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北京第八十八中学2021-2022学年高二数学理联考试题含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 直线是曲线的一条切线,则实数的值为 ( )A B C D 参考答案:D2. 甲、乙两名同学八次数学测试成绩如茎叶图所示,则甲同学成绩的众数与乙同学成绩的中位数依次为()A85,86B85,85C86,85D86,86参考答案:B【考点】茎叶图【专题】对应思想;数形结合法;概率与统计【分析】根据中位数是一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序依次排列,处在中间位置的一个数(或中间两个数据的平均数),求出即可【解答】解:由茎叶图知,甲的8个得分中,按照从小到大的顺序依次排列,处在中间位置的两个数是85和85,所以中位数是85,同理,乙的中位数是85故选:B【点评】本题考查了中位数的定义与应用问题,也考查了茎叶图的应用问题,是基础题目3. 已知某空间几何体的正视图、侧视图、俯视图均为如右图所示的等腰直角三角形,如果该直角三角形的直角边长为1,那么这个几何体外接球的表面积是( )A6 B5 C4 D3参考答案:D4. 已知(32x)2017=a0+a1(x1)+a2(x1)2+a2017(x1)2017,则a1+2a2+3a3+2017a2017=()A1B1C4034D4034参考答案:D【考点】DC:二项式定理的应用【分析】在所给的等式中,两边同时对x求导,再令x=2,可得a1+2a2+3a3+2017a2017 的值【解答】解:在(32x)2017=a0+a1(x1)+a2(x1)2+a2017(x1)2017中,两边同时对x求导,可得22017(32x)2016=a1+2a2(x1)+2017a2017(x1)2016,再令x=2,可得a1+2a2+3a3+2017a2017=4034,故选:D5. 在整数集中,被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”,记为,即,给出如下四个结论: ; ; ; “整数属于同一类”的充要条件是“” 其中,正确结论的个数是( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4参考答案:C6. 已知双曲线上存在两点关于直线对称,且的中点在抛物线上,则实数的值为ABC或D或参考答案:D略7. 若复数满足,则复数对应点位于( )A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D.第四象限参考答案:A8. 求满足下列条件的方法种数:(1)将4个不同的小球,放进4个不同的盒子,且没有空盒子,共有多少种放法?(2)将4个不同的小球,放进3个不同的盒子,且没有空盒子,共有多少种放法?(最后结果用数字作答)参考答案:(1)没有空盒子的放法有:种.(2)放进3个盒子的放法有:种.9. 直线2xy3=0的倾斜角为,则tan=()ABC2D2参考答案:C【考点】直线的倾斜角【分析】根据直线的斜率公式计算即可,【解答】解:直线2xy3=0的倾斜角为,则tan,tan=k=2故选:C10. 已知实数x,y满足条件,则z = x + 3y的最小值是( )ABC12D12参考答案:B略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 一个长方体的各顶点均在同一球面上,且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3,则此球的表面积为 参考答案:14【考点】球的体积和表面积【分析】由题意可知,长方体外接球直径长等于长方体体对角线长,求出长方体的对角线长,就是求出球的直径,然后求出球的表面积【解答】解:长方体外接球直径长等于长方体体对角线长,即,由S=4R2=14故答案为:1412. 在ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且a1,B45,SABC2,则ABC的外接圆直径是_参考答案:13. 6人站成一排,甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数为_参考答案:576种14. 九章算术是我国古代一部重要的数学著作,书中给出了如下问题:“今有良马与驽马发长安,至齐,齐去长安一千一百二十五里良马初日行一百零三里,日增一十三里驽马初日行九十七里,日减半里良马先至齐,复还迎驽马,问几何日相逢?”其大意为:“现有良马和驽马同时从长安出发到齐去,已知长安和齐的距离是1125里良马第一天行103里,之后每天比前一天多行13里驽马第一天行97里,之后每天比前一天少行0.5里良马到齐后,立刻返回去迎驽马,多少天后两马相遇?”