北京第一八二中学高三数学理期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知ABC中，AB=2，AC=4，O为ABC的外心，则?等于（）A4B6C8D10参考答案：B【考点】平面向量数量积的运算【分析】利用向量数量积的几何意义和三角形外心的性质即可得出【解答】解：结合向量数量积的几何意义及点O在线段AB，AC上的射影为相应线段的中点，可得，故选：B，2. 已知方程的取值范围 （ ）A B C D参考答案：A3. 已知平面向量，则实数等于 A B C D 参考答案：A4. 己知函f（x）log3(x1)有两个零点，则（）A、1 B、C、 D、参考答案：D5. 已知，且,则x的取值范围是（ ）A, 4 B., 4 C., 3 D. , 3参考答案：B6. 已知直线x9y8=0与曲线C：y=x3px2+3x相交于A，B，且曲线C在A，B处的切线平行，则实数p的值为（）A4B4或3C3或1D3参考答案：B【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出原函数的导函数，设出A，B点的坐标，得到函数在A，B点处的导数值，由A，B点处的导数值相等得到3x122px1+3=3x222px2+3=m，把x1，x2看作方程3x22px+3m=0的两个根，利用根与系数关系得到x1+x2=p，进一步得到AB的中点坐标，然后再证明AB的中点在曲线C上，最后由AB中点的纵坐标相等求得实数p的值，注意检验【解答】解：由y=x3px2+3x，得y=3x22px+3，设A（x1，y1），B（x2，y2），则曲线C在A，B处的切线的斜率分别为3x122px1+3，3x222px2+3，曲线C在A，B处的切线平行，3x122px1+3=3x222px2+3，令3x122px1+3=3x222px2+3=m，x1，x2是方程3x22px+3m=0的两个根，则x1+x2=p，下面证线段AB的中点在曲线C上，=pp3，而（）3p（）2+3?=p3p3+p=pp3，线段AB的中点在曲线C上，由x1+x2=p，知线段的中点为（p，（p8），+p=pp3，解得p=1，3或4当p=1时，y=x3+x2+3x的导数为y=3x2+2x+30恒成立，即函数为递增函数，直线与曲线只有一个交点，舍去；p=3，或4时，y=x3px2+3x不单调，成立故选：B7. 若复数z满足 (34i)z|43i |，则z的虚部为()A、4（B）（C）4（D）参考答案：D8. 已知四棱锥P-ABCD的所有棱长均相等，点E、F分别在线段PA、PC上，且EF底面ABCD，则异面直线EF与PB所成角的大小为（ ）A. 30B. 45C. 60D. 90参考答案：D【分析】连接，设，由线面平行的性质定理推得，运用线面垂直的判定定理可得平面，再由线面垂直的性质定理和平行线的性质，即可得到所求角【详解】解：连接，设，则平面，平面平面，由底面，可得，由四边形为菱形，可得，由为的中点，可得，又，平面，平面，可得平面，又平面，则，又，可得，即异面直线与所成角的大小为故选：D【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查线面平行的性质定理和线面垂直的判定和性质，考查转化思想和推理能力，属于中档题9. 若，（其中都是实数，是虚数单位），则= A B C D1参考答案：A10. 设全集UR，A ，Bx|x0 Bx | x1Cx|3x0 Dx|3x1参考答案：D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设实数x，y满足不等式，则函数的最大值为 . 参考答案：11不等式表示区域如图中阴影部分所示，目标函数为是与直线平行的直线系，当直线向上平移时，在增大，且过点A时达到最大值，由得,从而.12. 已知，则满足不等式的实数的最小值是 . 参考答案：13. 已知函数则_参考答案：考点：1、分段函数的解析式；2、指数函数、对数函数的性质.14. 若直线l：（a0，b0）经过点（1，2）则直线l在x轴和y轴的截距之和的最小值是 参考答案：3+2考点：直线的截距式方程 专题：直线与圆分析：把点（1，1）代入直线方程，得到=1，然后利用a+b=（a+b）（），展开后利用基本不等式求最值解答：解：直线l：（a0，b0）经过点（1，2）=1，a+b=（a+b）（）=3+3+2，当且仅当b=a时上式等号成立直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为3+2故答案为：3+2点评：本题考查了直线的截距式方程，考查利用基本不等式求最值，是中档题15. 在ABC中，D是AC边的中点，A=，cosBDC=，ABC的面积为3，则sinABD= ，BC= 参考答案：，6【考点】HT：三角形中的几何计算【分析】过B作BHAC于H，则cosBDH=，设DH=2k（k0），则BD=k，BH=k，在RtABH中，由A=，得AH=k，从而AD=3k，AC=6k，由SABC=3=3，求出BC=6，再由，能求出sinABD【解答】解：过B作BHAC于H，则cosBDH=，设DH=2k（k0），则BD=k，BH=k，在RtABH中，A=，AH=k，AD=3k，AC=6k，又SABC=ACBH=3=3，解得k=1，BC=6，在ABD中，解得sinABD=故答案为：，616. 