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北京精华学校高三数学文联考试卷含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 从8名网络歌手中选派4名同时去4个地区演出(每地1人),其中甲和乙只能同去或同不去,甲和丙不同去,则不同的选派方案共有多少种( )A240B360C480D600参考答案:D略2. 设x,y满足约束条件,若的最大值为6,则的最大值为( )A B2 C. 4 D5 参考答案:C3. 已知满足约束条件,则的最小值是( )A.6 B.5C.38D.10参考答案:A4. 集合则,( ) 参考答案:C5. 在正方体ABCDA1B1C1D1中,E是棱DD1的中点,F是侧面CDD1C1上的动点,且B1F/平面A1BE,则B1F与平面CDD1C1所成角的正切值构成的集合是( ) A2 B C D参考答案:C略6. 在等差数列中,则的展开式中的常数项是该数列的( )(A)第9项 (B)第8项 (C)第7项 (D)第6项参考答案:B7. 设变量x,y满足则2x+3y的最大值为(A) 20 (B) 35 (C) 45 (D) 55参考答案:D画出可行域,根据图形可知当x=5,y=15时2x+3y最大,最大值为55,故选D【点评】本题主要考查简单线性规划问题,难度适中。该类题通常可以先作图,找到最优解求出最值,也可以直接求出可行域的顶点坐标,代入目标函数进行验证确定出最值。8. 记椭圆围成的区域(含边界)为n(n=1,2,),当点(x,y)分别在1,2,上时,x+y的最大值分别是M1,M2,则Mn=()A0BC2D2参考答案:D【考点】数列的极限;椭圆的简单性质【专题】压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】先由椭圆得到这个椭圆的参数方程为:(为参数),再由三角函数知识求x+y的最大值,从而求出极限的值【解答】解:把椭圆得,椭圆的参数方程为:(为参数),x+y=2cos+sin,(x+y)max=Mn=2故选D【点评】本题考查数列的极限,椭圆的参数方程和最大值的求法,解题时要认真审题,注意三角函数知识的灵活运用9. 如图程序框图的算法思路源于欧几里得名著几何原本中的“辗转相除法”,执行该程序框图,若输入m,n分别为225、135,则输出的m=()A5B9C45D90参考答案:C【考点】程序框图【分析】模拟程序框图的运行过程,该程序执行的是欧几里得辗转相除法,求出运算结果即可【解答】解:模拟程序框图的运行过程,如下;m=225,n=135,225135=190,r=90,不满足退出循环的条件;m=135,n=90,13590=145,r=45不满足退出循环的条件m=90,n=45,9045=20,r=0满足退出循环的条件故输出m=45故选:C【点评】本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正确的答案,是基础题10. 某多面体的三视图如图所示,则该多面体的体积为()A2BCD4参考答案:B【考点】L!:由三视图求面积、体积【分析】由已知三视图得到几何体形状,根据图中数据计算体积【解答】解:该几何体是一个正方体去掉两个三棱锥,如图所示,所以V=222221=故选:B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知过原点的直线与椭圆交于A,B两点,为椭圆的左焦点,且,则椭圆的离心率为( )(A) (B) (C) (D)参考答案:C略12. 以下命题:若则; 在方向上的投影为;若中,则;若非零向量、满足,则.其中所有真命题的标号是 .参考答案:13. 若实数满足不等式组则的最小值是_参考答案:4做出不等式对应的可行域,由得,作直线,平移直线,由图象可知当直线经过点时,直线的截距最小,此时最小,最小为。如图14. 若,则, , , 按由小到大的顺序排列为 参考答案: 解析:由糖水浓度不等式知,且,得,即15. 