元),每个小球被取到的可能性相等(1)求每位顾客返奖不少于80元的概率;(2)若有三位顾客各买了268元的商品,求至少有二位顾客返奖不少于80元的概率.参考答案:(1)设“返奖80元”为事件A,“返奖100元”为事件B,则,故每位顾客返奖不少于80元的概率为 6分(2)至少有二位顾客返奖不少于80元的概率为 12分20. 如图,以坐标原点O为圆心的单位圆与x轴正半轴相交于点A,点B,P在单位圆上,且B(,),AOB=(1)求的值;(2)若四边形OAQP是平行四边形,(i)当P在单位圆上运动时,求点O的轨迹方程;(ii)设POA=(02),点Q(m,n),且f()=m+n求关于的函数f()的解析式,并求其单调增区间参考答案:【考点】轨迹方程;三角函数的化简求值【分析】(1)由三角函数定义得tan=2,再弦化切代入计算,即可求求的值;(2)(i)设PA中点为H,P(x1,y1),Q(x,y),则,由此可求点O的轨迹方程;(ii)确定,即可求其单调增区间【解答】解:(1)由三角函数定义得tan=2,所以原式=(2)四边形OAQP是平行四边形,PA与OQ互相平分,(i)设PA中点为H,P(x1,y1),Q(x,y),则,又,所以,代入上式得点Q的轨迹方程为(x1)2+y2=1(ii)依题意得,又由(i)知,或,f()的增区间为和21. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程已知直线的参数方程为,曲线的参数方程为,设直线与曲线交于两点.(1)求;(2)设为曲线上的一点,当的面积取最大值时,求点的坐标参考答案:(1)由已知可得直线的方程为 曲线的方程为由, (2)设当即时最大, 22. 已知数列的各项均为正数,满足,(1)求证:;(2)若是等比数列,求数列的通项公式;(3)设数列的前项和为,求证:参考答案:(1)详见解析;(2);(3)详见解析考点:数列综合题
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