已知三棱锥，两两垂直且长度均为6，长为2的线段的一个端点在棱上运动，另一个端点在内运动（含边界），则的中点的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为 参考答案：或17. 函数（ ）的值域是 ；参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知函数.（I）当时，求函数图象在点处的切线方程；（II）当时，讨论函数的单调性；（III）是否存在实数，对任意的恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.参考答案：略19. （本小题满分13分）已知是x轴上的点，坐标原点O为线段的中点，是坐标平面上的动点，点P在线段FG上，.（1）求的轨迹C的方程；（2）、为轨迹上任意两点，且，为AB的中点，求面积的最大值.参考答案：（1）取EG的中点为H,则,PH是线段EG的垂直平分线, 2分,P点的轨迹为椭圆，设其轨迹方程为，4分则2a=10,a=5,2c=6,c=3,b2=a2-c2=16，. 6分(2) ，A、B、E三点共线， 8分，设AB所在直线方程为，联立，整理得，M点的纵坐标为， 11分=，当，即时，OEM的面积最大为. 13分20. （本小题满分13分）已知函数在上有两个极值点，且.（）求实数的取值范围；（）证明：参考答案：（），由题意知方程在上有两不等实根，设，其图象的对称轴为直线，故有，解得5分（ 构造利用图象解照样给分）（）由题意知是方程的大根，从而且有，即，这样9分 设，=0，解得，由，；，；，知，在单调递增，又，从而，即成立。13分（）另解：由题意知是方程的大根，从而，由于，9分设，h(x)在递增，即成立。13分21. 为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A，B，C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表（单位：人）(I) 求x、y;(II)若从高校B、C抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都来自高校C的概率。参考答案：解：（I）由题意可得，所以 （II）记从高校B抽取的2人为，从高校C抽取的3人为，则从高校B，C抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有共10种设选中的2人都来自高校C的事件为X，则X包含的基本事件有，共3种 所以故选中的2人都来自高校C的概率为略22. （12分）以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示（）如果X=8，求乙组同学植树棵树的平均数和方差；（）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y的分布列和数学期望参考答案：【考点】： 离散型随机变量的期望与方差；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；离散型随机变量及其分布列【专题】： 计算题【分析】： （I）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，由此能求出乙组同学植树棵树的平均数和方差（）当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求得对应的概率由此能求出这两名同学的植树总棵树Y的分布列和数学期望解：（I）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，所以平均数为；方差为（）当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有44=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17，18，19，20，21，事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”，所以该事件有2种可能的结果，因此P（Y=17）=事件“Y=18”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树9棵”，所以该事件有4种可能的结果，因此P（Y=18）=事件“Y=19”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树10棵；或甲组选出的同学植树11棵，乙组选出的同学植树8棵”，所以该事件有2+2=4种可能的结果，因此P（Y=19）=事件“Y=20”等价于“甲组选出的同学植树11棵，乙组选出的同学植树9棵”，所以该事件有4种可能的结果，因此P（Y=20）=事件“Y=21”等价于“甲组选出的同学植树11棵，乙组选出的同学植树10棵”，所以该事件有2种可能的结果，因此P（