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2021-2022学年湖北省宜昌市五峰第一高级中学高二数学理测试题含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 在中, 已知向量, ,则的值为( ) A B C D 参考答案:C2. 已知回归直线的斜率的估计值为1.23,样本点的中心为(4,5),则回归直线方程为A. B.C. D.参考答案:C略3. 已知函数y=f(x)的导函数存在,则函数在一点的导数值为是函数在这点取极值的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案:B4. 曲线与曲线的 ( ) A、长轴长相等 B、短轴长相等 C、离心率相等 D、焦距相等参考答案:D5. 关于复数,给出下列判断:33i;16(4i)2;2+i1+i;|2+3i|2+i|其中正确的个数为()A1B2C3D4参考答案:B【考点】A2:复数的基本概念【分析】两个复数如果不完全是实数,则不能比较大小;利用复数的运算法则即可判断出结论;利用复数的模的计算公式即可判断出结论【解答】解:两个复数如果不完全是实数,则不能比较大小,因此33i不正确;(4i)2=16,因此正确;道理同,不正确;|2+3i|=,|2+i|=,因此|2+3i|2+i|正确其中正确的个数为2故选:B6. 若| , 且 ,则与的夹角是( )A. B. C. D.参考答案:7. 如果复数z=,则()A|z|=2Bz的实部为1Cz的虚部为1Dz的共轭复数为1+i参考答案:C【考点】A5:复数代数形式的乘除运算;A2:复数的基本概念【分析】直接利用复数的除法运算化简,求出复数的模,然后逐一核对选项即可得到答案【解答】解:由z=,所以,z的实部为1,z的虚部为1,z的共轭复数为1+i,故选C8. 设函数可导,则( )A B. C. D. 参考答案:C略9. 若一个圆的圆心在直线上,在轴上截得的弦的长度等于2,且与直线相切。则这个圆的方程是( )A B C D 参考答案:D略10. 函数与函数的图象关于( )A轴对称 B轴对称 C直线对称 D原点对称参考答案:D略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 圆截直线 所得的弦长 参考答案:12. AOB在平面内,OC是平面的一条斜线,若已知AOB=BOC=COA=60,则OC与平面所成的角的余弦值等于_ 参考答案:【考点】直线与平面所成的角【解答】解:如图所示, 设点P为OC反向延长线上的一点,且OP=a,H为P在平面上的射影,AOB=BOC=COA=60,OH平分AOB,POH为OC与平面所成的角,cosPOH= = = = = 故答案为: 【分析】设点P为OC反向延长线上的一点,且OP=a,H为P在平面上的射影,由已知条件推导出POH为OC与平面所成的角,由此能求出结果 13. 函数的递增区间为 .参考答案:14. 下列正确命题有“”是“=30”的充分不必要条件如果命题“(p或q)”为假命题,则 p,q中至多有一个为真命题设a0,b1,若a+b=2,则+的最小值为3+2函数f(x)=3ax+12a在(1,1)上存在x0,使f(x0)=0,则a的取值范围是参考答案:【考点】命题的真假判断与应用【分析】根据充要条件的定义,可判断;根据复合命题真假判断的真值表,可判断;根据基本不等式,可判断;根据一次函数的图象和性质,即零点存在定理,可判断【解答】解:“”时,“=30”不一定成立,“=30”时“”一定成立,故“”是“=30”的必要不充分条件,故错误;如果命题“?(p或q)”为假命题,则命题“p或q”为真命题,则p,q中可能全为真命题,故错误;a0,b1,若a+b=2,则b10,a+(b1)=1,则+=(+)a+(b1)=3+3+2=3+2,即+的最小值为3+2,故正确;若函数f(x)=3ax+12a在(1,1)上存在x0,使f(x0)=0,则f(1)?f(1)0,即(3a+12a)(a+1)0,解得,故正确,故正确的命题有:,故答案为:15. 在ABC中,,则_.参考答案:116. 若C32+C42+C52+Cn2=363,则自然数n= 参考答案:13【考点】D5:组合及组合数公式【分析】根据题意,现将原等式变形为C33+C32+C42+C52+Cn2=364,再利用组合数的性质Cnm+Cnm1=Cn+1m,可得C22+C32+C42+C52+Cn2=Cn+13,则原等式可化为Cn+13=364,解可得答案【解答】解:C32+C42+C52+Cn2=363,则1+C32+C42+C52+Cn2=364,即C33+C32+C42+C52+Cn2=364,又由Cnm+Cnm1=Cn+1m,则C33+C32+C42+C52+Cn2=C43+C42+C52+Cn2=C53+C52+C62+Cn2=Cn+13,原式可变形为Cn+13=364,化简可得=364,又由n是正整数,解可得n=13,故答案为1317. 