已知实数x,y满足,目标函数z=3x+y+a的最大值为4,则a= 参考答案:-3【考点】简单线性规划【分析】由题意,不等式组,表示一个三角形区域(包含边界),求出三角形的三个顶点的坐标,目标函数z=3x+y+a的几何意义是直线的纵截距,由此可求得结论【解答】解:由题意,不等式组,表示一个三角形区域(包含边界),三角形的三个顶点的坐标分别为(0,2),(1,0),(,2)目标函数z=3x+y的几何意义是直线的纵截距由线性规划知识可得,在点A(,2)处取得最大值43+2+a=4,解得a=3故答案为:316. (5分)已知球与棱长均为3的三棱锥各条棱都相切,则该球的表面积为参考答案:3【考点】: 球的体积和表面积【专题】: 计算题;空间位置关系与距离【分析】: 将三棱锥放入棱长为的正方体,可得正方体的内切球恰好是与三棱锥各条棱都相切的球,根据三棱锥棱长算出正方体的棱长为,由此算出内切球半径,用公式即可得到该球的表面积解:将棱长均为3的三棱锥放入棱长为的正方体,如图球与三棱锥各条棱都相切,该球是正方体的内切球,切正方体的各个面切于中心,而这个切点恰好是三棱锥各条棱与球的切点由此可得该球的直径为,半径r=该球的表面积为S=4r2=3故答案为:3【点评】: 本题给出棱长为3的正四面体,求它的棱切球的表面积,着重考查了正多面体的性质、多面体内切球和球的表面积公式等知识,属于基础题17. 在右边的程序框图表示的算法中,输出的结果是_ 参考答案:略三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 甲乙丙丁四个人做传球练习,球首先由甲传出,每个人得到球后都等概率地传给其余三个人之一,设表示经过n次传递后球回到甲手中的概率,求:(1)之值 (2)(以n表示之)参考答案:【簡答】(1) (2) 【詳解】經過一次傳遞後,落在乙丙丁手中的機率分別為,而落在甲手中的機率為0,因此= 0,兩次傳遞後球落在甲手中的機率為= +(4分)下面考慮遞推,要想經過n次傳遞後球落在甲的手中,那麼在n1次傳遞後球一定不在甲手中,所以(1), n1, 2, 3, 4, , 因此(1) ,(1) ,(1) ,(1) , (1) (4分)()()所以。(4分)略19. (本小题满分12分) 在直三棱柱中,平面,其垂足落在直线上 (1)求证:。 ; (2)若,是的中点,求三棱锥的体积。参考答案:解:(1)平面,其垂足落在直线上在直三棱柱中, 5分(2) 10分略20. 已知. 求函数在上的最小值; 对一切,恒成立,求实数a的取值范围; 证明对一切,都有成立.参考答案:解答: ,当,单调递减,当,单调递增. ,t无解; ,即时,; ,即时,在上单调递增,;所以. ,则,设,则,单调递增,单调递减,所以,因为对一切,恒成立,所以; 问题等价于证明,由可知的最小值是,当且仅当时取到,设,则,易得,当且仅当时取到,从而对一切,都有成立.略21. 如图甲,O的直径AB=2,圆上两点C,D在直径AB的两侧,使CAB=,DAB=沿直径AB折起,使两个半圆所在的平面互相垂直(如图乙),F为BC的中点根据图乙解答下列各题:(1)求点D到平面ABC的距离;(2)如图:若DOB的平分线交弧于一点G,试判断FG是否与平面ACD平行?并说明理由参考答案:【考点】点、线、面间的距离计算;直线与平面平行的判定【专题】计算题;转化思想;综合法;空间位置关系与距离【分析】(1)由已知推导出DEAO,DE面ABC,从而DE即为点D到ABC的距离,由此能求出点D到面ABC的距离(2)连结OF,则FOAC,从而FO面ACD,令OG交DB于M,连结MF,则MFCD,由此能推导出FG面ACD【解答】解:(1)ADO中,AO=DO,且,AO=DO=AD又E是AO的中点,DEAO又面ABC面AOD,且ABC面AOD=AO,DE?面AOD,DE面ABCDE即为点D到ABC的距离又DE=,AO=点D到面ABC的距离为(2)FG面ACD理由如下:连结OF,则ABC中,F、O分别为BC、AB的中点FOAC又FO?面ACD,AC?面ACD,FO面ACD,OG是DOB的平分线,且OD=OB,令OG交DB于M,则M是BD的中点,连结MF,则MFCD,又MF?面ACD,CD?面ACD,MF面ACD,且MFFO=F,MF、FO?面FOG面FOG面ACD又FG?面FOG,FG面ACD 【点评】本题考查点到平面的距离的求法,考查线面平行的证明,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养22. (本小题满分13分)已知函数.(I)讨论函数的单调性;(II)若对任意的时,恒有成立,求实数m的取值范围.参考答案:
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