在这个问题中两马从出发到相遇的天数为参考答案:9【考点】函数模型的选择与应用【分析】利用等差数列的求和公式与不等式的解法即可得出【解答】解:由题意知,良马每日行的距离成等差数列,记为an,其中a1=103,d=13;驽马每日行的距离成等差数列,记为bn,其中b1=97,d=0.5;设第m天相逢,则a1+a2+am+b1+b2+bm=103m+13+97m+(0.5)=200m+12.521125,化为m2+31m3600,解得m,取m=9故答案为:9【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题15. 如图,在透明塑料制成的长方体ABCDA1B1C1D1容器内装进一些水,将容器底面一边BC固定于底面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,有下列三个说法:水的形状始终是棱柱形状;水面形成的四边形EFGH的面积不改变;当EAA1时,AE+BF是定值其中正确说法是(写出所以正确说法的序号)参考答案:【考点】棱柱的结构特征【分析】由已知中长方体ABCDA1B1C1D1容器内装进一些水,将容器底面一边BC固定于底面上,再将容器倾斜结合棱柱的结构特征我们可以判断的真假,进而得到答案【解答】解:由于底面一边BC固定于底面上,故倾斜过程中,与BC边垂直的两个面始终平行,且其它面均为平行四边形,满足棱柱的结构特征,故正确;水面形成的四边形EFGH的面积会发生改变,故错误;EAA1时,AE+BF=AA1,故正确;故答案为:16. 已知椭圆,直线l:4x5y400,则椭圆上的点到直线l的距离的最大值为 .参考答案:略17. 如上图,已知球球面上四点A、B、C、D,DA平面ABC,ABBC, DA=AB=BC=,则球的体积等于_参考答案:三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知acosB+bcosA=2ccosC(1)求角C的大小;(2)若a=5,b=8,求边c的长参考答案:【考点】余弦定理;正弦定理【分析】(1)利用正弦定理、和差公式即可得出(2)利用余弦定理即可得出【解答】解:(1)acosB+bcosA=2ccosC,sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosCsin(A+B)=sinC=2sinCcosC,sinC0,解得cosC=,C(0,),C=(2)由余弦定理可得:c2=52+82258cos=49,解得c=719. 选修41:几何证明选讲(本小题满分10分) 如图,AB是O的直径,C是O外一点,且AC=AB,BC交O于点D。 已知BC=4,AD=6,AC交O于点E,求四边形ABDE的周长。参考答案:解:AB=AC= ,则 DE=2 四边形ABDE的周长20. 已知命题p:方程x2+2mx+1=0有两个不相等的根,命题q:方程x2+2(m2)x3m+10=0无实根,若pq为真命题,pq为假命题,求实数m的取值范围参考答案:【考点】命题的真假判断与应用【分析】若命题p正确,则0,解得m范围若命题q正确,则0,解得m范围若“pq”为真,“pq”为假,则p与q必然一真一假,即可得出答案【解答】解:命题p:方程x2+2mx+1=0有两个不相等的实根,=4m240,解得m1或m1命题q:方程x2+2(m2)x3m+10=0无实根,=4(m2)24(103m)0,解得2m3若“pq”为真,“pq”为假,则p与q必然一真一假,p真q假时,m3或m2p假q真时,1m1实数m的取值范围是m2,或1m1,或m321. (本小题满分12分)在对人们休闲方式的一次调查中,共调查120人,其中女性70人、男性50人。女性中有40人主要的休闲方式是看电视,另外30人主要的休闲方式是运动;男性中有20人主要的休闲方式是看电视,另外30人主要的休闲方式是运动。 ()根据以上数据建立一个22的列联表: ()休闲方式与性别是否有关?参考答案:解:()的列联表为 5分()假设:休闲方式与性别无关。 6分计算的观测值为, 9分而,KS*5U.C#O%因为, 10分所以,在犯错误的概率不超过0.10的前提下,认为不成立,即在犯错误的概率不超过0.10的前提下,认为休闲方式与性别有关 12分(或:所以我们有90%以上的把握,认为不成立,即我们有90%以上的把握,认为休闲方式与性别有关)略22. (本小题满分12分)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为矩形,侧棱PA底面ABCD,AB,BC1,PA2,E为PD的中点(1)求直线AC与PB所成角的余弦值;(2)在侧面PAB内找一点N,使NE平面PAC,参考答案:(1) (2), (3)略
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