设为椭圆的焦点,为椭圆上的一点,且,则的面积为_ 参考答案:16三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. (12分) 围建一个面积为360m2的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修),其它三面围墙要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口,如图所示,已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x米,总费用为y(单位:元).(1)将y表示为x的函数; (2)试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用.参考答案:(1)设矩形的另一边长为a m则45x+180(x-2)+1802a=225x+360a-360由已知xa=360,得a=,所以y=225x+ 6分. (2).8分当且仅当225x=,即x=24m时等号成立.11分当x=24m时,修建围墙的总费用最小,最小总费用是10440元.12分19. (本小题满分10分)写出命题“若或,则”的逆命题,否命题,逆否命题,并判断它们的真假。 参考答案:略略20. 在ABC中,BC=a,AC=b,且a,b是方程的两根,又2cos(A+B)=1,(1)求角C的度数;(2)求AB的长;(3)ABC的面积参考答案:【考点】解三角形【分析】(1)ABC中,由 cosC=cos(A+B)=,解得 C=120(2)根据一元二次方程根与系数的关系可得 a+b=2,ab=2,由余弦定理求得 AB 的值(3)ABC的面积等于absinC=sin120【解答】解:(1)ABC中,cosC=cos(A+B)=,C=120(2)根据一元二次方程根与系数的关系可得 a+b=2,ab=2,由余弦定理可得 AB=(3)ABC的面积等于absinC=sin120=21. 在下列条件下,分别求出有多少种不同的做法?(1)5个不同的球,放入4个不同的盒子,每盒至少一球;(2)5个相同的球,放入4个不同的盒子,每盒至少一球参考答案:【考点】排列、组合及简单计数问题【分析】(1)根据分步计数原理,第一步从5个球种选出2个组成复合元素,再把4个元素(包含一个复合元素)放入4个不同的盒子中,问题得以解决;(2)5个相同的球,放入4个不同的盒子,每盒至少一球,有C43种方法【解答】解:(1)第一步从5个球种选出2个组成复合元素共有C52种方法,再把4个元素(包含一个复合元素)放入4个不同的盒子中有A44种,根据分步计数原理放球的方法共有C52A44=240种(2)C43=4(10分)【点评】本题主要考查了排列组合混合问题,先选后排是关键22. 如图所示,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是正方形,对角线AC与BD交于点F,侧面SBC是边长为2的等边三角形,E为SB的中点.(1)证明:SD/平面AEC;(2)若侧面SBC底面ABCD,求斜线AE与平面SBD所成角的正弦值.参考答案:(1)见解析;(2)【分析】(1)连接EF根据三角形中位线得到线线平行,再得线面平行;(2)首先根据面面垂直的性质得到面,进而可建系,求面的法向量和线的方向向量,进而得到线面角.【详解】(1)连接,易证为的中位线,所以.又平面,平面,平面.(2)取的中点为,的中点为,连结,则,因为侧面底面,所以面,又,所以可建立如图所示的坐标系则,从而,设平面的法向量为,则,取,则,所以设斜线与平面所成的角为,斜线与平面所成角的正弦值. 【点睛】这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系。求线面角,一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离,除以线段长度就是线面角的正弦值;还可以建系,用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量,再求线面角即可。
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