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标准文档实用文案解析几何中的定点和定值问题【教学目标】学会合理选择参数(坐标、斜率等)表示动态图形中的几何对象,探究、证明其不变性质 (定点、定值等 ),体会“设而不求” 、 “整体代换”在简化运算中的作用【教学难、重点】解题思路的优化【教学方法】讨论式【教学过程】一、基础练习1、 过直线4x上动点P作圆224Oxy:的切线PAPB、, 则两切点所在直线AB恒过一定点 此定点的坐标为_【答案】 (1,0)xyAB4P【解析】设动点坐标为(4,tP),则以 OP 直径的圆C 方程为:(4)()0 x xy yt,故AB是两圆的公共弦,其方程为44xty注:部分优秀学生可由200 x xy yr公式直接得出令4400 xy得定点 (1,0) . 2、已知 PQ 是过椭圆22: 21Cxy中心的任一弦,A是椭圆C上异于 PQ、的任意一点若APAQ、分别有斜率12kk、,则12kk=_ 【答案】 - 2 【解析】设00( , ),(,)P x yA xy,则(,)Qxy220001222000yyyyyykkxxxxxx,又由A、P均在椭圆上,故有:2200222121xyxy,标准文档实用文案两式相减得2222002()()0 xxyy,220122202yykkxx3、椭圆1273622yx,过右焦点F作不垂直于x轴的直线交椭圆于A、B两点,AB的垂直平分线交x轴于N,则:NFAB等于 _.1=24e【答案】14【解析】设直线AB斜率为k,则直线方程为3yk x,与椭圆方程联立消去y整理可得22223424361080kxk xk,则221212222436108,3434kkxxx xkk, 所以1221834kyyk,则AB中点为222129,3434kkkk.所以AB中垂线方程为22291123434kkyxkkk, 令0y, 则22334kxk, 即223,034kNk,所以222239(1)33434kkNFkk.2221212236 11434kABkxxx xk, 所以14NFAB.、已知椭圆22221(0)xyabab,FA,是其左顶点和左焦点,P是圆222byx上的动点,若PAPF=常数,则此椭圆的离心率是标准文档实用文案【答案】 e=215【解析】因为PAPF常数,所以当点P分别在( b, 0)时比值相等,即+=+aba bbcb c,整理得:2bac,又因为222bac,所以220acac同除以 a2可得 e2+e-1=0,解得离心率e=215二、典例讨论例、如图, 在平面直角坐标系xOy 中,椭圆 C:22142xy的左顶点为A,过原点 O 的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C 交于 P,Q 两点,直线PA, QA 分别与 y 轴交于 M,N 两点试问以 MN 为直径的圆是否经过定点(与直线PQ 的斜率无关)?请证明你的结论yxNMQOAP分析一:设PQ的方程为ykx,设点00,Pxy(00 x) ,则点00,Qxy联立方程组22,24ykxxy消去y得22412xk标准文档实用文案所以02212xk,则02212kyk所以直线AP的方程为22112kyxk从而220,112kMk同理可得点220,112kNk所以以 MN 为直径的圆的方程为22222()()0112112kkxyykk整理得:222222()20112112kkxyykk由22200 xyy,可得定点(2, 0)F分析二 :设 P(x0,y0),则 Q( x0,y0),代入椭圆方程可得220024xy由直线PA 方程为:00(2)2yyxx,可得0020,2yMx,同理由直线QA 方程可得0020,2yNx,可得以MN为直径的圆为2000022022yyxyyxx,整理得:2220020002240224yyyxyyxxx由于220042xy,代入整理即可得2200204204x yxyyx此圆过定点(2, 0)F分析三 :易证:2212APAQbkka,故可设直线AP斜率为k,则直线AQ斜率为12k.标准文档实用文案直线AP方程为(2)yk x,从而得(0, 2 )Mk,以12k代k得10,Nk故知以 MN 为直径的圆的方程为21(2 )()0 xykyk整理得:2212(2 )0 xyk yk由22200 xyy,可得定点(2, 0)F. 分析四、设(0,),(0,)MmNn,则以 MN 为直径的圆的方程为2()()0 xymyn即22()0 xymn ymn再由221=2APAQAMANbkkkka得2mn-,下略例 2、已知离心率为e的椭圆C2222:1(0)xyabab恰过两点(1)e,和20,. (1) 求椭圆C的方程;(2) 已知AB MN、为椭圆C上的两动弦,其中MN、关于原点O对称,AB过点(1, 0)E,且AB MN、斜率互为相反数. 试问:直线AMBN、的斜率之和是否为定值?证明你的结论.解析:(1) 由题意:2222232111aeebab所以椭圆C的方程为2214xy.(2) 设AB方程为(1)yk x,11(,)A xy,22(,)B xy,则MN方程为ykx又设33(,)M xkx,33(,)NxkxxyONBEAM标准文档实用文案1323132313231323(1)(1)AMBNykxykxk xkxk xkxkkxxxxxxxx则整理得:132323131323(1)()(1)()()()AMBNkxxxxxxxxkkxxxx212312132322()()()AMBNkx xxxxkkxxxx由22(1)44yk xxy消元整理得:2222(41)8440kxk xk,所以22121222844,4141kkxxx xkk又由2244ykxxy消元整理得:22(41)4kx,所以232441xk将、代入式得:0AMBNkk.例 2(变式 )、已知离心率为e的椭圆C2222:1(0)xyabab恰过两点(1)e,和20,. (3) 求椭圆C的方程;(4) 已 知ABMN、为 椭 圆C上 的 两 动 弦 , 其 中MN、关 于 原 点O对 称 ,AB过 定 点(, 0),(22)E mm,且AB MN、斜率互为相反数. 试问: 直线AMBN、的斜率之和是否为定值?证明你的结论.解析:(3) 由题意:2222232111aeebab所以椭圆C的方程为2214xy.(4) 设AB方程为()yk xm,11(,)A xy,22(,)B xy,xyONBEAM标准文档实用文案则MN方程为ykx又设33(,)M xkx,33(,)Nxkx1323132313231323()()AMBNykxykxkkxxxxk xmkxk xmkxxxxx则整理得:132323131323()()()()()()AMBNkxxm xxxxm xxkkxxxx212312132322()()()AMBNkx xxm xxkkxxxx由22()44yk xmxy消元整理得:22222(41)8440kxk mxk m,所以222121222844,4141k mk mxxx xkk又由2244ykxxy消元整理得:22(41)4kx,所以232441xk将、代入式得:0AMBNkk.三、课外作业1、已知椭圆22+142xy, A、B 是其左、右顶点,动点M 满足 MBAB,连结 AM 交椭圆于点P,在 x 轴上有异于点A、B 的定点 Q,以 MP 为直径的圆经过直线BP、MQ 的交点,则点Q 的坐标为_【答案】(0,0 )【解析】试题分析:设(2, ),Mt则:(2)4tAMyx,与椭圆方程联立消y得2222(8)44320txt xt,标准文档实用文案所以221628Ptxt,288Ptyt, 因此22282816228BPttkttt, 即1B P O Mkk, 点 Q 的坐标为O (0,0 )2、已知 P是椭圆221124xy上不同于左顶点A、右顶点 B 的任意一点,记直线PA,PB 的斜率分别为1212,k kkk则的值为【答案】13【解析】设( , )P x y,( 2 3,0), B(2 3,0)A则12 3ykx,22 3ykx,2122122 32 3yyyk kxxx,因为P在椭圆上,所以221124xy,即22123xy把代入,得21221123yk kx3、已知椭圆22221(0)xyabab的离心率e=12,A,B 是椭圆的左右顶点,P 为椭圆上不同于AB的动点,直线PA,PB的倾斜角分别为,,则cos()cos()= .【答案】 7【解析】试 题 分 析 : 因 为A,B是 椭 圆 的 左 右 顶 点 , P为 椭 圆 上 不 同 于AB 的 动 点 ,22PAPBbkka2222211132244cabbeaaa,2234PAPBbkka,标准文档实用文案31cos()coscossinsin1tantan473cos()coscossinsin1tantan144、如图所示,已知椭圆C:2214xy,在椭圆C 上任取不同两点A,B,点 A 关于 x 轴的对称点为A,当 A,B 变化时,如果直线AB 经过 x 轴上的定点T(1 ,0),则直线A B经过 x 轴上的定点为 _【答案】 (4, 0)【解析】设直线AB 的方程为 xmy 1,由22141xyxmy得( my1)24y2 4,即 ( m24) y22my3 0.记 A( x1,y1) ,B( x2,y2) ,则 A(x1, y1) ,且 y1y2224mm,y1y2234m,当 m0 时,经过点A(x1, y1) , B(x2,y2) 的直线方程为121yyyy121xxxx. 令 y0,得x2121xxyyy1 x12121mymyyyy1 my1 12212112121my ymymy ymyyy 1 12212my yyy 1 2232424mmmm14,所以 y0 时, x4.当 m0 时,直线AB的方程为x1,此时 A, B重合,经过A, B的直线有无数条,当然可以有一条经过点(4 ,0) 的直线当直线AB为 x 轴时,直线AB 就是直线AB ,即 x 轴,这条直线也经过点 (4 ,0) 综上所述,当点A,B 变化时,直线AB 经过 x 轴上的定点 (4,0) 5、 过椭圆22143xy的右焦点2F的直线交椭圆于于,M N两点,令22,F Mm F Nn,则_mnmn标准文档实用文案【答案】34【解析】试题分析:不失一般性,不妨取MN 垂直 x 轴的情况,此时MN :x=1, 联立221431xyx,得 M (1,32),N(1,-32) , m=n=32,34mnmn6、 已知椭圆C的中心在坐标原点, 焦点在 x 轴上,左顶点为A, 左焦点为12 0F, 点2B 2,在椭圆C上, 直线0ykx k与椭圆C交于E,F两点,直线AE,AF分别与y轴交于点M,N()求椭圆C的方程;()以MN为直径的圆是否经过定点?若经过,求出定点的坐标;若不经过,请说明理由解析 : () 解法一: 设椭圆C的方程为22221 (0)xyabab,因为椭圆的左焦点为12 0F,所以224ab设椭圆的右焦点为22 0F,已知点22B,在椭圆C上,由椭圆的定义知122BFBFa,所以23 224 2a所以2 2a,从而2b所以椭圆C的方程为22184xy解法二: 设椭圆C的方程为22221 (0)xyabab,因为椭圆的左焦点为12 0F,所以224ab因为点22B,在椭圆C上,所以22421ab由解得,2 2a,2b标准文档实用文案所以椭圆C的方程为22184xy() 解法一: 因为椭圆C的左顶点为A,则点A的坐标为22,0因为直线(0)ykx k与椭圆22184xy交于两点E,F,设点00,Exy(不妨设00 x) ,则点00,Fxy联立方程组22,184ykxxy消去y得22812xk所以022 212xk,则022 212kyk所以直线AE的方程为222112kyxk因为直线AE,AF分别与y轴交于点M,N,令0 x得22 2112kyk,即
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